Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 507830

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S.

а) Докажите, что плоскость сечения делит отрезок DB в отношении 3:1, считая от вершины D.

б) Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Спрятать решение

Решение.

а) Изобразим указанное в условии сечение — треугольник SKM; заметим, что KM - средняя линия треугольника ABC, поэтому она делит пополам отрезок BO, где O - центр квадрата ABCD. А значит, диагональ квадрата делится этой плоскостью в отношении 3:1, что и требовалось доказать.

 

б) Вычислим KM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 4 корень из 2 =2 корень из 2 .

Проведём в треугольнике SKM высоту SP. Точка P — середина KM.

Значит, KP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KM= корень из 2 .

Из треугольника SKA находим

SK= корень из (SA в квадрате минус AK в квадрате ) = корень из (25 минус 4) = корень из (21) .

Из треугольника SPK

SP= корень из (SK в квадрате минус KP в квадрате ) = корень из (21 минус 2) = корень из (19) .

Тогда

S_SKM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KM умножить на SP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2 корень из 2 умножить на корень из (19) = корень из (38) .

 

Ответ:  корень из (38) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 500639: 500643 507830 511345 511501 Все

Спрятать решение · Прототип задания · ·
Гость 25.03.2016 19:58

Здравствуйте! SK=SM, так как пирамида правильная и \Delta ASB=\Delta SBC. Высота \Delta SKM разделит его основание пополам, \angle SKM=\arccos левая круглая скобка корень из ( дробь: числитель: 2, знаменатель: 21 конец дроби ) правая круглая скобка =\arcsin левая круглая скобка корень из ( дробь: числитель: 18, знаменатель: 21 конец дроби ) правая круглая скобка . Затем, с помощью полупроизведения двух сторон на синус угла между ними, найдем S_SKM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SK умножить на KM синус \angle SKM=6.

Константин Лавров

Ага, только  синус \angle SKP= корень из ( дробь: числитель: 19, знаменатель: 21 конец дроби ) . Тогда S_SKP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из (21) умножить на 2 корень из (2) умножить на корень из ( дробь: числитель: 19, знаменатель: 21 конец дроби ) = корень из (38) .