Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C2 № 500643

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через M — середину AB, N — середину BC, и вершину S.

а) Докажите, что прямые MN и SD перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

Спрятать решение

Решение.

а) Проекцией SD на плоскость ABCD будет являться прямая BD. BD\perp AC как диагонали квадрата, а MN || AC, как средняя линия треугольника ABC. Значит, MN\perp BD и, по теореме о трех перпендикулярах, MN\perp SD.

б) Площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM,SN и MN.SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Так как эти треугольники равнобедренные (поскольку пирамида правильная),

SM=SN= корень из (SB в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB правая круглая скобка в квадрате ) = корень из (SB в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC правая круглая скобка в квадрате ) = корень из (5 в квадрате минус 2 в квадрате ) = корень из (21) .

Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 2. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна 2 корень из (2) .

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, которая, по теореме Пифагора, равна  корень из (19) , и вычислим площадь:

S= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на SH умножить на MN = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из (19) умножить на 2 корень из (2) = корень из (38) .

Ответ:  корень из (38) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 500639: 500643 507830 511345 511501 Все

Спрятать решение · Прототип задания · ·
Дима Григорошенко 16.12.2016 18:51

Мне кажется что ошибка в нахождении SH.

Эта высота равна корень из 21-8=корень из 13

Кирилл Колокольцев

Ошибки нет. SH= корень из (SM в квадрате минус MH в квадрате ) = корень из (21 минус 2) = корень из (19) .