Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 501689

а) Решите уравнение 15 в степени (\textstyle косинус x) = 3 в степени (\textstyle косинус x) умножить на 5 в степени (\textstyle синус x) .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка 5 Пи , дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Преобразуем исходное уравнение:

3 в степени (\textstyle косинус x) умножить на 5 в степени (\textstyle косинус x) = 3 в степени (\textstyle косинус x) умножить на 5 в степени (\textstyle синус x) равносильно 5 в степени (\textstyle косинус x) = 5 в степени (\textstyle синус x) равносильно косинус x = синус x равносильно

 равносильно тангенс x=1 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, k принадлежит Z .

б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка 5 Пи , дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка . Получим числа:  дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 4 конец дроби , дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а) \left\ дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k: k принадлежит Z \; б)  дробь: числитель: 21 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 25 Пи , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 501689: 501944 502293 511105 515743 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 1.
Методы алгебры: Сведение к однородному
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Алёна Мерзагитова 02.05.2016 11:18

если же tgx=1,то там рассматриваются два корня: x=п/4+2пn x=5п/4+2пn

и как раз через эти два корня я нашла корни,принадлежащие промежутку,но почему в ответе под а у вас одно решение?

Александр Иванов

эти две точки можно объединить, что у нас и сделано

саша зайцева 08.12.2016 19:51

почему при решении было выполнено деление на 3^cos(x), ведь тогда теряется корень 3^cos(x)=0?

Александр Иванов

такого корня нет, поэтому он не теряется

Tyoma Kozlov 17.01.2017 18:46

Извиняюсь, что задаю вопрос не совсем по теме, но когда вообще МОЖНО делить на неизвестное, а когда нельзя? Я не одну статью прочитал на эту тему, но все понять не могу. Одни говорят, что можно, но при этом происходит потеря корней, а другие говорят - что можно и делают это, третьи говорят, что будет потеря корней, но это МОЖНО делать.

 

Короче говоря. как мне кажется, это самая не разобранная тема. О ней вообще нет инфы в должном обьеме. Пожалуйста, обьсните в кратце, когда МОЖНО, а когда НЕЛЬЗЯ.

p.s. я понял, что МОЖНО, вроде как, когда не происходит изменение ОДЗ, но опять же, а когда оно проиходит?

Думаю, мне не одному этот вопрос требуется.

Заранее, спасибо!

Александр Иванов

Уважаемый Тёма!

Подробный ответ ЗДЕСЬ невозможен. Лучше задать его, нажав ссылку "Помощь по заданию".

Если кратко, то правило простое: НЕЛЬЗЯ делить на нуль. На положительные и отрицательные числа делить можно, соблюдая правила.

Число 3 в степени к осинус x положительно при любом значении x, поэтому на него можно делить.

В уравнении (x плюс 2) умножить на x=(x плюс 2) умножить на 3, если Вы поделите на (x плюс 2), то потеряете корень x= минус 2. Поэтому делить на (x плюс 2) нельзя.

Выход может быть таким: рассмотрите два случая

1. x= минус 2, тогда 0 умножить на ( минус 2)=0 умножить на 3 верное равенство. Значит x= минус 2 − корень.

2. x не равно минус 2, тогда x плюс 2 не равно 0 и на него можно поделить. Получим x=3.

Ответ: x= минус 2, x=3

А вот уравнение (x плюс 2) умножить на корень из (x) =(x плюс 2) умножить на корень из (3) можно делить на x плюс 2. Потому что по ОДЗ x\ge0, а значит на ОДЗ x плюс 2\ge2