Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 501692

Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1 = 30°.

Спрятать решение

Решение.

Точки O1, O2 и A лежат на одной прямой. Поскольку треугольники BO1A и CO2A равнобедренные, ∠ABO1 = ∠BAO1 = ∠CAO2 = ∠ACО2 = 30°, откуда

AB=2O_1A косинус 30 градусов=4 косинус 30 градусов,AC=2O_2C косинус 30 градусов=6 косинус 30 градусов.

Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка B лежит между точками A и C, откуда BC = AC − AB = 2cos30°.

S_BCO_2= дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби = 3 косинус 30 градусов синус 30 градусов= дробь: числитель: 3 корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби .

Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка A лежит между точками B и C, откуда BC = AC + AB = 10cos30°.

S_BCO_2 = дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби = 15 косинус 30 градусов синус 30 градусов = дробь: числитель: 15 корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 3 корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби или  дробь: числитель: 15 корень из (3) , знаменатель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501692: 501732 501754 501947 501987 511365 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 1.
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей