Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 511365

Окружности радиусов 4 и 6 с центрами O_1 и O_2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO_2, если \angle ABO_1 = 30 градусов.

Спрятать решение

Решение.

Точки O_1,O_2 и A лежат на одной прямой. Поскольку треугольники BO_1A и CO_2A равнобедренные, \angle ABO_1= \angle BAO_1=\angle CAO_2=\angle ACО_2=30 градусов, откуда

AB=2O_1A косинус 30 градусов=8 косинус 30 градусов,AC=2O_2C косинус 30 градусов=12 косинус 30 градусов.

Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка B лежит между точками A и C, откуда BC=AC минус AB=4 косинус 30 градусов.

S_BCO_2= дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби = 12 косинус 30 градусов синус 30 градусов=3 корень из (3) .

Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка A лежит между точками B и C, откуда BC=AC плюс AB=20 косинус 30 градусов.

S_BCO_2 = дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби = 60 косинус 30 градусов синус 30 градусов =15 корень из (3) .

 

Ответ: 3 корень из (3) или 15 корень из (3) .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501692: 501732 501754 501947 501987 511365 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей