Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 501732

Окружности радиусов 2 и 9 с центрами O_1 и O_2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO_1, если \angle LMO_2 = 15 градусов.

Спрятать решение

Решение.

Точки O_1, O_2 и L лежат на одной прямой. Поскольку треугольники KLO_1 и MO_2L равнобедренные, \angle LKO_1= \angle KLO_1 = \angle MLO_2 = \angle LMO_2 = 15 градусов, откуда KL=2O_1L умножить на косинус 15 градусов = 4 умножить на косинус 15 градусов.

Возможны два случая. Первый случай: окружности касаются внутренним образом (рис. 1), тогда точка K лежит между точками L и M, откуда MK = LM минус KL = 14 умножить на косинус 15 градусов.

S_KMO_1 = дробь: числитель: MK умножить на KO_1 умножить на синус \angle MKO_1, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: MK умножить на KO_1 умножить на синус \angle LKO_1, знаменатель: 2 конец дроби = 14 умножить на косинус 15 градусов синус 15 градусов = 3,5.

Второй случай: окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка L лежит между точками K и M, MK = LM плюс KL = 22 умножить на косинус 15 градусов.

S_KMO_1 = дробь: числитель: MK умножить на KO_1 умножить на синус \angle MKO_1, знаменатель: 2 конец дроби = 22 умножить на косинус 15 градусов умножить на синус 15 градусов = 5,5.

 

Ответ: 3,5 или 5,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации и получен правильный ответ3
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за арифметической ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501692: 501732 501754 501947 501987 511365 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Урал. Вариант 203., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей
Спрятать решение · Прототип задания · ·
Иван Яровой 30.03.2016 16:32

Как вы выразили сторону KL через косинус? Там же не прямоугольный треугольник

Константин Лавров

А мы его там мысленно представили.