Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C4 № 501947

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O_1 и O_2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO_2, если \angle ABO_1=15 градусов.

Спрятать решение

Решение.

Точки O_1,O_2, и A лежат на одной прямой. Поскольку треугольники BO_1A и CO_2A равнобедренные, \angle ABO_1=\angle BAO_1=\angle CAO_2=\angle ACO_2=15 в степени (\circ) , откуда

AB=2O_1A косинус 15 в степени (\circ) =6 косинус 15 в степени (\circ) ,AC=2O_2A косинус 15 в степени (\circ) =10 косинус 15 в степени (\circ) .

Возможны два случая.

Первый случай. Окружности касаются внутренним образом (рис.1), тогда точка B лежит между точками A и C, откуда BC=AC минус AB=4 косинус 15 в степени (\circ) .

S_BCO_2= дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби =10 косинус 15 в степени (\circ) синус 15 в степени (\circ) =2,5.

Второй случай. Окружности касаются внешним образом (рис. 2), тогда точка A лежит между точками B и C, BC=AC плюс AB=16 косинус 15 в степени (\circ) .

S_BCO_2= дробь: числитель: BC умножить на CO_2 умножить на синус \angle BCO_2, знаменатель: 2 конец дроби =40 косинус 15 в степени (\circ) синус 15 в степени (\circ) =10.

 

Ответ: 2,5 или 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a и обоснованно получен верный ответ в пункте б3
Получен обоснованный ответ в пункте б

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 501692: 501732 501754 501947 501987 511365 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Центр. Вариант 101., Задания 16 (С4) ЕГЭ 2013
Классификатор планиметрии: Окружности и системы окружностей