ЕГЭ–2022, математика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание 17 № 503324 Добавить в вариант

Найдите все значения a, для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел x и y, удовлетворяющих неравенству $5|x минус 2| плюс 3|x плюс a|\leqslant корень из 4 минус y в степени 2 плюс 7.$

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим две функции: $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5\left|x минус 2| плюс 3\left|x плюс a|$ и $g левая круглая скобка y правая круглая скобка = корень из 4 минус y в степени 2 плюс 7.$

Функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =5\left|x минус 2| плюс 3\left|x плюс a|$ является кусочно-линейной, причём при $x меньше 2$ угловой коэффициент равен либо −2, либо −8, а при $x больше 2$ угловой коэффициент равен либо 2, либо 8. Значит, функция f(x) убывает при $x меньше 2$ и возрастает при $x больше 2,$ поэтому $f левая круглая скобка x правая круглая скобка \geqslant f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка =3\left|a плюс 2|.$

Поскольку $y в степени 2 \geqslant 0,$ получаем: $g(y)\leqslant g(0) = 9.$

Если $f(2) больше g(0),$ то $f(x)\geqslant f(2) больше g(0)\geqslant g(y),$ поэтому неравенство $f(x) \leqslant g (y)$ не имеет решений.

Если $f(2)\leqslant g(0),$ то пара чисел $x = 2, у = 0$ удовлетворяет неравенству $f(x) \leqslant g (y).$ Получаем:

$f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка \leqslant g левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно 3\left|a плюс 2|\leqslant9 равносильно минус 3\leqslant a плюс 2\leqslant3 равносильно минус 5\leqslant a\leqslant1.$

Ответ: [−5; 1].

Примечание.

Рекомендуем сравнить эту задачу с чуть более простыми заданиями 532960 и 532661 на ту же идею.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
Обоснованно получены все значения: $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 0.$ Ответ отличается от верного только исключением точки $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ и/или включением точки $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби$	3
Обоснованно получены все значения: $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби , а = 0$	2
Верно найдено одно или два из значений $а = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а = дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби$ или $а = 0$	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных вышe	0
Максимальный балл	4

Аналоги к заданию № 503324: 503364 511383 Все

Источник: ЕГЭ по математике 03.06.2013. Основная волна. Восток. Вариант 701., Задания 18 (С6) ЕГЭ 2013

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Использование симметрий, оценок, монотонности, Использование симметрий, оценок, монотонности

Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·

Сообщить об ошибке · Помощь