Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 508513

Решите неравенство:  логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 8.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифма:

 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка в степени 8 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка больше или равно 8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0.

Рассмотрим два случая. Первый случай: 0 меньше 4 минус x меньше 1.

 система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0, 0 меньше 4 минус x меньше 1 конец системы . равносильно система выражений x плюс 5 больше или равно 1, 3 меньше x меньше 4 конец системы . равносильно 3 меньше x меньше 4.

Второй случай: 4 минус x больше 1.

 система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0, 4 минус x больше 1 конец системы . равносильно система выражений 0 меньше x плюс 5 меньше или равно 1, x меньше 3 конец системы . равносильно минус 5 меньше x меньше или равно минус 4.

Решение неравенства:  минус 5 меньше x меньше или равно минус 4 или 3 меньше x меньше 4.

 

Приведём другое решение.

Заметим, что

 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 , знаменатель: x плюс 5 конец дроби \geqslant8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка в степени 8 минус логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \geqslant8 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \leqslant0.

Воспользуемся методом рационализации:

 логарифм по основанию левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка \leqslant0 равносильно \begincases левая круглая скобка 4 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 5 минус 1 правая круглая скобка \leqslant0, 4 минус x больше 0, 4 минус x не равно q1, x плюс 5 больше 0. \endcases равносильно \begincases левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0, x меньше 4, x не равно q3, x больше минус 5. \endcases равносильно совокупность выражений минус 5 меньше x\leqslant минус 4,3 меньше x меньше 4. конец совокупности .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 5; минус 4 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 3;4 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов