Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 508533

Решите неравенство:  логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби больше или равно минус 4.

Спрятать решение

Решение.

Имеем:

 логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби больше или равно минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 больше или равно минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0.

Рассмотрим два случая. Первый случай: 0 меньше 5 минус x меньше 1.

 система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, 0 меньше 5 минус x меньше 1 конец системы равносильно система выражений 0 меньше x плюс 2 меньше или равно 1, 0 меньше 5 минус x меньше 1 конец системы . решенийнет .

Второй случай: 5 минус x больше 1.

 система выражений логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, 5 минус x больше 1 конец системы равносильно система выражений x плюс 2 больше или равно 1, x меньше 4, конец системы . равносильно минус 1 меньше или равно x меньше 4.

Таким образом, множество решений данного уравнения:  левая квадратная скобка минус 1;4 правая круглая скобка .

 

Приведём другое решение.

Заметим, что

 логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 конец дроби \geqslant минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 \geqslant минус 4 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0.

Воспользуемся методом рационализации:

 логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0 равносильно \begincases левая круглая скобка 5 минус x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 минус 1 правая круглая скобка \geqslant0, 5 минус x больше 0, 5 минус x не равно q1, x плюс 2 больше 0. \endcases равносильно \begincases левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \geqslant0, x меньше 5, x не равно q4, x больше минус 2. \endcases равносильно  минус 1 меньше или равно x меньше 4.

 

Ответ:  левая квадратная скобка минус 1;4 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Кирилл Денисов 31.05.2016 23:22

Пожалуйста, если не затруднит, то распишите поподробней как в этой задаче избавились от  логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 в правой части, и 4 в левой.

Константин Лавров

На ОДЗ  логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 =4 логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка .

Tyoma Kozlov 19.01.2017 19:36

А всегда ли можно "безнаказанно" делать такие преобразования, избавляясь от выражений?

Александр Иванов

Не всегда.

x минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 больше или равно минус 4 нельзя заменить на x\ge0, потому что теряются ограничения.

А вот  логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка в степени 4 больше или равно минус 4 можно заменить на  логарифм по основанию левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше или равно 0, так как все ограничения сохраняются