Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 17 № 508609

Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?

Решение.

При удорожании коммунальных услуг на 100%, общая сумма увеличилась бы на 70%. А если бы электричество подорожало на 100%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 20%. Значит, в общем платеже на коммунальные услуги приходится 70%, а на электричество — 20%. Поэтому на телефон приходятся оставшиеся 10%.

 

Приведём другие решения.

 

1. Алгебраический подход.

Пусть плата за коммунальные услуги и электричество составляет х руб. в месяц, а за телефон — у руб. Если плата и за коммунальные услуги, и за электричество увеличится на 50%, эта часть оплаты составит 1,5x руб, что повлечет увеличение общей суммы платежа на 35% + 10% = 45%. Тогда

1,5x плюс y=1,45 умножить на (x плюс y) равносильно 1,5x плюс y=1,45x плюс 1,45y равносильно 0,05x=0,45y равносильно x=9y.

Следовательно, x плюс y=10y, откуда  дробь, числитель — y, знаменатель — x плюс y = дробь, числитель — 1, знаменатель — 10 . Это означает, что на телефон приходится  дробь, числитель — 1, знаменатель — 10 часть от общей суммы платежа, а это составляет 10%.

 

2. Арифметика помогает алгебре.

Если все три вида предоставляемых услуг подорожают на 50%, то общая сумма платежа увеличится на 50%. Но из-за того, что платеж за услуги телефонии останется неизменным, общая сумма платежа после подорожания по остальным двум видам услуг будет на 50% − 35% −10% = 5% меньше. Эти 5% — доля телефонии в числе 50% оплаты за все услуги. Тем самым, доля оплаты за телефон составляет 5/50 или 10% от общей суммы.

 

3. Система линейных уравнений.

Обозначим за x долю общей оплаты, приходящейся на коммунальные услуги, за y — на электричество и за z — на телефон. Составим систему уравнений. Сумма всех оплат x плюс y плюс z=1 — первое уравнение. Увеличиваем в 1,5 раза коммунальные услуги: 1,5x плюс y плюс z=1,35 — второе уравнение. Увеличиваем в 1,5 раза оплату за электричество: x плюс 1,5y плюс z=1,1 — третье уравнение. Затем вычитаем из третьего уравнения первое, получаем 0,5y=0,1, отсюда y=0,2. Затем вычитаем из второго уравнения первое, получаем 0,5x=0,35, отсюда x=0,7. Подставляем в первое уравнение: 0,7 плюс 0,2 плюс z=1, отсюда z=0,1 или 10%.

 

Ответ: 10%.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 106.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Общие задачи по финансовой математике