Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508612

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.

а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.

Решение.

а) Известно, что прямая, содержащая биссектрису равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, является осью его симметрии.

Рассмотрим \Delta ABKи \Delta CBP. У них: \angle ABK — общий, AB = CB, \angle BAK=\angle BCP как половины равных углов при основании равнобедренного треугольника. Значит, \Delta ABK=\Delta CBP по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: AK = CP.

При симметрии относительно прямой BM точки K и P переходят друг в друга, точка M — сама в себя. Следовательно, отрезки MP и MK перейдут друг на друга. Значит, MP = MK.

б) Из рассмотренной симметрии также следует: BH — ось симметрии \Delta PBK, MH — ось симметрии \Delta PHM. (H — точка пересечения BM и PK).

Пусть AB = BC = a, \angle BAC=\alpha . В прямоугольном треугольнике ABM: AM=a косинус \alpha ,BM=a синус \alpha , AC=2a косинус \alpha , S(ABM)=32. Это с одной стороны. С другой стороны,

S(ABM)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 a умножить на a синус \alpha умножить на синус ({{90} в степени \circ } минус \alpha )= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 {{a} в степени 2 } синус \alpha умножить на косинус \alpha = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 {{a} в степени 2 } синус 2\alpha .

Следовательно,  дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 {{a} в степени 2 } синус 2\alpha =32;{{a} в степени 2 }= дробь, числитель — 128, знаменатель — синус 2\alpha .

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:  дробь, числитель — AC, знаменатель — AP = дробь, числитель — BC, знаменатель — BP . Если BP = x, то AP = a минус x.  дробь, числитель — 2a косинус \alpha , знаменатель — a минус x = дробь, числитель — a, знаменатель — x ;

2x косинус x плюс x=a;x= дробь, числитель — a, знаменатель — 2 косинус x плюс 1 .

\Delta PBH\sim\Delta ABM как два прямоугольных треугольника с общим острым углом.

Коэффициент подобия k= дробь, числитель — BP, знаменатель — AB = дробь, числитель — a, знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 :a= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 .

S(PBH)={{k} в степени 2 }S(ABM)= дробь, числитель — 1, знаменатель — {{(2 косинус \alpha плюс 1) в степени 2 }} умножить на 32= дробь, числитель — 32, знаменатель — 2,56 =12,5.

 

AP=AB минус x=a минус дробь, числитель — a, знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 =a умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — 2 косинус \alpha плюс 1 минус 1, знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 правая круглая скобка = дробь, числитель — 2a косинус \alpha , знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 .

 

S(APM)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на дробь, числитель — 2a косинус \alpha , знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 умножить на a косинус \alpha умножить на синус \alpha = дробь, числитель — {{a} в степени 2 } косинус \alpha умножить на синус 2\alpha , знаменатель — 2(2 косинус \alpha плюс 1) .

Так как {{a} в степени 2 }= дробь, числитель — 128, знаменатель — синус 2\alpha , то:

S(APM)= дробь, числитель — 128, знаменатель — синус 2\alpha умножить на дробь, числитель — косинус \alpha умножить на синус 2\alpha , знаменатель — 2(2 косинус \alpha плюс 1) = дробь, числитель — 64 косинус \alpha , знаменатель — 2 косинус \alpha плюс 1 = дробь, числитель — 64 умножить на 0,3, знаменатель — 0,6 плюс 1 = дробь, числитель — 64 умножить на 0,3, знаменатель — 1,6 =40 умножить на 0,3=12.

 

S(PMH)=S(ABM) минус S(PBH) минус S(APM)=32 минус 12,5 минус 12=7,5.S(KMP)=2S(PMH)=15.

 

Ответ: б) 15.

 

Примечание.

Это задание встречалась ранее в варианте 106 А. Ларина: см. задачу 562077.


Аналоги к заданию № 562077: 508612 Все

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 108.
Методы геометрии: Свойства биссектрис
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники