Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508621

Площадь треугольника АВС равна 72, а сумма длин сторон АС и ВС равна 24.

а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне АВ.

Решение.

а) Пусть \angle ACB=\alpha ,BC=x, тогда AC=24 минус x.

S(ABC)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 x умножить на (24 минус x) синус \alpha =72; синус \alpha = дробь, числитель — 144, знаменатель — 24x минус {{x в степени 2 }}.

Потребуем выполнения условия 0 меньше синус \alpha меньше или равно 1.

 дробь, числитель — 144, знаменатель — 24x минус {{x в степени 2 }} меньше или равно 1 равносильно 144 минус 24x плюс {{x} в степени 2 } меньше или равно 0 равносильно {{(12 минус x)} в степени 2 } меньше или равно 0 равносильно x=12.

При x=12:S(ACB)= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на 12 умножить на 12 синус \alpha =72;72 синус \alpha =72 равносильно синус \alpha =1, т. е. \alpha ={{90} в степени \circ }, что и требовалось доказать.

б) Итак, в прямоугольном треугольнике АСВ AC = BC = 12, AB=12 корень из { 2}.

Пусть О — середина АВ. Тогда O=AO=BO=6 корень из { 2}. И пусть MNPQ — упомянутый квадрат (N принадлежит AC,P принадлежит BC,\left\{ M,Q \}\subset AB). Проведем отрезок СО, который пересечет NP в точке K. И пусть b — длина стороны квадрата.

При симметрии относительно прямой СО равнобедренный \Delta ACB перейдет сам на себя. Причем отрезки PK и NK перейдут друг на друга. Отсюда: NK=PK= дробь, числитель — b, знаменатель — 2 .

Поскольку NP || AB, \Delta NCP\sim\Delta ACB. А это значит, что  дробь, числитель — CK, знаменатель — NK = дробь, числитель — CO, знаменатель — AO =1;CK=CO минус b=6 корень из { 2} минус b.

(6 корень из { 2} минус b): дробь, числитель — b, знаменатель — 2 =1 равносильно 6 корень из { 2} минус b= дробь, числитель — b, знаменатель — 2 равносильно дробь, числитель — 3b, знаменатель — 2 =6 корень из { 2} равносильно b=4 корень из { 2}.

 

Ответ: б) 4 корень из { 2}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 109.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники