СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д7 C2 № 508619

Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.

Решение.

Обозначения: SABCD — заданная пирамида, SH — высота, SL — апофема, O — центр вписанного и описанного шаров, OD, OS — радиусы описанного шара, OM, OH радиусы вписанного шара. — искомый.

Пусть AD = CD = a. Тогда

ML = HL как отрезки касательных, проведенных из точки L к вписанной сфере.

Отсюда: В прямоугольном

следовательно,

так как они прямоугольные, у них OM — общий катет, OS = OD как радиусы описанного шара. Следовательно,

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.
Классификатор стереометрии: Вписанный шар, Описанный шар, Правильная четырёхугольная пирамида, Система шаров, Угол между плоскостями, Шар