Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x2 + x + 7 млн руб. в год. При цене p тыс. руб. за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн руб.) составляет px − q. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн руб.?
Прибыль (в млн рублей) за один год выражается величиной
Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке 
Подставляя, находим, что наибольшее значение равно 
Прибыль составит не менее 75 млн руб., если
то есть при p ≥ 9, поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение p = 9, искомая наименьшая цена 9 тыс. руб.
Ответ: p = 9.
Примечание.
Можно было сразу воспользоваться тем, что экстремум квадратного трехчлена 
равен 
Приведем замечание Елизаветы Несмеяновой.
При цене 9 тыс. рублей за единицу продукции прибыль составит 75 млн рублей только в том случае, если будет произведено 8 тыс. единиц продукции. Если количество произведенной продукции будет другим, то прибыль будет меньше. Следовательно, вопрос задачи следовало бы сформулировать так: «При каком наименьшем значении p прибыль может составить не менее
Заметим, что во всех задачах подобного типа предполагается, что предприятие производит продукцию в таком количестве, чтобы при заданной цене прибыль была максимальна.
Здравствуйте, не могу понять от куда в задании взялось p-1 а при нажатии на пояснение задачи выдаёт ошибку
Здравствуйте! Данное выражение задаёт параболу с направленными вниз ветвями. Наибольшее значение функции достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины параболы, как известно, находится по формуле:
В данном случае 