Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 512341

Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 23 конец дроби ?

б) Может ли дробь  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби быть в 11 раз меньше, чем сумма  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби , если a больше 5b и c больше 8d?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть a = 11, b = 30, c = 16 и d = 39. Тогда  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 27, знаменатель: 69 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 23 конец дроби .

б) Предположим, что 11 умножить на дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби . Тогда

11 умножить на (a плюс c)bd=(b плюс d)(ad плюс bc),

11abd плюс 11bcd=abd плюс bcd плюс ad в квадрате плюс b в квадрате c,

10abd минус ad в квадрате =b в квадрате c минус 10bcd,

ad(10b минус d)=bc(b минус 10d).

С другой стороны, имеем

10b минус d\geqslant10 умножить на 10 минус 99 больше 0 больше 99 минус 10 умножить на 10 больше или равно b минус 10d.

Следовательно, числа ad(10b минус d) и bc(b минус 10d) имеют разные знаки и не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что 99 больше или равно a больше или равно 5b плюс 1 и с больше или равно 8d плюс 1. Значит, b меньше или равно дробь: числитель: 98, знаменатель: 5 конец дроби меньше 20. Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что b ≤ 19.

Используя неравенства

a\geqslant5b плюс 1,c\geqslant8d плюс 1,b меньше или равно 19,d больше или равно 10,

получаем

 дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби больше или равно дробь: числитель: 5b плюс 8d плюс 2, знаменатель: b плюс d конец дроби =5 плюс дробь: числитель: 3d плюс 2, знаменатель: b плюс d конец дроби \geqslant5 плюс дробь: числитель: 3d плюс 2, знаменатель: d плюс 19 конец дроби =8 минус дробь: числитель: 55, знаменатель: d плюс 19 конец дроби \geqslant8 минус дробь: числитель: 55, знаменатель: 29 конец дроби = дробь: числитель: 177, знаменатель: 29 конец дроби .

Пусть a = 96, b = 19, c = 81 и d = 10. Тогда  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 177, знаменатель: 29 конец дроби . Следовательно, наименьшее возможное значение дроби  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби равно  дробь: числитель: 177, знаменатель: 29 конец дроби .

 

Ответ: а) Да, например, если a = 11, b = 30, c = 16 и d = 39; б) нет; в)  дробь: числитель: 177, знаменатель: 29 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов2
Верно получен один из следующих результатов:

– пример в п. а,

– обоснованное решение в п. б,

– искомая оценка в п. в,

– пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 509326: 512341 512383 509347 517205 517243 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства