Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 517205

Известно, что a, b, c и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 25 конец дроби ?

б) Может ли дробь  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби быть в 11 раз меньше, чем значение выражения  дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби , если a больше 5b и c больше 6d?

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть a=22, b=60, c=10, d=40. Тогда  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 32, знаменатель: 100 конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 25 конец дроби .

б) Предположим, что 11 умножить на дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: a, знаменатель: b конец дроби плюс дробь: числитель: c, знаменатель: d конец дроби . Тогда

11 умножить на (a плюс c)bd=(b плюс d)(ad плюс bc) равносильно 11abd плюс 11bcd=abd плюс bcd плюс ad в квадрате плюс b в квадрате c равносильно

 равносильно 10abd минус ad в квадрате =b в квадрате c минус 10bcd равносильно ad(10b минус d)=bc(b минус 10d).

С другой стороны, 10b минус d больше или равно 10 умножить на 10 минус 99 больше 0 больше 99 минус 10 умножить на 10 больше b минус 10d. Следовательно, числа ad(10b минус d) и bc(b минус 10d) имеют разные знаки и не могут быть равны. Пришли к противоречию.

в) Из условия следует, что 99 больше или равно a больше или равно 5b плюс 1 и c больше или равно 6d плюс 1. Значит, b меньше или равно дробь: числитель: 98, знаменатель: 5 конец дроби меньше 20. Отсюда, учитывая, что число b целое, получаем, что b меньше или равно 19. Используя неравенства a больше или равно 5b плюс 1, c больше или равно 6d плюс 1, b\leqslant19, d\geqslant10, получаем:

 дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби больше или равно дробь: числитель: 5b плюс 6d плюс 2, знаменатель: b плюс d конец дроби =5 плюс дробь: числитель: d плюс 2, знаменатель: b плюс d конец дроби больше или равно 5 плюс дробь: числитель: d плюс 2, знаменатель: d плюс 19 конец дроби =6 минус дробь: числитель: 17, знаменатель: d плюс 19 конец дроби больше или равно 6 минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 29 конец дроби = дробь: числитель: 157, знаменатель: 29 конец дроби .

Пусть a=96, b=19, c=61, d=10. Тогда  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби = дробь: числитель: 157, знаменатель: 29 конец дроби . Следовательно, наименьшее возможное значение дроби  дробь: числитель: a плюс c, знаменатель: b плюс d конец дроби равно  дробь: числитель: 157, знаменатель: 29 конец дроби .

 

Ответ: а) да, например, a=22, b=60, c=10, d=40. б) нет; в)  дробь: числитель: 157, знаменатель: 29 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4

Аналоги к заданию № 509326: 512341 512383 509347 517205 517243 Все

Классификатор алгебры: Числа и их свойства