Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 549035

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущею года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 220 тысяч рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тысяч рублей.

Спрятать решение

Решение.

Пусть k=1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби , а выплаты с февраля по июнь в 2030 и 2031 годах составляют по x тыс. руб. В июле 2027, 2028 и 2029 годов долг перед банком не меняется, а ежегодные выплаты составляют по 220(k − 1) тыс. руб.

В январе 2030 года долг (в тыс. рублей) равен 220k, а в июле  — 220k − x. В январе 2031 года долг равен 220k в квадрате минус kx. а в июле − 220k в квадрате минус левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка х. По условию, к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью, значит, 220k в квадрате минус левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка x= 0, откуда x= дробь: числитель: 220k в квадрате , знаменатель: k плюс 1 конец дроби .

Таким образом, общий размер выплат составляет

3 умножить на 220 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс 2x=660k минус 660 плюс дробь: числитель: 440k в квадрате , знаменатель: k плюс 1 конец дроби =420,

откуда 1100k в квадрате минус 420k минус 1080=0. Из полученного уравнения находим k = 1,2, тогда r = 20.

 

Приведем другое решение.

Обозначим сумму кредита за S=220, выплату в первые три года за a, а выплату в последние два года за b. Тогда, если k=1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби , то kS минус a=S  — так выглядит выплата в каждый из первых трех годов. Условие выплаты кредита двумя равными платежами в последние два года дается формулой k левая круглая скобка kS минус b правая круглая скобка минус b=0. Тогда  a=S левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка , b= дробь: числитель: k в квадрате S, знаменатель: k плюс 1 конец дроби .

По условию, сумма всех выплат составляет 420=3a плюс 2b. Подставляя выражения a и b, выраженные через k, получаем уравнение:

3S левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2k в квадрате S, знаменатель: k плюс 1 конец дроби =420.

Подставим S=220, имеем:

3 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 2k в квадрате , знаменатель: k плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 420, знаменатель: 220 конец дроби равносильно дробь: числитель: 5k в квадрате минус 3, знаменатель: k плюс 1 конец дроби = дробь: числитель: 21, знаменатель: 11 конец дроби ,

откуда получаем квадратное уравнение: 55k в квадрате минус 21k минус 54=0. В силу теоремы Виета, сумма корней полученного уравнения равна  дробь: числитель: 21, знаменатель: 55 конец дроби , а их произведение равно  минус дробь: числитель: 54, знаменатель: 55 конец дроби . Нетрудно подобрать числа (см. комментарий ниже), удовлетворяющие этим равенствам: это числа  минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 11 конец дроби и  дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби . По теореме, обратной теореме Виета, найденные числа являются корнями этого квадратного уравнения. Отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Тем самым k= дробь: числитель: 6, знаменатель: 5 конец дроби , откуда r=20.

Комментарий. Исходя из произведения, разумно искать корни в виде  дробь: числитель: x, знаменатель: 11 конец дроби и  дробь: числитель: y, знаменатель: 5 конец дроби , где xy= минус 54= минус 2 умножить на 3 умножить на 3 умножить на 3. Кроме того, из суммы корней находим, что 5x плюс 11y=21. Теперь подбираем удовлетворяющие системе целые числа: x= минус 9, y=6.

 

Ответ: 20.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 513923: 513916 548496 549035 Все

Источник: Задания 17 ЕГЭ–2020, ЕГЭ по математике. Вариант 313
Классификатор алгебры: Задачи о кредитах