Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 513923

В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы: 

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года. 

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб. 

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 6,1  млн. рублей.

Спрятать решение

Решение.

Пусть банк начисляет r процентов, то есть умножает остаток долга на x=1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби . Тогда первые три платежа составляли 4,2x минус 4,2 миллионов рублей. Пусть, далее, четвертый и пятый платежи составляли N миллионов рублей. Тогда N= левая круглая скобка 4,2x минус N правая круглая скобка x, откуда N= дробь: числитель: 4,2x в квадрате , знаменатель: 1 плюс x конец дроби . По условию, общие выплаты составят 6,1 млн руб., откуда имеем:

3 левая круглая скобка 4,2x минус 4,2 правая круглая скобка плюс 2 умножить на дробь: числитель: 4,2x в квадрате , знаменатель: 1 плюс x конец дроби =6,1 равносильно 3 левая круглая скобка 42x минус 42 правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 84x в квадрате , знаменатель: 1 плюс x конец дроби =61 равносильно

 равносильно дробь: числитель: 84x в квадрате , знаменатель: 1 плюс x конец дроби =187 минус 126x равносильно 84x в квадрате = левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 187 минус 126x правая круглая скобка равносильно

 равносильно 210x в квадрате минус 61x минус 187=0 равносильно левая круглая скобка 10x минус 11 правая круглая скобка левая круглая скобка 21x плюс 17 правая круглая скобка =0 \undersetx больше 0 \mathop равносильно x=1,1.

Тогда r=10.

 

Ответ: 10.

 

 

Приведём другое решение.

 

График погашения кредита

 

ДатаДолг до выплаты,

тыс.руб.

Выплата,

тыс.руб.

Долг после выплаты,

тыс.руб.

01.07.20164200
01.01.20174200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =4200 плюс 42r
01.02.201742r
01.07.20174200
01.01.20184200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =4200 плюс 42r
01.02.201842r
01.07.20184200
01.01.20194200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =4200 плюс 42r
01.02.201942r
01.07.20194200
01.01.20204200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =4200 плюс 42r
01.02.2020x
01.07.20204200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка минус x
01.01.20214200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус x левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка
01.02.2022x0

 

1) 4200 дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби умножить на 3 плюс 2x=6100.

2) 4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус x левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =x, откуда

4200 левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 3050 минус 63r правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: r, знаменатель: 100 конец дроби правая круглая скобка =3050 минус 63r равносильно

 

 равносильно 21r в квадрате плюс 3590r минус 38000=0 равносильно совокупность выражений r=10,r= дробь: числитель: минус 3800, знаменатель: 21 конец дроби конец совокупности . \undersetr больше 0\mathop равносильно r=10.

 

Расчеты будем вести в тыс. руб.

1. Поскольку в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг клиента будет равен сумме взятого кредита, то в течение первых трех из пяти лет клиент будет выплачивать кредитору лишь процентные начисления за первые три года. Общая сумма выплаченных денежных средств составит 3 умножить на 4200 умножить на 0,01r=126r (тыс. руб.) Следовательно, за последние два расчетных года клиент выплатит кредитору  левая круглая скобка 6100 минус 126r правая круглая скобка тыс. руб. А это значит, что суммы выплат 2020 года и аналогичная сумма 2021 года составят по  левая круглая скобка 3050 минус 63r правая круглая скобка (тыс. руб.) каждая.

2. По условию задачи к январю 2020 года долг клиента составит 4200 тыс. руб. В январе 2020 г этот долг возрастет до 4200 умножить на левая круглая скобка 1 плюс 0,01r правая круглая скобка =4200 плюс 42r (тыс. руб).

С февраля по июнь клиент выплатит кредитору сумму  левая круглая скобка 3050 минус 63r правая круглая скобка тыс. руб. Долг к июлю 2020 г. составит 4200 плюс 42r минус 3050 плюс 63r=1150 плюс 105r (тыс. руб.)

3. К январю 2021 года долг клиента составит  левая круглая скобка 1150 плюс 105r правая круглая скобка тыс. руб. В январе 2020 г. этот долг возрастет до

 левая круглая скобка 1150 плюс 105r правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс 0,01r правая круглая скобка =1150 плюс 105r плюс 11,5r плюс 1,05r в квадрате =1,05r в квадрате плюс 116,5r плюс 1150 левая круглая скобка тыс.руб. правая круглая скобка

С февраля по июнь клиент выплатит кредитору сумму  левая круглая скобка 3050 минус 63r правая круглая скобка тыс. руб. Долг будет погашен полностью. Следовательно,

1,05r в квадрате плюс 116,5r плюс 1150 минус 3050 плюс 63r=0 равносильно 105r в квадрате плюс 11650r плюс 115000 минус 305000 плюс 6300r=0 равносильно

 равносильно 105r в квадрате плюс 17950r минус 190000=0 равносильно 21r в квадрате плюс 3590r минус 38000=0.

 

 r= дробь: числитель: минус 1795\pm корень из 3222025 плюс 798000, знаменатель: 21 конец дроби = дробь: числитель: минус 1795\pm корень из 4020025, знаменатель: 21 конец дроби = дробь: числитель: минус 1795\pm2005, знаменатель: 21 конец дроби .

 

r_1= дробь: числитель: минус 1795 плюс 2005, знаменатель: 21 конец дроби = дробь: числитель: 210, знаменатель: 21 конец дроби =10;

 

r_2= дробь: числитель: минус 1795 минус 2005, знаменатель: 21 конец дроби меньше 0.

второй корень не подходит по смыслу задачи.

 

Ответ: 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Верно построена математическая модель1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 513923: 513916 548496 549035 Все

Источник: Задания 17 (С5) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 2016. Досрочная волна, резервная волна. Вариант А. Ларина (часть С)
Классификатор алгебры: Задачи о кредитах