Ре­ше­ние. Пе­ре­ве­дем вы­со­ту из футов в сан­ти­мет­ры: 37 000 · 30,5  =  1 128 500 см. Пе­ре­ве­дем вы­со­ту из сан­ти­мет­ров в метры: 1 128 500 : 100  =  11 285 м. Сле­до­ва­тель­но, полет про­хо­дит на вы­со­те 11 285 мет­ров.

Ответ: 11 285.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что ве­ро­ят­ность по­лу­че­ния новой прин­цес­сы равна а ве­ро­ят­ность про­ти­во­по­лож­но­го со­бы­тия  — по­лу­че­ние ста­рой прин­цес­сы  — Ве­ро­ят­ность того, что для по­лу­че­ния сле­ду­ю­щей прин­цес­сы Маше придётся ку­пить 2 шо­ко­лад­ных яйца, равна Ве­ро­ят­ность того, что для по­лу­че­ния сле­ду­ю­щей прин­цес­сы Маше придётся ку­пить 3 шо­ко­лад­ных яйца, равна Таким об­ра­зом, ис­ко­мая ве­ро­ят­ность  — 0,16 + 0,032  =  0,192.

Ответ: 0,192.

Ре­ше­ние. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и трех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ка­те­ты ко­то­рых равны 3, 2; 3, 2; 1, 1. По­это­му

Ответ: 2,5.

Ре­ше­ние. Двух­руб­ле­вые мо­не­ты могут ле­жать в одном кар­ма­не, если Петя пе­ре­ло­жил в дру­гой кар­ман три из че­ты­рех руб­ле­вых монет (а двух­руб­ле­вые не пе­ре­кла­ды­вал), или если пе­ре­ло­жил в дру­гой кар­ман обе двух­руб­ле­вые мо­не­ты и одну руб­ле­вую одним из трех спо­со­бов: (1, 2, 2); (2, 1, 2); (2, 2, 1). Эти че­ты­ре со­бы­тия не­сов­мест­ные, ве­ро­ят­ность их суммы равна сумме ве­ро­ят­но­стей этих со­бы­тий:

Ответ: 0,4.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­чим:

Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют по­ло­жи­тель­ные корни.

Если то

Если то

Зна­че­ни­ям со­от­вет­ству­ют мень­шие зна­че­ния кор­ней.

Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шим по­ло­жи­тель­ным кор­нем яв­ля­ет­ся число

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. Имеем:

Ответ: 4,8.

Ре­ше­ние. Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции в точке тогда и толь­ко тогда, когда од­но­вре­мен­но и В нашем слу­чае имеем:

Ис­ко­мое зна­че­ние а равно 24.

Ответ: 24.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По смыс­лу за­да­чи a ≠ 0, а зна­чит, гра­фик за­дан­ной функ­ции  — па­ра­бо­ла. Ка­са­тель­ная к па­ра­бо­ле (а также и к ги­пер­бо­ле) имеет с ней един­ствен­ную общую точку. По­это­му не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние имело един­ствен­но ре­ше­ние. Для этого дис­кри­ми­нант урав­не­ния дол­жен быть равен нулю, от­ку­да

Ре­ше­ние. Пло­щадь по­верх­но­сти за­дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равна сумме пло­ща­дей боль­шо­го и ма­лень­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­дов с реб­ра­ми 6, 6, 2 и 1, 2, 2, умень­шен­ной на 4 пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1, 2  — пе­ред­ней грани ма­лень­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, из­лиш­не учтен­ной при рас­че­те пло­ща­дей по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­дов:

Ответ: 128.

Ре­ше­ние. Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 16.

Ре­ше­ние. Най­дем ско­рость груза через 6 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Най­дем ки­не­ти­че­скую энер­гию груза через 6 се­кунд после на­ча­ла ко­ле­ба­ний:

Ответ: 0,015

Ре­ше­ние. Пусть кон­цен­тра­ция пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты  — а кон­цен­тра­ция вто­ро­го  — Если сме­шать эти рас­тво­ры кис­ло­ты, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 68% кис­ло­ты: Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 70% кис­ло­ты: Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

По­это­му

Ответ: 18.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции:

В точке за­дан­ная функ­ция имеет ми­ни­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­мень­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­мень­шее зна­че­ние:

Ответ: −33,5.

Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние, по­лу­ча­ем Зна­чит, или где В пер­вом слу­чае во вто­ром слу­чае где Пер­вая серия ре­ше­ний вхо­дит во вто­рую.

б)  От­ме­тим ре­ше­ния на три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти. От­рез­ку при­над­ле­жат корни и

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть МН  — вы­со­та пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD с вер­ши­ной М. тогда тре­уголь­ник АМН пря­мо­уголь­ный. МA  =  10, МН  =  6, от­ку­да

Тре­уголь­ник АВН пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, сле­до­ва­тель­но, В тре­уголь­ни­ке AMB вы­со­та

В рав­но­бед­рен­ном пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВН вы­со­та

За­ме­тим, что MNH  — ли­ней­ный угол ис­ко­мо­го дву­гран­но­го угла. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MNH катет MH боль­ше ка­те­та NH, по­сколь­ку по­это­му угол, ле­жа­щий на­про­тив MH, боль­ше, чем угол, ле­жа­щий на­про­тив NH, а зна­чит, боль­ше, чем

б)  Центр О сферы, впи­сан­ной в пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, лежит на её вы­со­те MH, точка K ка­са­ния сферы и бо­ко­вой грани АМВ лежит на от­рез­ке MN. Тре­уголь­ни­ки MOK и MNH по­доб­ны, по­это­му

где r  — ра­ди­ус сферы.

Пло­щадь сферы

Ответ:

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя свой­ства ло­га­риф­мов, пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

При :

При :

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем, что ре­ше­ние не­ра­вен­ства  — мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Пер­вый слу­чай.

Цен­тры O₁ и O окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки KPN и LMP со­от­вет­ствен­но, лежат на бис­сек­три­се PO угла KPN. Окруж­ность, впи­сан­ная в че­ты­рех­уголь­ник KLMN, яв­ля­ет­ся также окруж­но­стью, впи­сан­ной в тре­уголь­ник KPN и внев­пи­сан­ной окруж­но­стью тре­уголь­ни­ка LMP.

Че­ты­рех­уголь­ник KLMN впи­сан в окруж­ность, сле­до­ва­тель­но, ∠LKN + ∠LMN  =  180°. Но ∠LMP + ∠LMN  =  180°, от­ку­да ∠LKN = ∠LMP. Так как тре­уголь­ни­ки KPN и LMP имеют еще общий угол KPN, они по­доб­ны, при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен от­но­ше­нию ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в эти тре­уголь­ни­ки.

Далее имеем:

1)  

2)  S_ΔLPM  =  pR, где p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка LPM рав­ный длине от­рез­ка AP, как сумма от­рез­ков ка­са­тель­ных про­ве­ден­ных из одной точки.

3)  из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OAP на­хо­дим от­ку­да

Под­став­ляя най­ден­ное S_ΔLPM в фор­му­лу пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка KPN, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

Вто­рой слу­чай.

От­ли­ча­ет­ся от пер­во­го рас­по­ло­же­ни­ем точки P левее точек N и K. В этом слу­чае R > r и в рас­суж­де­нии они и тре­уголь­ни­ки LMP и KPN долж­ны быть по­ме­ня­ны ме­ста­ми. Таким об­ра­зом, в этом слу­чае KPN  — мень­ший из двух тре­уголь­ни­ков, а ра­ди­ус впи­сан­ной в него окруж­но­сти r. Зна­чит

S_KPN  =  rp, где p  — по­лу­пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка KPN рав­ный от­рез­ку PB. При этом, как и в пер­вом слу­чае, Таким об­ра­зом,

Ответ: или

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что на ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки ли­ней­ных функ­ций. Найдём их урав­не­ния y  =  kx + b. Пер­вая пря­мая про­хо­дит через точки (−2; −1) и (−1; 2), сле­до­ва­тель­но

Зна­чит, урав­не­ние пер­вой пря­мой  — y  =  3x + 5.

Вто­рая пря­мая про­хо­дит через точки (1; −1) и (3; 4), сле­до­ва­тель­но,

Зна­чит, урав­не­ние вто­рой пря­мой  —

Те­перь найдём абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния гра­фи­ков:

Ответ: −17.

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

За­ме­тим, что если не­ко­то­рое число яв­ля­ет­ся ре­ше­ни­ем дан­но­го урав­не­ния при не­ко­то­ром зна­че­нии па­ра­мет­ра a, то и также будет яв­лять­ся его ре­ше­ни­ем при том же зна­че­нии Это озна­ча­ет, что урав­не­ние может иметь един­ствен­ное ре­ше­ние, толь­ко в том слу­чае, если

Под­ста­вив это ре­ше­ние в урав­не­ние, по­лу­чим:

от­ку­да

Пусть Тогда ис­ход­ное урав­не­ние при­мет вид

От­сю­да сле­ду­ет, что сле­до­ва­тель­но,

Ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и оно имеет един­ствен­ное ре­ше­ние удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию Сле­до­ва­тель­но, удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи.

Ответ: при един­ствен­ное ре­ше­ние

Ре­ше­ние. Пусть а   — наи­боль­ший общий де­ли­тель чисел a и Тогда

Число a со­сто­ит из 2014 зна­ков, а число b  — из 2015 зна­ков, а зна­чит, b и со­сто­ят из оди­на­ко­во­го ко­ли­че­ства раз­ря­дов. Более того, рас­смот­рим раз­ность

По свой­ствам наи­боль­ше­го об­ще­го де­ли­те­ля

За­ме­тим, что зна­чит, число a крат­но числу

По­это­му и тогда

Ответ: