а)  Точки A, C₁, H, B₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром AH. Углы С₁AH и C₁B₁H равны как впи­сан­ные, зна­чит, углы тоже BAH и BB₁C₁ тоже равны. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, D  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Тре­бу­ет­ся вы­чис­лить длину от­рез­ка  OD. За­ме­тим, что По­это­му тре­уголь­ни­ки AB₁C₁ и ABC по­доб­ны по двум про­пор­ци­о­наль­ным сто­ро­нам и углу между ними, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен Зна­чит, BC  =  2B₁C₁  =  24, BD  =  12.

Угол BOС равен удво­ен­но­му углу BAC, то есть 120°. Сле­до­ва­тель­но, угол OBD равен 30°. Най­дем ис­ко­мое рас­сто­я­ние:

Ответ: б)

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Уча­щий­ся, изу­ча­ю­щий гео­мет­рию углублённо, решит пункт б) в одну строч­ку:

Ответ: 18.

При­ве­дем по­лез­ные тео­ре­мы, на при­ме­не­ние ко­то­рых со­став­ле­на эта за­да­ча.

1.  Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка до ор­то­цен­тра вдвое боль­ше рас­сто­я­ния от цен­тра опи­сан­ной окруж­но­сти до про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­ны (опыт­ный чи­та­тель пред­ло­жит не менее шести до­ка­за­тельств этого факта; см., на­при­мер, здесь).

2.  Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка до ор­то­цен­тра равно про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­не, умно­жен­ной на ко­тан­генс угла при этой вер­ши­не.

3.  Если из двух вер­шин не­пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка про­ве­де­ны вы­со­ты к его сто­ро­нам или их про­дол­же­ни­ям, то ос­но­ва­ния этих высот и тре­тья вер­ши­на тре­уголь­ни­ка об­ра­зу­ют тре­уголь­ник, по­доб­ный дан­но­му, а ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен мо­ду­лю ко­си­ну­са их об­ще­го угла.

До­ка­за­тель­ства этих и дру­гих свойств при­ве­де­ны, на­при­мер, здесь: Ор­то­центр и ор­то­тре­уголь­ник.

По­лез­но будет срав­нить эту за­да­чу с за­да­ни­я­ми 505425 и 519473 из эк­за­ме­на­ци­он­но­го ва­ри­ан­та ЕГЭ 2014 года, за­да­ни­ем 519475 из ЕГЭ−2018, за­да­ни­ем 526342 из ЕГЭ−2019.

а)  Точки A, C₁, H, B₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром AH. Углы С₁AH и C₁B₁H равны как впи­сан­ные, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну и ту же дугу. Сле­до­ва­тель­но, углы BAH и BB₁C₁ тоже равны.

б)  Пусть O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, D  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Тре­бу­ет­ся вы­чис­лить длину от­рез­ка OD. За­ме­тим, что

Тре­уголь­ни­ки AB₁C₁ и ABC по­доб­ны по двум про­пор­ци­о­наль­ным сто­ро­нам и углу между ними, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен Зна­чит,

Угол BOС равен удво­ен­но­му углу BAC, то есть равен 60°. Сле­до­ва­тель­но, и угол OBD равен 60°. Тогда

Ответ: б) 18.

При­ме­ча­ние Дмит­рия Гу­щи­на.

Уча­щий­ся, изу­ча­ю­щий гео­мет­рию углублённо, решит пункт б) в одну строч­ку:

Ответ: 18.

При­ве­дем по­лез­ные тео­ре­мы, на при­ме­не­ние ко­то­рых со­став­ле­на эта за­да­ча.

1.  Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка до ор­то­цен­тра вдвое боль­ше рас­сто­я­ния от цен­тра опи­сан­ной окруж­но­сти до про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­ны (опыт­ный чи­та­тель пред­ло­жит не менее шести до­ка­за­тельств этого факта; см., на­при­мер, здесь).

2.  Рас­сто­я­ние от вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка до ор­то­цен­тра равно про­ти­во­ле­жа­щей сто­ро­не, умно­жен­ной на ко­тан­генс угла при этой вер­ши­не.

3.  Если из двух вер­шин не­пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка про­ве­де­ны вы­со­ты к его сто­ро­нам или их про­дол­же­ни­ям, то ос­но­ва­ния этих высот и тре­тья вер­ши­на тре­уголь­ни­ка об­ра­зу­ют тре­уголь­ник, по­доб­ный дан­но­му, а ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен мо­ду­лю ко­си­ну­са их об­ще­го угла.

До­ка­за­тель­ства этих и дру­гих свойств при­ве­де­ны, на­при­мер, здесь: Ор­то­центр и ор­то­тре­уголь­ник.

По­лез­но будет срав­нить эту за­да­чу с за­да­ни­я­ми 505425 и 519473 из эк­за­ме­на­ци­он­но­го ва­ри­ан­та ЕГЭ 2014 года, за­да­ни­ем 519475 из ЕГЭ−2018, за­да­ни­ем 526342 из ЕГЭ−2019.

а)  Точки A, C₁, H, B₁ лежат на окруж­но­сти с диа­мет­ром AH. Углы С₁AH и C₁B₁H равны как впи­сан­ные, зна­чит, углы тоже BAH и BB₁C₁ тоже равны. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть O  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC, D  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC. Тре­бу­ет­ся вы­чис­лить длину от­рез­ка OD. За­ме­тим, что

Угол BOС равен удво­ен­но­му углу BAC, то есть 120°. Сле­до­ва­тель­но, угол OBD равен 30°. Най­дем ис­ко­мое рас­сто­я­ние:

Ответ: б) 10.