Системы с логарифмами по переменному основанию
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Решите систему неравенств 
Область допустимых значений первого неравенства задается соотношениями:
На области допустимых значений справедливы равносильности:
Поэтому на ОДЗ имеем:
Заметим, что
Поэтому
Окончательно имеем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы неравенств | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы неравенств | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите систему неравенств 
Решим второе неравенство системы:
Искомое решение — отрезок 
Решим первое неравенство системы на множестве решений второго неравенства. На отрезке отрезке 
неравенство 
определено, и его знак совпадает со знаком произведения 
Поскольку на указанном отрезке числитель и знаменатель первой дроби положительны, получаем: 
откуда 
или 
Тем самым, множество решений системы: 
Ответ:
Приведём авторское решение.
Решим первое неравенство системы. Значения x, при которых определено первое неравенство: 
и 
Рассмотрим два случая.
Первый случай: Получаем, что 
Тогда
Второй случай: 
Получаем, что 
следовательно, при первое неравенство исходной системы верно.
Решение первого неравенства исходной системы: 
Решим второе неравенство системы:
Решение второго неравенства системы: 
Пересекая полученные множества решений, находим решение исходной системы неравенств:
Примечание.
Укажем ещё один способ решить первое неравенство. Заметим, что область его определения — множество 
На этом множестве основание и аргумент множителя 
оба больше 1, поэтому он положителен. Тогда остаётся решить неравенство 
что на ОДЗ даёт 
откуда 
и окончательно с учётом ОДЗ: Учитывая множество решений второго неравенства, получим
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите систему неравенств 
Найдем ограничения на x системы в целом.
Очевидно, равенство в первом нестрогом неравенстве будет выполнено при 
или 
При 
и 
будем также иметь: 
Таким образом, решения первого неравенства представляются множеством
Теперь рассмотрим второе неравенство системы.
Решим последнее неравенство методом интервалов.
| Интервалы | (−∞; −1) | (−1; 1) | (1; 1,5) | (1,5; +∞) |
| Знак выражения | − | + | − | + |
Решения второго неравенства системы: 
Решения исходной системы: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите систему неравенств 
1. Решим первое неравенство системы. Сделаем замену 
Тогда 
откуда находим решение первого неравенства системы: 
2. Решим второе неравенство системы. Рассмотрим два случая.
Первый случай: 
Учитывая условие 
получаем: 
Второй случай: 
Учитывая условие 
получаем 
Решение второго неравенства системы: 
Пересекая решения неравенств, получаем решение системы.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах системы | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном из неравенств системы | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Решите систему 
1.Решим первое неравенство:
2. Решим второе неравенство 
при всех 
При условиях 
и получаем неравенство
При указанных условиях множество решений неравенства: 
3. Решением системы является общая часть решений двух неравенств. Так как 
имеем 
откуда получаем множество решений системы: 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Для обоих неравенств системы обоснованно получены верные ответы, но решение системы не найдено или найдено неверно | 2 |
| Для одного из двух неравенств системы обоснованно получен верный ответ | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх