Еже­ме­сяч­ное уве­ли­че­ние ва­лют­ной массы, на­хо­дя­щей­ся в об­ра­ще­нии, со­став­ля­ет 100 − 50  =  50 тыс. дол­ла­ров, по­это­му через n ме­ся­цев в стра­не будет (1000 + 50n) тыс. дол­ла­ров.

Ко­ли­че­ство фаль­ши­вых дол­ла­ров еже­ме­сяч­но умень­ша­ет­ся на тыс. дол­ла­ров. Из­на­чаль­но их было 1 000 000 · 0,2  =  200 000, по­это­му через n ме­ся­цев в стра­не будет (200 − 5n) тыс. фаль­ши­вых дол­ла­ров.

Через n ме­ся­цев фаль­ши­вые дол­ла­ры со­ста­ви­ли 5% от об­ще­го ко­ли­че­ства дол­ла­ров. Имеем:

Ответ: через 20 ме­ся­цев.

Пусть сумма на­хо­дя­щих­ся в банке средств кли­ен­тов со­став­ля­ет S де­неж­ных еди­ниц. Банк по­лу­чит наи­мень­шую при­быль, если его до­хо­ды по обоим вло­же­ни­ям ока­жут­ся ми­ни­маль­ны­ми, а вы­пла­ты кли­ен­там мак­си­маль­ны­ми. Ве­ли­чи­на ми­ни­маль­ных до­хо­дов со­став­ля­ет

Вы­пла­та кли­ен­там по выс­шей став­ке (20%) со­став­ля­ет 0,2 . Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шая воз­мож­ная чи­стая при­быль равна

Банк по­лу­чит наи­боль­шую при­быль, если его до­хо­ды по обоим вло­же­ни­ям ока­жут­ся мак­си­маль­ны­ми, а вы­пла­ты кли­ен­там ми­ни­маль­ны­ми. Ве­ли­чи­на мак­си­маль­ных до­хо­дов со­став­ля­ет

Вы­пла­та кли­ен­там по низ­шей став­ке (10%) со­став­ля­ет 0,1 . По­это­му наи­боль­шая воз­мож­ная чи­стая при­быль равна

Ответ: 5%; 20%.

При­ме­ча­ние.

Эта за­да­ча, взя­тая нами из ва­ри­ан­тов А. Ла­ри­на № 93 и № 239, впер­вые, по-ви­ди­мо­му, была пред­ло­же­на на всту­пи­тель­ном эк­за­ме­не по ма­те­ма­ти­ке для по­сту­па­ю­щих на от­де­ле­ние ме­недж­мен­та эко­но­ми­че­ско­го фа­куль­те­та МГУ им. М. В. Ло­мо­но­со­ва в июле 1997 года. Со­став­ляя пар­ную за­да­чу к этой, ав­то­ры, по всей ве­ро­ят­но­сти, до­пу­сти­ли ошиб­ку, рас­про­стра­нен­ную потом при ци­ти­ро­ва­нии в ме­то­ди­че­ских пуб­ли­ка­ци­ях. Ин­те­ре­су­ю­ще­му­ся чи­та­те­лю ре­ко­мен­ду­ем са­мо­сто­я­тель­но ре­шить эту (не­слож­ную) за­да­чу, а затем про­ве­рить себя.

Ре­ше­ние и ком­мен­та­рии при­ве­де­ны в за­да­нии 621856.

Пусть х м  — глу­би­на ко­лод­ца. Тогда часть вы­плат, за­ви­ся­щих от глу­би­ны ко­лод­ца, об­ра­зу­ет ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью 500, пер­вый член ко­то­рой равен 1000. Най­дем сумму пер­вых х чле­нов про­грес­сии, по­след­ний член ко­то­рой равен Она (сумма) будет равна

По­сколь­ку, кроме ука­зан­ной суммы, было вы­пла­че­но еще 10 000 руб, а сред­няя сто­и­мость 1 м при этом со­ста­ви­ла 6250 руб, то имеет место урав­не­ние, ко­то­рое решим, имея в виду, глу­би­на ко­лод­ца свыше 10 м.

Ответ: 20.

При удо­ро­жа­нии ком­му­наль­ных услуг на 100%, общая сумма уве­ли­чи­лась бы на 70%. А если бы элек­три­че­ство по­до­ро­жа­ло на 100%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 20%. Зна­чит, в общем пла­те­же на ком­му­наль­ные услу­ги при­хо­дит­ся 70%, а на элек­три­че­ство  — 20%. По­это­му на те­ле­фон при­хо­дят­ся остав­ши­е­ся 10%.

При­ведём дру­гие ре­ше­ния.

1.  Ал­геб­ра­и­че­ский под­ход.

Пусть плата за ком­му­наль­ные услу­ги и элек­три­че­ство со­став­ля­ет х руб. в месяц, а за те­ле­фон  — у руб. Если плата и за ком­му­наль­ные услу­ги, и за элек­три­че­ство уве­ли­чит­ся на 50%, эта часть опла­ты со­ста­вит 1,5x руб., что по­вле­чет уве­ли­че­ние общей суммы пла­те­жа на 35% + 10%  =  45%. Тогда

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да Это озна­ча­ет, что на те­ле­фон при­хо­дит­ся часть от общей суммы пла­те­жа, а это со­став­ля­ет 10%.

2.  Ариф­ме­ти­ка по­мо­га­ет ал­геб­ре.

Если все три вида предо­став­ля­е­мых услуг по­до­ро­жа­ют на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чит­ся на 50%. Но из-за того, что пла­теж за услу­ги те­ле­фо­нии оста­нет­ся не­из­мен­ным, общая сумма пла­те­жа после по­до­ро­жа­ния по осталь­ным двум видам услуг будет на 50% − 35% −10%  =  5% мень­ше. Эти 5%  — доля те­ле­фо­нии в числе 50% опла­ты за все услу­ги. Тем самым, доля опла­ты за те­ле­фон со­став­ля­ет 5/⁠50 или 10% от общей суммы.

3.  Си­сте­ма ли­ней­ных урав­не­ний.

Обо­зна­чим за x долю общей опла­ты, при­хо­дя­щей­ся на ком­му­наль­ные услу­ги, за y  — на элек­три­че­ство и за z  — на те­ле­фон. Со­ста­вим си­сте­му урав­не­ний. Сумма всех оплат   — пер­вое урав­не­ние. Уве­ли­чи­ва­ем в 1,5 раза ком­му­наль­ные услу­ги:   — вто­рое урав­не­ние. Уве­ли­чи­ва­ем в 1,5 раза опла­ту за элек­три­че­ство:   — тре­тье урав­не­ние. Затем вы­чи­та­ем из тре­тье­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­ча­ем от­сю­да Затем вы­чи­та­ем из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­ча­ем от­сю­да Под­став­ля­ем в пер­вое урав­не­ние: от­сю­да или 10%.

Ответ: 10%.

Пусть x кг  — масса яблок 1-го сорта, y кг  — масса яблок 2-⁠го сорта, остав­ши­е­ся 91 − (x + у) кг  — масса яблок 3-⁠го сорта. Для ве­ли­чи­ны вы­руч­ки имеем:

от­ку­да (*).

По­сколь­ку масса яблок 1-⁠го сорта мень­ше массы яблок 2-⁠го сорта на столь­ко же про­цен­тов, на сколь­ко про­цен­тов масса яблок 2-⁠го сорта мень­ше массы яблок 3-⁠го сорта имеем:

Под­ста­вим усло­вие (*) в по­лу­чен­ную про­пор­цию и решим ее:

Таким об­ра­зом, са­до­вод про­дал 7 кг яблок пер­во­го сорта и, сле­до­ва­тель­но, 35 − 14 = 21 кг яблок вто­ро­го сорта.

Ответ: 21.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть x кг  — масса яблок пер­во­го сорта, про­дан­ных са­до­во­дом, а масса яблок вто­ро­го сорта со­став­ля­ет tx кг. Тогда масса про­дан­ных яблок тре­тье­го сорта со­ста­вит tx · t  =  t²x кг. По усло­вию за­да­чи:

По­де­лив почлен­но ра­вен­ство (2) на ра­вен­ство (1), по­лу­чим:

Зна­че­ние не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи. Зна­че­ние x най­дем из урав­не­ния

Ответ: 21 кг.