ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Каталог заданий.
Последовательности и прогрессии

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 505693 Добавить в вариант

a₁, a₂, a₃, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что $a_a_k=3k$ для любого $k.$ Найти:

а)  a₁₀₀;

б)  a₁₉₈₃.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 56

Решение · Критерии · Помощь

Тип Д19 C7 № 505705 Добавить в вариант

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006 , но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более, чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 58

Решение · Критерии · Помощь

Тип Д19 C7 № 505717 Добавить в вариант

Дана бесконечная последовательность чисел $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_k,\ldots левая круглая скобка k принадлежит N правая круглая скобка ,$ в которой при каждом k член последовательности x_k является корнем уравнения $x в квадрате минус 2 умножить на 3 в степени k умножить на x плюс 9 в степени k =0.$

1.  Найдите наибольший порядковый номер k члена последовательности такой, что в десятичной записи числа x используется не более семи цифр.

2.  Укажите наименьшее натуральное число N, среди делителей которого содержится ровно 8 членов данной последовательности.

3.  Существует ли такое натуральное число n, что сумма n идущих подряд

членов этой последовательности равна некоторому члену этой последовательности.

4.  Существует ли набор из 2012 членов данной последовательности таких, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом.

Решение.

1.  Сразу заметим, что уравнение имеет единственный корень $x=3 в степени k .$ Следовательно, формула общего члена последовательности имеет вид $x_k=3 в степени k ,k принадлежит N .$

Для ответа на первый вопрос заметим, что $3 в степени 7 =2187,$ тогда число $3 в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка =3 умножить на левая круглая скобка 3 в степени 7 правая круглая скобка в квадрате больше 3 умножить на 4 умножить на 10 в степени 6$ содержит в десятичной записи более семи цифр. Легко убедитьcя, что условию задачи удовлетворяет число $3 в степени левая круглая скобка 14 правая круглая скобка =4782969,$ то есть $k=14.$

2.  Число будет содержать среди делителей ровно 8 членов данной последовательности в случае, если его делителями являются первые 8 членов последовательности, а девятый уже не является. Следовательно, искомое натуральное число должно делиться на $3 в степени 8 =6561.$ Для того, чтобы оно было наименьшим, оно не должно иметь других делителей, то есть это число 6561.

3.  Нет. Предположим, что такой набор существует, то есть при некоторых значениях k и m имеет место равенство $3 в степени k плюс 3 в степени левая круглая скобка k плюс 1 правая круглая скобка плюс умножить на s плюс 3 в степени левая круглая скобка k плюс n минус 1 правая круглая скобка =3 в степени m .$

По формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем 3 свернем левую часть последнего равенства. Тогда получаем равенство $3 в степени k умножить на дробь: числитель: 3 в степени n минус 1, знаменатель: 2 конец дроби =3 в степени m$ или $3 в степени n минус 1=2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка m минус k правая круглая скобка .$ Отсюда получаем равенство $3 в степени n минус 2 умножить на 3 в степени левая круглая скобка m минус k правая круглая скобка =1.$ Последнее равенство возможно только при выполнении условий $n=1$ и $m=k$ (иначе правая часть равна 1, а левая делится на 3), что не удовлетворяет условию задачи.

4.  Да, существует. Этому условию удовлетворяет любой набор, содержащий N членов (в том числе и 2012 членов) последовательности, каждый из которых имеет вид $3 в степени левая круглая скобка 2k плюс 1 правая круглая скобка .$ Тогда любой набор содержит минимальное число, которое при суммировании можно вынести за скобки и получится выражение вида $3 в степени левая круглая скобка 2m плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка 1 плюс 3 в степени левая круглая скобка 2a правая круглая скобка плюс 3 в степени левая круглая скобка 2b правая круглая скобка плюс умножить на s правая круглая скобка ,$ которое не является квадратом.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 60

Решение · Критерии · Помощь

Тип Д19 C7 № 505771 Добавить в вариант

В бесконечной последовательности a₁, a₂, a₃, ... число a₁ равно 1, а каждое следующее число a_n строится из предыдущего a_n – 1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то a_n = a_{n – 1} + 1, если же остаток равен 3, то a_n = a_n – 1 – 1. Докажите, что в этой

последовательности

а)  число 1 встречается бесконечно много раз;

б)  каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.

(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 69

Решение · Критерии · Помощь

Тип Д19 C7 № 505813 Добавить в вариант

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения

конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите:

а)  наименьшее такое число,

б)  все такие числа.

Решение.

1)  Пусть через t минут на ленте лежат деталей типа A и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ деталей типа $B .$ Так как $m левая круглая скобка t правая круглая скобка$ и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ имеют разную четность, то может принимать только значения 1, 3, 5. Так как каждую минуту добавляется деталь того типа, которого на ленте меньше, а убирается произвольная деталь, то $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |$ либо не изменяется, либо уменьшается. Так как по условию исходное расположение повторяется через n минут (а значит, и через $2n ,$ $3n$ и т. д.), то получаем, что величина $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |$ не изменяется при всех $t .$

2)  Допустим, что $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |\geqslant3.$ Так как $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |$ не изменяется, а $m левая круглая скобка t правая круглая скобка$ и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ могут меняться только на 1, то $m левая круглая скобка t правая круглая скобка$ и $k левая круглая скобка t правая круглая скобка$ также не изменяются. Тогда добавляется всегда деталь одного и того же типа и при этом деталь того же типа всегда снимается. Это означает, что исходно на ленте все детали одного типа и деталь того же типа добавляется. Это противоречит правилу подготовки следующей детали. Следовательно, $|m левая круглая скобка t правая круглая скобка минус k левая круглая скобка t правая круглая скобка |=1$ при всех $t.$

3)  Пусть $a_1,a_2,...,a_76,a_77$   — типы деталей (A или B), которые стояли исходно на конвейере и добавлялись в последующие моменты. Мы показали, что при любом i среди $a_i плюс 1,...,a_i плюс 78$ 38 раз встречается A и 37 раз встречается B и тогда $a_i плюс 76=B,$ либо все наоборот. В любом случае при каждом i среди $a_i плюс 1,...,a_i плюс 76$ A и B встречаются по 38 раз.

4)  Так как среди $a_i,...,a_i плюс 75$ A и B встречаются по 38 раз и среди $a_i плюс 1,...,a_i плюс 76$ A и B встречаются по 38 раз, то $a_i плюс 76=a_i$ (при каждом i ). Таким образом, 76 – период последовательности $a_1,a_2,...,a_76,....$

5)  Пусть через n минут ситуация на конвейере впервые повторилась. Тогда n  — период последовательности $a_1,a_2,...,a_76,a_77.$ Обратно, если q  — период этой последовательности, то через q минут ситуация на конвейере повторяется. Следовательно, n  — минимальный период последовательности $a_1,a_2, ..., a_76,a_77,....$

6)  Известно (и легко показать), что минимальный период является делителем любого периода. Следовательно, 76 делится на n , то есть период длины n укладывается целое число раз на отрезке последовательности длины 76. Так как на любом отрезке длины 76 детали A и B встречаются одинаковое число раз, то это же верно и для периода длины $n .$ Отсюда следует, что n  — четное число и возможно только $n = 2, 4, 38, 76.$

7)  Пусть $n = 2k$ и 76 делится на $n .$ Построим бесконечную последовательность, в которой сначала k раз стоит A, затем k раз стоит B, и затем все повторяется с периодом $2k .$ Эта последовательность будет порождаться в нашей задаче, если в качестве исходного расположения деталей на конвейере взять первые 75 элементов последовательности, причем впервые исходная ситуация повторится ровно через $2k$ минут. Таким образом, все значения $n = 2 , 4, 38, 76$ могут реализоваться.

Ответ: a) 2; б) 2, 4, 38, 76.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 76

Решение · Критерии · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям