СДАМ ГИА






Каталог заданий. Последовательности и прогрессии
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

В стро­ку под­ряд на­пи­са­но 1000 чисел. Под каж­дым чис­лом a пер­вой стро­ки на­пи­шем число, указывающее, сколь­ко раз число a встре­ча­ет­ся в пер­вой строке. Из по­лу­чен­ной таким об­ра­зом вто­рой стро­ки ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем третью: под каж­дым чис­лом вто­рой стро­ки пишем, сколь­ко раз оно встре­ча­ет­ся во вто­рой строке. Затем из тре­тьей стро­ки так же по­лу­ча­ем четвёртую, из четвёртой — пятую, и так далее.

а) Докажите, что не­ко­то­рая строч­ка сов­па­да­ет со следующей.

б) Докажите, что 11‐я стро­ка сов­па­да­ет с 12‐й.

в) При­ве­ди­те при­мер такой пер­во­на­чаль­ной строчки, для ко­то­рой 10‐я стро­ка не сов­па­да­ет с 11‐й.

Задание 0 № 505663


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 51.
2

Можно ли из по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 1/2, 1/3, 1/4,… вы­де­лить ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию

а) дли­ной 4

б) дли­ной 5

в) дли­ной k, где k — любое на­ту­раль­ное число?

Задание 0 № 505669


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.
3

a1, a2, a3, ... – воз­рас­та­ю­щая по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел. Известно, что для лю­бо­го Найти:

а) a100;

б) a1983.

Задание 0 № 505693


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.
4

В бес­ко­неч­ной воз­рас­та­ю­щей по­сле­до­ва­тель­но­сти на­ту­раль­ных чисел каж­дое де­лит­ся хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006 , но ни одно не де­лит­ся на 97. Кроме того, каж­дые два со­сед­них числа от­ли­ча­ют­ся не более, чем на k. При каком наи­мень­шем k такое возможно?

Задание 0 № 505705


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.
5

Дана бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность чисел в ко­то­рой при каж­дом член по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния

1. Най­ди­те наи­боль­ший по­ряд­ко­вый номер члена по­сле­до­ва­тель­но­сти такой, что в де­ся­тич­ной за­пи­си числа x ис­поль­зу­ет­ся не более семи цифр.

2. Ука­жи­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число среди де­ли­те­лей ко­то­ро­го со­дер­жит­ся ровно 8 чле­нов дан­ной последовательности.

3. Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число что сумма иду­щих под­ряд

членов этой по­сле­до­ва­тель­но­сти равна не­ко­то­ро­му члену этой последовательности.

4. Су­ще­ству­ет ли набор из 2012 чле­нов дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти таких, что ни­ка­кая сумма не­сколь­ких из этих чисел не яв­ля­ет­ся пол­ным квадратом.

Задание 0 № 505717


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 60.
6

Даны две последовательности: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2 и 3, 6, 12. В каж­дой из них каж­дое число по­лу­че­но из преды­ду­ще­го по од­но­му и тому же закону.

а) Най­ди­те этот закон.

б) Най­ди­те все на­ту­раль­ные числа, пе­ре­хо­дя­щие сами в себя (по этому закону).

в) Докажите, что число 21991 после не­сколь­ких пе­ре­хо­дов ста­нет однозначным.

Задание 0 № 505723


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 61.
Решение

7

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 19752... каж­дая цифра, на­чи­ная с пятой, равна по­след­ней цифре суммы преды­ду­щих четырёх цифр. Встре­тит­ся ли в этой последовательности:

а) набор цифр 1234; 3269;

б) вто­рич­но набор 1975;

в) набор 8197?

Задание 0 № 505735


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 63.
8

Целые числа от 1 до n за­пи­са­ны в строчку. Под ними за­пи­са­ны те же числа в дру­гом порядке. Может ли слу­чить­ся так, что сумма каж­до­го числа и за­пи­сан­но­го под ним есть точ­ный квад­рат

а) при n = 9,

б) при n = 11,

в) при n = 1996.

Задание 0 № 505741


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 64.
9

В бес­ко­неч­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти a1, a2, a3, ... число a1 равно 1, а каж­дое сле­ду­ю­щее число an стро­ит­ся из преды­ду­ще­го an – 1 по правилу: если у числа n наи­боль­ший нечётный де­ли­тель имеет оста­ток 1 от де­ле­ния на 4, то an = an – 1 + 1, если же оста­ток равен 3, то an = an – 1 – 1. Докажите, что в этой

последовательности

а) число 1 встре­ча­ет­ся бес­ко­неч­но много раз;

б) каж­дое на­ту­раль­ное число встре­ча­ет­ся бес­ко­неч­но много раз.

(Вот пер­вые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ... .)

Задание 0 № 505771


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 69.
10

Станок вы­пус­ка­ет де­та­ли двух типов. На ленте его кон­вей­е­ра вы­ло­же­ны в одну линию 75 деталей. Пока кон­вей­ер движется, на стан­ке го­то­вит­ся де­таль того типа, ко­то­ро­го на ленте меньше. Каж­дую ми­ну­ту оче­ред­ная де­таль па­да­ет с ленты, а под­го­тов­лен­ная кла­дет­ся в ее конец. Через не­ко­то­рое число минут после вклю­че­ния

конвейера может слу­чить­ся так, что рас­по­ло­же­ние де­та­лей на ленте впер­вые по­вто­рит начальное. Найдите:

а) наи­мень­шее такое число,

б) все такие числа.

Задание 0 № 505813


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 76.
11

Последовательность за­да­на фор­му­лой где

а) Может ли число 15 яв­лять­ся чле­ном последовательности?

б) Верно ли, что дан­ная по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся бес­ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской прогрессией?

в) Может ли по­сле­до­ва­тель­ность яв­лять­ся гео­мет­ри­че­ской прогрессией?

г) Могут ли три под­ряд иду­щих члена по­сле­до­ва­тель­но­сти яв­лять­ся сто­ро­на­ми пря­мо­уголь­но­го треугольника?

Задание 0 № 505863


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 3.
12

Есть набор чисел где Число имеет вид где — раз­лич­ные числа — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел — целая часть от числа

а) Найти наи­мень­шее воз­мож­ное и наи­боль­шее воз­мож­ное число если

б) Най­ди­те наименьшее при ко­то­ром число боль­ше 20.

в) Най­ди­те при каком ми­ни­маль­ном вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

Задание 0 № 505875


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.
13

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с це­ло­чис­лен­ны­ми сторонами.

а) Могут ли сто­ро­ны дан­но­го тре­уголь­ни­ка быть чле­на­ми одной воз­рас­та­ю­щей гео­мет­ри­че­ской прогрессии?

б) Докажите, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го n боль­ше­го 1, можно найти такие три числа, ко­то­рые будут яв­лять­ся сто­ро­на­ми этого тре­уголь­ни­ка и чле­на­ми одной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии с раз­но­стью n.

Задание 0 № 505881


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.
14

Несколько на­ту­раль­ных чисел об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую прогрессию, на­чи­ная с чет­но­го числа. Сумма не­чет­ных чле­нов про­грес­сии равна 33, чет­ных — 44. Най­ди­те эти числа.

Задание 0 № 505923


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 13.
15

Дана бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность чисел, в ко­то­рой пер­вый член равен 1, а каж­дый по­сле­ду­ю­щий в два раза мень­ше предыдущего.

а) Можно ли из дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­де­лить бес­ко­неч­ную гео­мет­ри­че­скую прогрессию, сумма чле­нов ко­то­рой равна

б) Можно ли из дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти вы­де­лить бес­ко­неч­ную гео­мет­ри­че­скую прогрессию, сумма чле­нов ко­то­рой равна

Задание 0 № 505959


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 19.
16

Можно ли из по­сле­до­ва­тель­но­сти 1, 1/2, 1/3, … вы­брать (сохраняя порядок)

а) сто чисел,

б) бес­ко­неч­ную по­сле­до­ва­тель­ность чисел, из ко­то­рых каждое, на­чи­ная с третьего, равно раз­но­сти двух преды­ду­щих

Задание 0 № 505965


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.
17

В воз­рас­та­ю­щей ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сумма цифр чле­нов тоже об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. Может ли в про­грес­сии быть:

а) 11 членов;

б) бес­ко­неч­ное число членов?

Задание 0 № 505971


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.
18

Рассматривается по­сле­до­ва­тель­ность 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, ….

а) Су­ще­ству­ет ли ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия длины 5 со­став­лен­ная из чле­нов этой последовательности?

б) Можно ли со­ста­вить ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию бес­ко­неч­ной длины из этих чисел?

в) Может ли в про­грес­сии быть 2013 членов?

Задание 0 № 505977


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 22.
19

В ряд вы­пи­са­ны в по­ряд­ке воз­рас­та­ния числа, де­ля­щи­е­ся на 9: 9, 18, 27, 36, …. Под каж­дым чис­лом этого ряда за­пи­са­на сумма его цифр.

а) На каком месте во вто­ром ряду впер­вые встре­тит­ся число 81?

б) Что встре­тит­ся раньше: че­ты­ре раза под­ряд число 27 или один раз число 36?

Задание 0 № 506079


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 39.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика