СДАМ ГИА






Каталог заданий. Числа и их свойства
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задание 0 № 505609

Дано ир­ра­ци­о­наль­ное число такое что По нему опре­де­ля­ет­ся новое число как мень­шее из двух чисел и По этому числу ана­ло­гич­но опре­де­ля­ет­ся и так далее.

а) Докажите, что для не­ко­то­ро­го n вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

б) Может ли случиться, что при всех на­ту­раль­ных

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.

2
Задание 0 № 505615

На бу­маж­ке за­пи­са­ны три по­ло­жи­тель­ных числа: x, y и 1. За один ход раз­ре­ша­ет­ся за­пи­сать на бу­маж­ку сумму или раз­ность каких‐нибудь двух уже за­пи­сан­ных чисел или за­пи­сать число, об­рат­ное к какому‐нибудь из уже за­пи­сан­ных чисел. Можно ли за не­сколь­ко ходов по­лу­чить на бу­маж­ке

а) число x2?

б) число xy?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 44.

3
Задание 0 № 505627

Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каж­дой такой трой­ки вы­чис­ля­ет­ся число d = a1999 + b1999 + c1999.

а) Может ли случиться, что d = 2?

б) может ли случиться, что d — про­стое число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.

4
Задание 0 № 505639

Перемножаются все выражения вида (при всевозможных комбинациях знаков).

а) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся целым числом?

б) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся квад­ра­том це­ло­го числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.

5
Задание 0 № 505651

чисел () на­зы­ва­ют­ся близкими, если каж­дое из них меньше, чем сумма всех чисел, де­лен­ная на Пусть ... — n близ­ких чисел, — их сумма.

Докажите, что

а) все они положительны;

б) все­гда

в) все­гда

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.

6
Задание 0 № 505675

На доске на­пи­са­ны числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 и 1/12.

а) Докажите, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «−» между этими числами, вы­ра­же­ние не будет равно 0.

б) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство на­пи­сан­ных чисел не­об­хо­ди­мо сте­реть с доски для того, чтобы после не­ко­то­рой рас­ста­нов­ки «+» и «−» между остав­ши­ми­ся чис­ла­ми зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­ня­лось 0?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.

7
Задание 0 № 505681

Натуральные числа и по­лу­ча­ют­ся друг из друга пе­ре­ста­нов­кой цифр. Докажите, что

а) суммы цифр чисел и равны;

б) если и чётные, то суммы цифр чисел и равны;

в) суммы цифр чисел и равны.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.

8
Задание 0 № 505687

Для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа через обо­зна­чим такое наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа не пре­вос­хо­дя­ще­го число пред­ста­ви­мо в виде суммы квад­ра­тов на­ту­раль­ных чисел.

а) До­ка­жи­те для лю­бо­го не­ра­вен­ство

б) Най­ди­те хотя бы одно такое на­ту­раль­ное число что

в) Докажите, что су­ще­ству­ет бес­ко­неч­но много таких на­ту­раль­ных что

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.

9
Задание 0 № 505711

Натуральные числа M и K от­ли­ча­ют­ся пе­ре­ста­нов­кой цифр.

Доказать что:

а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;

б) сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);

в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.

10
Задание 0 № 505759

Круглая ми­шень раз­би­та на 20 секторов, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся по кругу в каком-либо по­ряд­ке чис­ла­ми 1, 2, ..., 20. Если сек­то­ры занумерованы, например, в сле­ду­ю­щем по­ряд­ке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наи­мень­шая из раз­но­стей между но­ме­ра­ми со­сед­них (по кругу) сек­то­ров равна 12 − 9 = 3.

а) Может ли ука­зан­ная ве­ли­чи­на при ну­ме­ра­ции в дру­гом по­ряд­ке быть боль­ше 3?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этой величины?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.

11
Задание 0 № 505783

а) Дано шесть на­ту­раль­ных чисел. Все они раз­лич­ны и дают в сумме 22. Найти эти числа.

б) Докажите, что дру­гих таких чисел нет.

в) Тот же во­прос про 100 чисел, да­ю­щих в сумме 5051.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.

12
Задание 0 № 505789

Даны на­ту­раль­ные числа M и N, боль­шие десяти, со­сто­я­щие из оди­на­ко­во­го ко­ли­че­ства цифр и такие, что M = 3N. Чтобы по­лу­чить число M, надо в числе N к одной из цифр при­ба­вить 2, а к каж­дой из осталь­ных цифр при­ба­вить по нечётной цифре.

а) При­ве­ди­те при­мер таких чисел

б) Может ли число N за­кан­чи­вать­ся циф­рой 1?

в) Какой циф­рой могло окан­чи­вать­ся число N?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.

13
Задание 0 № 505795

Известно, что сумма цифр на­ту­раль­но­го числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50.

а) Может ли число N за­кан­чи­вать­ся на 1?

б) Докажите, что N четно.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.

14
Задание 0 № 505807

Написано 1992‐значное число. Каж­дое дву­знач­ное число, об­ра­зо­ван­ное со­сед­ни­ми цифрами, де­лит­ся на 17 или на 23. По­след­няя цифра числа 1.

а) Де­лит­ся ли дан­ное число на 3?

б) Ка­ко­ва пер­вая цифра числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 75.

15
Задание 0 № 505819

С на­ту­раль­ным чис­лом (записываемым в де­ся­тич­ной системе) раз­ре­ше­но про­де­лы­вать сле­ду­ю­щие операции:

А) при­пи­сать на конце цифру 4;

Б) при­пи­сать на конце цифру 0;

В) раз­де­лить на 2 (если число чётно).

Например, если с чис­лом 4 про­де­ла­ем по­сле­до­ва­тель­но опе­ра­ции В, В, А и Б, то по­лу­чим число 140.

а) Из числа 4 по­лу­чи­те число 1972.

б) Докажите, что из числа 4 можно по­лу­чить любое на­ту­раль­ное число.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.

16
Задание 0 № 505825

Можно ли расставить числа  

а) от 1 до 7;

б) от 1 до 9

по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.

17
Задание 0 № 505837

Существуют ли

а) шесть,

б) 1000 таких раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b де­лит­ся на раз­ность a − b?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.

18
Задание 0 № 505843

Даны на­ту­раль­ные числа и такие, что Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел де­лит­ся на 13.

а) Най­ди­те наи­мень­шую сумму такую, что она яв­ля­ет­ся квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

б) Най­и­те наи­боль­шее зна­че­ние числа если и сумма имеет наи­мень­шее значение.

в) Най­ди­те наи­мень­шее число если известно, что числа и в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью

г) Если известно, что числа и в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью найдите наименьшее , при ко­то­ром число будет наи­мень­шим , и все члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии будут яв­лять­ся квад­ра­та­ми на­ту­раль­но­го числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.
Решение ·

19
Задание 0 № 505849

В лицее № 4 оцен­ки ста­вят в ат­те­стат по успе­ва­е­мо­сти за 9 и 11 классы. Если оцен­ки от­ли­ча­ют­ся на 1 балл, то ста­вят в поль­зу ученика, если более, чем на 1 балл, т ста­вят среднее. Известно, что в 9 и 11 клас­сах у Лены было 5 предметов, причём сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 9 класс равно 4,6, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 11 клас­се равно 4,8.

а) Могла ли Лена по­лу­чить от­лич­ный аттестат?

б) Могла ли Лена за­кон­чить лицей с тройкой?

в) В спец. клас­се лицея n предметов. Если бы Лена там обучалась, и сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок за 9 класс ока­за­лось равно 4,1, а за 11 класс — 4,9, то она стала бы отличницей. При каком наи­мень­шем это возможно?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.

20
Задание 0 № 505887

В вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка за­пи­са­но по на­ту­раль­но­му числу, па каж­дой сто­ро­не — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в её концах, а внут­ри тре­уголь­ни­ка — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа за­пи­са­ны в вер­ши­нах треугольника?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.

21
Задание 0 № 505911

Найдите все целые зна­че­ния для каж­до­го из ко­то­рых число Будет рациональным.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.

22
Задание 0 № 505917

Последнюю цифру ше­сти­знач­но­го числа пе­ре­ста­ви­ли в на­ча­ло (например 123456 — 612345), и по­лу­чен­ное ше­сти­знач­ное число при­ба­ви­ли к ис­ход­но­му числу. Какие числа из про­ме­жут­ка [891870; 891899] могли по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те сложения?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.

23
Задание 0 № 505929

В де­ся­тич­ной за­пи­си по­ло­жи­тель­но­го числа по­ме­ня­ли ме­ста­ми цифры, сто­я­щие на пер­вом и тре­тьем ме­стах после запятой. При этом число уве­ли­чи­лось в 13 раз.

а) Какая цифра сто­я­ла на тре­тьем месте после за­пя­той в ис­ход­ном числе?

б) Какое число получилось?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.

24
Задание 0 № 505941

Даны 20 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 70. Докажите, что среди их по­пар­ных раз­но­стей най­дут­ся че­ты­ре одинаковых.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.

25
Задание 0 № 506019

На окруж­но­сти рас­став­ле­ны 999 чисел, каж­дое равно 1 или −1, при­чем не все числа одинаковые. Возь­мем все про­из­ве­де­ния по 10 под­ряд сто­я­щих чисел и сло­жим их.

а) Какая наи­мень­шая сумма может получиться?

б) А какая наибольшая?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.

26
Задание 0 № 506061

На плос­ко­сти даны 8 отрезков. Длина каж­до­го от­рез­ка яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным числом, не пре­вос­хо­дя­щим 20. Пусть n – число раз­лич­ных треугольников, ко­то­рые можно со­ста­вить из этих отрезков. Один и тот же от­ре­зок может ис­поль­зо­вать­ся для раз­ных треугольников, но не может ис­поль­зо­вать­ся два­жды для од­но­го треугольника.

а) Может ли n = 60?

б) Может ли n = 55?

в) Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n, если среди дан­ных от­рез­ков нет трех равных.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.

27
Задание 0 № 506085

А, И, Б си­де­ли на трубе. К ним стали по оче­ре­ди под­са­жи­вать­ся дру­гие буквы так, что по­ряд­ко­вый номер оче­ред­ной буквы в рус­ском ал­фа­ви­те рав­нял­ся сумме цифр по­ряд­ко­вых но­ме­ров двух преды­ду­щих букв. Оказалось, что на­чи­ная с не­ко­то­ро­го мо­мен­та буквы стали цик­ли­че­ски повторяться.

а) Какая буква (из числа цик­ли­че­ски повторяющихся) встре­ча­ет­ся наи­бо­лее часто?

б) Может ли цик­ли­че­ски по­вто­ря­ю­щий­ся набор со­сто­ять из одной буквы? Если да, ука­зать эту букву.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.

28
Задание 0 № 508091

Дана гео­мет­ри­че­ская прогрессия вида Воз­мож­но ли вы­де­лить геометрическую про­грес­сию с сум­мой членов, равной

а)

б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.

29
Задание 0 № 508100

Имеются 300 яблок. Докажите, что их можно раз­ло­жить в па­ке­ты по два яб­ло­ка так, чтобы любые два па­ке­та различались по весу не более, чем в пол­то­ра раза, если любые два яб­ло­ка различаются по весу не более, чем:

а) в два раза;

б) в три раза.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 83.

30
Задание 0 № 508106

а) Школь­ни­ки од­но­го клас­са в сен­тяб­ре хо­ди­ли в два ту­ри­сти­че­ских похода. В пер­вом по­хо­де маль­чи­ков было мень­ше об­ще­го числа участ­ни­ков этого похода, во вто­ром — тоже мень­ше . Докажите, что в этом клас­се маль­чи­ки со­став­ля­ют мень­ше об­ще­го числа учеников, если известно, что каж­дый из уче­ни­ков участ­во­вал по­край­ней мере в одном походе.

б) Пусть в k-м походе, где 1 ≤ kn, маль­чи­ки со­став­ля­ли ak-ю часть об­ще­го ко­ли­че­ства участ­ни­ков этого похода. Какую наи­боль­шую долю могут со­став­лять маль­чи­ки на общей встре­че всех ту­ри­стов (всех, кто участ­во­вал хотя бы в одном из n походов)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.

31
Задание 0 № 508118

На листе бу­ма­ги в строч­ку записаны 11 единиц.

а) Докажите, что между этими еди­ни­ца­ми можно рас­ста­вить знаки сложения, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния действий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

б) Докажите, что если единицы, сто­я­щие на чет­ных местах, за­ме­нить на семерки, все равно между чис­ла­ми полученного на­бо­ра можно рас­ста­вить знаки сложения, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния действий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

в) Докажите, что между лю­бы­ми 11 на­ту­раль­ны­ми числами можно рас­ста­вить знаки сложения, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния действий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.

32
Задание 0 № 508126

а) Пред­ставь­те число 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных натуральных чисел.

б) Най­ди­те количество спо­со­бов представления числа 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных натуральных чисел.

в) Можно ли число 2015 пред­ста­вить в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных нечетных на­ту­раль­ных чисел?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.

33
Задание 0 № 508135

Имеется набор гирь со сле­ду­ю­щи­ми свойствами: 1) в нем есть 5 гирь, по­пар­но различных по весу; 2) для любых двух гирь най­дут­ся две дру­гие гири та­ко­го же сум­мар­но­го веса.

А) Докажите, что в таком на­бо­ре обязательно най­дут­ся две гири оди­на­ко­во­го веса.

Б) Обя­за­тель­но ли в таком на­бо­ре найдутся че­ты­ре гири оди­на­ко­во­го веса?

В) Какое наи­мень­шее количество гирь может быть в этом наборе?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.

34
Задание 0 № 508141

а) Най­ди­те три не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число.

б) Най­ди­те четыре не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число.

в) Су­ще­ству­ет ли 2015 не­со­кра­ти­мых дробей, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.

35
Задание 0 № 508147

K ба­бу­шек одновременно узна­ли K сплетен, причём каж­дая из них узна­ла только одну сплетню. Ба­буш­ки принялись об­ме­ни­вать­ся сплетнями по телефону. Каж­дый разговор за­ни­ма­ет 1 час, в те­че­ние которого можно пе­ре­дать сколько угод­но сплетен. Какое ми­ни­маль­ное количество часов раз­го­во­ра нужно, чтобы все ба­буш­ки узнали все сплетни, если:

а) K = 64,

б) K = 55,

в) K = 100.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.

36
Задание 0 № 508153

Набор со­сто­ит из пер­вых 22 на­ту­раль­ных чисел: 1; 2; 3;…; 21; 22.

А) Какое наи­боль­шее количество чисел этого на­бо­ра необходимо перемножить, чтобы по­лу­чить куб на­ту­раль­но­го числа?

Б) Какое наи­боль­шее количество чисел этого на­бо­ра необходимо перемножить, чтобы по­лу­чить квадрат на­ту­раль­но­го числа?

В) Какое наи­боль­шее количество чисел этого на­бо­ра необходимо перемножить, чтобы по­лу­чить квадрат не­чет­но­го натурального числа?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.

37
Задание 0 № 508159

А) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых попарные суммы равны 7, 9, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 18, 21?

Б) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых попарные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

В) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых попарные про­из­ве­де­ния равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 96.

38
Задание 0 № 508165

Про на­ту­раль­ное число N известно, что сумма его че­ты­рех наименьших на­ту­раль­ных делителей равна 12.

А) Может ли сумма че­ты­рех наибольших на­ту­раль­ных делителей числа N рав­нять­ся 195?

Б) Может ли сумма че­ты­рех наибольших на­ту­раль­ных делителей числа N рав­нять­ся 120?

В) Най­ди­те все воз­мож­ные числа N, у ко­то­рых сумма че­ты­рех наибольших на­ту­раль­ных делителей не пре­вос­хо­дит 100.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.

39
Задание 0 № 508171

А) Най­ди­те какое-либо на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 де­ли­те­лей (включая 1 и само число).

Б) Най­ди­те наименьшее на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 делителей.

В) Най­ди­те все трех­знач­ные нечетные на­ту­раль­ные числа, у ко­то­рых ровно 10 делителей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.

40
Задание 0 № 508177

Каждое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15 по од­но­му записывают на шести карточках. Далее кар­точ­ки переворачивают и перемешивают. На их чи­стых сторонах за­но­во пишут по од­но­му каждое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15. После этого на каж­дой карточке под­счи­ты­ва­ют модуль раз­но­сти записанных на ней чисел, а по­лу­чен­ные в итоге числа перемножают.

а) Может ли в ре­зуль­та­те получиться 65?

б) Может ли в ре­зуль­та­те получиться 120?

в) Какое наи­мень­шее натуральное число может в ре­зуль­та­те получиться?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.

41
Задание 0 № 508183

Рассматриваются 10‐значные натуральные числа (все десять цифр в их записи различны). Среди таких чисел найдите:

а) какое‐либо число, делящееся на 11;

б) наибольшее число, делящееся на 11;

в) наименьшее число, делящееся на 11.

(Натуральное  число  делится    на  11,  если  знакочередующаяся  сумма  его  цифр делится на 11. Например, число 61938085 делится на 11, так как 6 − 1 + 9 − 3 + 8 − 0 + 8 − 5 = 22)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 103.

42
Задание 0 № 508189

В ряд выписаны на­ту­раль­ные числа: Между ними про­из­воль­ным образом расставляют знаки «+» и «–» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

А) 4, если  N = 12;

Б) 0, если  N = 13;

В) 0, если  N = 16;

Г) 5, если  N = 18?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.

43
Задание 0 № 508195

А) Докажите, что число составное.

Б) Докажите, что  число  составное.

В) Докажите, что число является произведением двух последовательных натуральных чисел.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.

44
Задание 0 № 508201

А) Можно ли числа от 1 до 16 расположить по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была бы квадратом натурального числа?

Б)  Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить в строку так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была бы квадратом натурального числа?

В) Можно ли числа от 1 до 16 расположить в строку так, чтобы каждое число, начиная  со второго, было бы делителем суммы всех предыдущих?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106.

45
Задание 0 № 508207

А) Какое наи­боль­шее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие две не били друг друга?

Б) Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?

В) Какое наименьшее число королей нужно поставить на шахматную доску так, чтобы все клетки оказались под  боем?

Г) Какое наибольшее число ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.

46
Задание 0 № 508599

А) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 12×12 пол­но­стью накрыть плитками, ука­зан­ны­ми на рисунке?

Б) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью накрыть плитками, ука­зан­ны­ми на рисунке?

В) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью накрыть плитками, ука­зан­ны­ми на рисунке?

(Плитки не долж­ны накладываться друг на друга и вы­хо­дить за край доски)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101.

47
Задание 0 № 508606

Рассматривается набор различных натуральных чисел, больших 1. Известно, что 1) каждое число набора является делителем 60, 2) произведение всех чисел набора равно .

А) Найдите наибольшее количество чисел в таком наборе.

Б) Найдите наименьшее количество чисел в таком наборе.

В) Сколько существует различных наборов, удовлетворяющих условиям (1) и (2)?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.

48
Задание 0 № 508617

А) Докажите, что среди произвольных 11 натуральных чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.

Б) Докажите, что среди произвольных 11 целых чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.

В) Докажите, что среди произвольных 10 натуральных чисел всегда найдутся несколько, сумма которых делится на 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.

49
Задание 0 № 508624

Дан прямоугольный треугольник ABC.

А) Каждую сторону треугольника ABC увеличили на 1. Может ли полученный при этом треугольник снова оказаться прямоугольным?

Б) Каждую сторону треугольника ABC уменьшили на 1. Может ли полученный при этом треугольник снова оказаться прямоугольным?

В) Каждую  сторону  треугольника ABC из­ме­ни­ли на 1 (увеличили  или  уменьшили,  по своему  усмотрению).  Может  ли  полученный  при  этом  треугольник  оказаться прямоугольным?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.

50
Задание 0 № 508637

Партия проходит в Думу, если по результатам голосования набирает более 6% голосов избирателей. Для каждой такой партии найдутся две другие партии, каждая из которых набрала меньшее число голосов, но  суммарно они набрали больше голосов.

а) Могут ли при­нять участие в вы­бо­рах 6 партий?

б) Могут ли при­нять участие в вы­бо­рах 5 партий?

в) Пусть m — ко­ли­че­ство партий, про­шед­ших в Думу, n — ко­ли­че­ство партий, не про­шед­ших в Думу. Най­ди­те максимальное зна­че­ние выражения m/n.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.

51
Задание 0 № 508644

а) Пусть p — про­стое число, от­лич­ное от 3. Докажите, что число 111…11 (p единиц) не де­лит­ся на p.

б) Пусть p > 5 — про­стое число. Докажите, что число 111…11 (p — 1 единица) де­лит­ся на p.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.

52
Задание 0 № 508651

Лягушка пры­га­ет по вер­ши­нам шестиугольника ABCDEF, каж­дый раз пе­ре­ме­ща­ясь в одну из со­сед­них вершин.

а) Сколь­ки­ми способами она может по­пасть из A в C за n прыжков?

б) Сколь­ко таких спо­со­бов при условии, что вер­ши­ной D поль­зо­вать­ся нельзя?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.

53
Задание 0 № 508750

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, … каж­дый член, на­чи­ная с пятого, равен по­след­ней цифре суммы пред­ше­ству­ю­щих четырёх членов.

а) Встре­тят­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти еще раз под­ряд 4 цифры 2, 0, 0, 0?

б) Встре­тят­ся ли в ней че­ты­ре подряд цифры 0, 0, 8, 2?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.

54
Задание 0 № 508759

а) К лю­бо­му ли ше­сти­знач­но­му числу, на­чи­на­ю­ще­му­ся с цифры 5, можно при­пи­сать спра­ва ещё 6 цифр так, чтобы по­лу­чен­ное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

б) Тот же во­прос про число, на­чи­на­ю­ще­е­ся на 1.

в) Най­ди­те для каж­до­го на­ту­раль­но­го n такое наи­мень­шее число k, что к лю­бо­му n-значному числу можно так при­пи­сать спра­ва k цифр, чтобы по­лу­чен­ное (n + k)-значное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 89.

55
Задание 0 № 508942

Произведение трёх на­ту­раль­ных чисел, об­ра­зу­ю­щих арифметическую прогрессию, яв­ля­ет­ся делителем не­ко­то­ро­го числа вида n2 + 1, где

а) Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская прогрессия с раз­но­стью 12.

б) Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская прогрессия с раз­но­стью 10 или 11.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 100.

56
Задание 0 № 508956

Даны два трехзначных натуральных числа. Известно, что их произведение в N раз (натуральное число N > 1) меньше ше­сти­знач­но­го числа, получающегося приписыванием одного из этих двух чисел вслед за другим.

А) Может ли N равняться 2?

Б) Может ли N равняться 3?

В) Какое наибольшее значение может принимать число N?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.

57
Задание 0 № 511165

Петя задумал натуральное число, большее 100. Вера называет натуральное число N, большее 1. Если число Пети делится на N, то Вера выиграла, иначе Петя вычитает из своего числа число N, и игра продолжается. Называть ранее названные числа Вера уже не может. Когда число Пети станет отрицательным, Вера проигрывает. Есть ли у Веры выигрышная стратегия?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.

58
Задание 0 № 511215

Может ли общая часть тре­уголь­ни­ка и че­ты­рех­уголь­ни­ка (образованная при на­ло­же­нии одной фи­гу­ры на другую) пред­став­лять собой

а) семиугольник;

б) восьмиугольник;

в) девятиугольник?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.

59
Задание 0 № 511222

а) На доске за­пи­са­ны три раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. Два числа по­ме­ня­ли местами. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь эти числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую прогрессию?

б) На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. Одно число с доски стерли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую прогрессию?

в) На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке гео­мет­ри­че­скую прогрессию. Одно число с доски стерли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую прогрессию?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.

60
Задание 0 № 511229

а) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квадратом, а тре­тья часть — точ­ным кубом.

б) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным кубом, а тре­тья часть — точ­ным квадратом.

в) Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квадратом, тре­тья часть — точ­ным кубом, а пятая часть — точ­ной пятой степенью?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.

61
Задание 0 № 511236

Может ли сумма трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида (где , n>1) равняться

а) 1,1;

б) 0,5;

в) 1,05?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.

62
Задание 0 № 511243

Саша вы­чис­лил про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до 52 вклю­чи­тель­но и за­пи­сал на доске ответ. Од­на­ко две цифры (они от­ме­че­ны сим­во­ла­ми x и у) он на­пи­сал неразборчиво, а все сто­я­щие в конце нули стёр. В ре­зуль­та­те на доске ока­за­лось число 806581751709438785716606368564037669752895054408832778ух.

а) Сколь­ко нулей стёр ученик?

б) Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом х.

в) Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом у.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.

63
Задание 0 № 511250

а) Может ли сумма че­ты­рех на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

б) Может ли сумма че­ты­рех раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

в) Может ли сумма 2015 раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных ра­ци­о­наль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же 2015 чисел?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.

64
Задание 0 № 511257

Про на­ту­раль­ное число Р известно, что сумма трех его наи­мень­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 8.

а). Най­ди­те число Р, у ко­то­ро­го сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 289.

б). Может ли сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа Р рав­нять­ся 255.

в). Най­ди­те все воз­мож­ные числа Р, у ко­то­рых сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей не

превосходит 100.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.

65
Задание 0 № 511271

а) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b = 99?

б) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет си­сте­ма уравнений

 

 

в) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b + c =99?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.

66
Задание 0 № 511278

Решите уравнение:

а) [2x] = {7x};

б) [2x] = 7x;

в) 2x = {7x}.

[a] — целая часть числа a, т. е. наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее a;

{a} — дроб­ная часть числа a, т. е. {a} = a − [a].

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.

67
Задание 0 № 511285

Найдите наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, у которого

а) про­из­ве­де­ние всех его де­ли­те­лей равно 131.

б) число (количество) его де­ли­те­лей равно 131.

в) сумма трёх мень­ших и наи­боль­ше­го его де­ли­те­ля равна 131.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.

68
Задание 0 № 511835

Маятниковые  часы  показывают  полночь.  Время,  когда  часовая  и  минутная стрелки образуют на циферблате прямой угол, назовем интересным моментом.

А)  Определите, сколько интересных моментов наблюдается в течение суток.

Б)  Определите точное время, когда интересный момент  наступит в первый раз.

В) Определите, какое наименьшее время должно пройти между двумя интересными моментами.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.

69
Задание 0 № 511842

А) Найдите все пары целых чисел, разность квадратов которых равна 91.

Б) Найдите все пары целых чисел, разность кубов которых равна 91.

В) Может ли разность каких‐либо Nх (N > 3) степеней двух целых чисел равняться 91?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.

70
Задание 0 № 511867

Дано выражение: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 = 0

А) Замените каждую * знаком «+» или «−» так, чтобы равенство стало верным.

Б)  Какое  наименьшее  число  минусов  придется  поставить,  чтобы  равенство  стало 

верным?

В)  Какое  наименьшее  число  плюсов  придется  поставить,  чтобы  равенство  стало 

верным?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.

71
Задание 0 № 511882

В футбольной команде «Метеор» 16 человек (11 основных игроков и 5 запасных). Известно, что возраст (число  полных лет) у всех игроков различный, причем самому младшему 16 лет, а самому старшему 40 лет. Помощник тренера перед началом матча по­счи­тал средний возраст всех 16 иг­ро­ков команды, а во время матча — сред­ний возраст 11 человек, вышедших на поле в основном составе.

А) Мог ли средний возраст всей команды и ее основного состава оказаться одинаковым?

Б) Мог ли средний возраст всей команды и ее основного состава отличаться ровно на 5 лет?

В) Найдите наибольшее возможное значение разности между средним возрастом всей команды и средним возрастом ее основного состава.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.

72
Задание 0 № 511889

На проекте «Вышка» каждый прыжок в воду оценивают пять судей. При этом каждый судья выставляет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 6 включительно. Известно, что за прыжок Тимура Ласточкина все члены жюри выставили  различные оценки. По ста­рой системе оценивания итоговый балл за прыжок определялся как среднее арифметическое всех оце­нок судей. По новой си­сте­ме оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое трех оставшихся оценок.

А) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 1/10?

Б) Может ли разность итоговых баллов,  вычисленных  по  старой  и  новой  системам оценивания, быть равной 1/15?

В) Найдите наибольшее возможное  значение  разности  итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.

73
Задание 0 № 511896

А) Пред­ставь­те 1 в виде суммы трех по­пар­но различных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

Б) Пред­ставь­те 1 в виде суммы пяти по­пар­но различных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

В) Докажите, что 1 можно пред­ста­вить в виде суммы лю­бо­го (большего двух) ко­ли­че­ства попарно раз­лич­ных дробей вида где n — на­ту­раль­ное число.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.

74
Задание 0 № 511903

Имеется набор отрезков, два самых ко­рот­ких из них имеют длину 1, самый длинный имеет длину 45.

а) Может ли оказаться, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить треугольник, если набор состоит из 5 отрезков?

б) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя со­ста­вить треугольник, если набор состоит из 60 отрезков?

в) Какое наибольшее число от­рез­ков может быть в наборе, чтобы ни из каких трёх нельзя было составить треугольник?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.

75
Задание 0 № 511921

Найдите два на­ту­раль­ных числа таких, что их произведение

 

а) в 25 раз боль­ше их разности;

б) в 25 раз боль­ше их суммы;

в) в 25 раз боль­ше их полусуммы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.

76
Задание 0 № 512007

А) При каком наи­боль­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, то среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных треугольников?

Б) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных треугольников?

В) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точках найдётся по край­ней мере 2015 пря­мо­уголь­ных треугольников?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.

77
Задание 0 № 512429

а) Известно, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b3 + 2 и b2 + 2 вза­им­но простыми?

б) Найдите четырёхзначное число, которое при делении на  131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.

в)  Найдите все числа вида которые делились бы на 132.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.

78
Задание 0 № 512436

а) Известно, что 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000.  Найдите цифру, заменённую звездочкой. 

б) Де­лит­ся ли число 11n + 2 + 122n + 1 на 133 при любом на­ту­раль­ном n?

в) Найдите количество на­ту­раль­ных чисел, меньших 133, взаимно простых с числом 133. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.

79
Задание 0 № 512443

На доске на­пи­са­но более 122, но менее 134 целых чисел. Сред­нее арифметическое этих чисел равно −7. Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 11, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно −22.  

а) Сколько чисел написано на доске? 

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных? 

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.

80
Задание 0 № 512450

а) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых корни урав­не­ния об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую прогрессию.

б) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую прогрессию.

в) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую прогрессию.

г) Числа яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской прогрессии. Най­ди­те x, если известно, что один из чле­нов этой про­грес­сии равен −0,8.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.

81
Задание 0 № 512457

Про на­ту­раль­ные числа а, b и c известно, что

 

 

а) Может ли сумм чисел a и b рав­нять­ся числу c?

б) Может ли про­из­ве­де­ние чисел а и с рав­нять­ся квад­ра­ту числа b?

в) Най­ди­те наи­мень­шее из воз­мож­ных зна­че­ний вы­ра­же­ния

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.

82
Задание 0 № 512464

а) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число такое, что оно не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 100!

б) Определите, на какую наи­боль­шую сте­пень 10 де­лит­ся 100!

в) Най­ди­те по­след­нюю не­ну­ле­вую цифру в за­пи­си числа, рав­но­го 100!

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.

83
Задание 0 № 512471

Используя каж­дую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по од­но­му разу, со­ставь­те такие два пя­ти­знач­ных числа, чтобы

а) их раз­ность была наибольшей;

б) их раз­ность была по мо­ду­лю наименьшей;

в) их про­из­ве­де­ние было наибольшим.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.

84
Задание 0 № 512654

а) В городе Глу­по­ве каждый житель — полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, а обыватели — ворам, а во всех остальных слу­ча­ях жи­те­ли города говорят правду. Однажды, когда не­сколь­ко глу­пов­цев во­ди­ли хоровод, каж­дый ска­зал сво­е­му со­се­ду справа: «Я — полицейский». Сколько в этом хороводе было обывателей?   

б) За круг­лым сто­лом сидят 10 человек, каждый из которых — одного из двух типов: лжец (всегда лжет) или рыцарь (всегда го­во­рит правду). Каж­дый из них утверждает:

«Мои соседи слева и справа — разного типа». Сколько лжецов сидит за столом? 

в) Хоккейная команда, насчитывающая 28 человек, состоит из рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут). Однажды каждый игрок сде­лал заявление. Первый сказал:  «Количество рыцарей в команде делитель — 1».  Второй  сказал:  «Количество рыцарей в команде — делитель  2» и так далее до 28‐го, который  сказал:  «Количество 

рыцарей в команде — делитель 28». Определите, сколько в команде рыцарей.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.

85
Задание 0 № 512667

а) Между циф­ра­ми от 1 до 9 рас­ставь­те знаки ариф­ме­ти­че­ских дей­ствий и скоб­ки (если нужно) так, чтобы по­лу­чи­лось вер­ное равенство: 1  2  3  4  5  6  7  8  9  = 100.

б) Рас­ставь­те в каж­дую клет­ку по одной цифре так, чтобы вы­пол­ня­лись сле­ду­ю­щие равенства (причем все цифры ненулевые и используются по одному разу):

 

  : =  = + = · 

 

в) Можно ли из цифр от 1 до 9 со­ста­вить такое де­вя­ти­знач­ное число, что число из двух его пер­вых цифр де­лит­ся на 2, из трёх пер­вых цифр — де­лит­ся на 3 и так далее, а само число делится на 9?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.

86
Задание 0 № 512675

а) В клетках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Рассмотрим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой строке, каж­дом столб­це и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся одинаковыми?

б) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа –1, 0 и 1 (каждое из этих чисел встре­ча­ет­ся хотя бы один раз). Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой строке, каж­дом столб­це и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся различными?

в) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны де­вять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Рас­смот­рим во­семь произведений: про­из­ве­де­ния трёх чисел в каж­дой строке, каж­дом столб­це и по двум диагоналям. Могут ли все эти про­из­ве­де­ния ока­зать­ся одинаковыми? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.

87
Задание 0 № 513210

а) Среди 9 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес меньше, чем у настоящих. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету?

б) Известно, что среди гирь достоинством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря отличается по весу от маркировки, указанной на ней. Можно ли при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить «неправильную» гирю?

в) Среди 12 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес отличается от веса настоящих, но неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить фальшивую монету и при этом установить, легче она или тяжелее настоящих?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.

88
Задание 0 № 513217

Натуральные числа от 1 до 9 рас­пре­де­ле­ны на три группы: в 1‐й груп­пе два числа, во 2‐й — три и в 3‐й — четыре.

а) Могут ли про­из­ве­де­ния чисел в каж­дой группе ока­зать­ся одинаковыми?

б) Могут ли суммы в каж­дой группе ока­зать­ся одинаковыми?

в) Из чисел 1‐й груп­пы составлено дву­знач­ное число А, из чисел 2‐й груп­пы составлено трех­знач­ное число В, а из чисел 3‐й груп­пы составлено че­ты­рех­знач­ное число С. Какое наи­боль­шее значение может при­ни­мать сумма A + В + С?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.

89
Задание 0 № 513224

а) Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

б) Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

в) Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.

90
Задание 0 № 513231

На доске за­пи­са­но число 2. Раз­ре­ша­ет­ся записывать новые числа, при­ме­няя одну из операций:

1) можно уве­ли­чить любое из за­пи­сан­ных чисел на 3;

2) можно любое из за­пи­сан­ных чисел воз­ве­сти в квадрат.

Можно ли в какой‐то мо­мент получить на доске число:

а) 2015;

б) 2016?

в) За какое наи­мень­шее число ходов можно по­лу­чить на доске число 2017?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 145.

91
Задание 0 № 513238

Из целых чисел от 1 до 100 уда­ли­ли k чисел. Обя­за­тель­но ли среди остав­ших­ся чисел можно вы­брать k раз­лич­ных чисел с сум­мой 100, если

а) k = 9;

б) k = 8?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 146.

92
Задание 0 № 513769

В выражении 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким

а) наибольшим; 

б) наименьшим может быть это число?

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.

93
Задание 0 № 513776

а) На доске записаны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть еще два, потом — еще три, и, наконец, стереть еще четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?

б) В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.

94
Задание 0 № 513783

а) Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой? 

б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.

95
Задание 0 № 513790

а) На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

б) Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком‐либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна  12 – 9 = 3. Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?

в) Каково наибольшее возможное значение этой величины? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 150.

96
Задание 0 № 514057

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел?  

б) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных натуральных чисел?

в) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.

97
Задание 0 № 514064

Определите, имеют ли общие члены две последовательности 

а) 3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…   

б) 5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…   

в) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий  1; …; 100 и 9; …; 999,  если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.

98
Задание 0 № 514071

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6). 

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что все полученные суммы равны. 

а) Могло ли быть 2 кучки? 

б) Могло ли быть 5 кучек? 

в) Какое наибольшее количество кучек могло быть? 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.

99
Задание 0 № 514078

а) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие две не били друг друга?                          

б) На шахматной доске поставлены восемь ладей. Какое наибольшее число клеток может оказаться не под боем этих ладей?                                                   

в) На 64 летках шахматной доски выписаны подряд числа от 1 до 64 (в верхнем ряду слева направо числа от 1 до 8, во втором ряду числа от 9 до 16 и т. д.) Восемь ладей поставлены так, что никакие две не бьют друг друга. Подсчитана сумма чисел, написанных на тех восьми клетках, на которых поставлены ладьи. Найдите все значения, которые может принимать эта сумма.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.

100
Задание 0 № 514580

а) Существует ли натуральное число, которое при делении на 2015 даёт в остатке 2014, а при делении на 2016 даёт в остатке 2015?

б) Существует ли натуральное число, которое при делении на 3 даёт в остатке 2, при делении на 5 даёт в остатке 4, а при делении на 10 даёт в остатке 6?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 даёт в остатке 2, ..., при делении на 9 даёт в остатке 8, при делении на 10 даёт в остатке 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.

101
Задание 0 № 514587

а) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на параллелограммы?

б) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на трапеции?

в) Найдите наименьшее нечётное n, для которого существует n-угольник, который можно разрезать на параллелограммы.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.

102
Задание 0 № 514601

Целые числа a1, a2, a3, a4 четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. 

а) Может ли разность дробей и равняться

б) Может ли разность дробей и равняться

в) Найдите все возможные целые значения разности дробей и

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!