ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Каталог заданий.
Числа и их свойства

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 505609 Добавить в вариант

Дано иррациональное число a, такое что $0 меньше a меньше 1/2.$ По нему определяется новое число $a_1$ как меньшее из двух чисел $2a$ и $1 минус 2a.$ По этому числу аналогично определяется $a_2,$ и так далее.

а)  Докажите, что для некоторого n выполнено неравенство $a_n меньше 3/16.$

б)  Может ли случиться, что $a_n больше 7/40$ при всех натуральных $n?$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 43

Решение · Критерии · Помощь

Тип Д19 C7 № 505615 Добавить в вариант

На бумажке записаны три положительных числа: x, y и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких‐нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому‐нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

а)  число x²?

б)  число xy?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 44

Решение · Критерии · Помощь

Тип Д19 C7 № 505627 Добавить в вариант

Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число d = a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹.

а)  Может ли случиться, что d = 2?

б)  может ли случиться, что d  — простое число?

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46

Решение · Критерии · Помощь

Тип Д19 C7 № 505639 Добавить в вариант

Перемножаются все выражения вида $\pm 1 в степени левая круглая скобка 1/2 правая круглая скобка \pm2 в степени левая круглая скобка 1/2 правая круглая скобка \pm\ldots \pm99 в степени левая круглая скобка 1/2 правая круглая скобка \pm100 в степени левая круглая скобка 1/2 правая круглая скобка$ (при всевозможных комбинациях знаков).

а)  Может ли результат являться целым числом?

б)  Может ли результат являться квадратом целого числа?

Решение.

Решим сразу пункт б). Покажем, что ответ положительный. Слагаемых всего сто, поэтому различных расстановок плюсов и минусов будет $2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка .$ Обозначим один из корней за x, и будем рассматривать искомое выражение как многочлен $P левая круглая скобка x правая круглая скобка$ степени $2 в степени левая круглая скобка 100 правая круглая скобка .$ Делители P разобьём на две группы: в одну включаем те, в которых при x стоит знак «+», в другую  — те, в которых при x стоит «−». Произведение одночленов первой группы обозначим через $P_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ произведение одночленов второй группы через $P_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ каждый степени $2 в степени левая круглая скобка 99 правая круглая скобка$ (в каждой группе встречаются всевозможные комбинации знаков всех слагаемых, кроме x) $P_1 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =P_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в силу определения этих многочленов.

Кроме того, $P_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка =P_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ поскольку при замене всех знаков при слагаемых в группе множителей, составляющих $P_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ выражение не изменится, так как скобок чётное число, в то же время, $P_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка$ превратится в $P_2 левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ так как в скобках стоит теперь x со знаком «–». Отсюда получаем, что $P_1 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка =P_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка$ т. е. $P_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — чётная функция.

Если многочлен есть чётная функция, то он содержит только чётные степени x и его можно рассматривать как многочлен от $x в квадрате .$ Докажем, что $P_1 левая круглая скобка x правая круглая скобка$ есть чётная функция и от остальных радикалов. Обозначим радикал, отличный от x, через y и будем теперь считать $P_1$ функцией от $y.$ Разложим $P_1$ на два сомножителя $Q_1$ и $Q_2,$ в первый из которых входят делители P с коэффициентом 1 при y, а во второй  — с коэффициентом –1. Очевидно, что $Q_1 левая круглая скобка минус y правая круглая скобка =Q_2 левая круглая скобка y правая круглая скобка .$ Тогда $P_1 левая круглая скобка минус y правая круглая скобка =Q_1 левая круглая скобка минус y правая круглая скобка Q_2 левая круглая скобка минус y правая круглая скобка =Q_2 левая круглая скобка y правая круглая скобка Q_1 левая круглая скобка y правая круглая скобка =P_1 левая круглая скобка y правая круглая скобка .$ Итак, после раскрытия скобок в выражении $P_1$ все радикалы будут встречаться в чётных степенях, так что $P_1$   — целое число. $P_2$   — это тоже самое число. Итак, всё произведение есть полный квадрат.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47

Решение · Критерии · Помощь

Тип Д19 C7 № 505651 Добавить в вариант

n чисел ( $n больше 1$ ) называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма всех чисел, деленная на $n минус 1.$ Пусть $a,b,c,$ ...  — n близких чисел, S  — их сумма.

Докажите, что

а)  все они положительны;

б)  всегда $a плюс b больше c;$

в)  всегда $a плюс b больше S/ левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение в п. а; — пример в п. б; — искомая оценка в п. в; — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 49

Решение · Критерии · Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям