СДАМ ГИА






Каталог заданий. Числа и их свойства
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Дано ир­ра­ци­о­наль­ное число такое что По нему опре­де­ля­ет­ся новое число как мень­шее из двух чисел и По этому числу ана­ло­гич­но опре­де­ля­ет­ся и так далее.

а) До­ка­жи­те, что для не­ко­то­ро­го n вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

б) Может ли слу­чить­ся, что при всех на­ту­раль­ных

За­да­ние 0 № 505609


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.
2

На бу­маж­ке за­пи­са­ны три по­ло­жи­тель­ных числа: x, y и 1. За один ход раз­ре­ша­ет­ся за­пи­сать на бу­маж­ку сумму или раз­ность каких‐ни­будь двух уже за­пи­сан­ных чисел или за­пи­сать число, об­рат­ное к ка­ко­му‐ни­будь из уже за­пи­сан­ных чисел. Можно ли за не­сколь­ко ходов по­лу­чить на бу­маж­ке

а) число x2?

б) число xy?

За­да­ние 0 № 505615


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 44.
3

Рас­смат­ри­ва­ют­ся трой­ки целых чисел a, b и c, для ко­то­рых вы­пол­не­но усло­вие: a + b + c = 0. Для каж­дой такой трой­ки вы­чис­ля­ет­ся число d = a1999 + b1999 + c1999.

а) Может ли слу­чить­ся, что d = 2?

б) может ли слу­чить­ся, что d — про­стое число?

За­да­ние 0 № 505627


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.
4

Пе­ре­мно­жа­ют­ся все вы­ра­же­ния вида (при все­воз­мож­ных ком­би­на­ци­ях зна­ков).

а) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся целым чис­лом?

б) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся квад­ра­том це­ло­го числа?

За­да­ние 0 № 505639


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.
5

чисел () на­зы­ва­ют­ся близ­ки­ми, если каж­дое из них мень­ше, чем сумма всех чисел, де­лен­ная на Пусть ... — n близ­ких чисел, — их сумма.

До­ка­жи­те, что

а) все они по­ло­жи­тель­ны;

б) все­гда

в) все­гда

За­да­ние 0 № 505651


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.
6

На доске на­пи­са­ны числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 и 1/12.

а) До­ка­жи­те, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «−» между этими чис­ла­ми, вы­ра­же­ние не будет равно 0.

б) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство на­пи­сан­ных чисел не­об­хо­ди­мо сте­реть с доски для того, чтобы после не­ко­то­рой рас­ста­нов­ки «+» и «−» между остав­ши­ми­ся чис­ла­ми зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­ня­лось 0?

За­да­ние 0 № 505675


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.
7

На­ту­раль­ные числа и по­лу­ча­ют­ся друг из друга пе­ре­ста­нов­кой цифр. До­ка­жи­те, что

а) суммы цифр чисел и равны;

б) если и чётные, то суммы цифр чисел и равны;

в) суммы цифр чисел и равны.

За­да­ние 0 № 505681


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.
8

Для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа через обо­зна­чим такое наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа не пре­вос­хо­дя­ще­го число пред­ста­ви­мо в виде суммы квад­ра­тов на­ту­раль­ных чисел.

а) До­ка­жи­те для лю­бо­го не­ра­вен­ство

б) Най­ди­те хотя бы одно такое на­ту­раль­ное число что

в) До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет бес­ко­неч­но много таких на­ту­раль­ных что

За­да­ние 0 № 505687


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.
9

На­ту­раль­ные числа M и K от­ли­ча­ют­ся пе­ре­ста­нов­кой цифр.

До­ка­зать что:

а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;

б) сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);

в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.

За­да­ние 0 № 505711


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.
10

Круг­лая ми­шень раз­би­та на 20 сек­то­ров, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся по кругу в каком-либо по­ряд­ке чис­ла­ми 1, 2, ..., 20. Если сек­то­ры за­ну­ме­ро­ва­ны, на­при­мер, в сле­ду­ю­щем по­ряд­ке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наи­мень­шая из раз­но­стей между но­ме­ра­ми со­сед­них (по кругу) сек­то­ров равна 12 − 9 = 3.

а) Может ли ука­зан­ная ве­ли­чи­на при ну­ме­ра­ции в дру­гом по­ряд­ке быть боль­ше 3?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этой ве­ли­чи­ны?

За­да­ние 0 № 505759


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.
11

а) Дано шесть на­ту­раль­ных чисел. Все они раз­лич­ны и дают в сумме 22. Найти эти числа.

б) До­ка­жи­те, что дру­гих таких чисел нет.

в) Тот же во­прос про 100 чисел, да­ю­щих в сумме 5051.

За­да­ние 0 № 505783


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.
12

Даны на­ту­раль­ные числа M и N, боль­шие де­ся­ти, со­сто­я­щие из оди­на­ко­во­го ко­ли­че­ства цифр и такие, что M = 3N. Чтобы по­лу­чить число M, надо в числе N к одной из цифр при­ба­вить 2, а к каж­дой из осталь­ных цифр при­ба­вить по нечётной цифре.

а) При­ве­ди­те при­мер таких чисел

б) Может ли число N за­кан­чи­вать­ся циф­рой 1?

в) Какой циф­рой могло окан­чи­вать­ся число N?

За­да­ние 0 № 505789


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.
13

Из­вест­но, что сумма цифр на­ту­раль­но­го числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50.

а) Может ли число N за­кан­чи­вать­ся на 1?

б) До­ка­жи­те, что N четно.

За­да­ние 0 № 505795


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.
14

На­пи­са­но 1992‐знач­ное число. Каж­дое дву­знач­ное число, об­ра­зо­ван­ное со­сед­ни­ми циф­ра­ми, де­лит­ся на 17 или на 23. По­след­няя цифра числа 1.

а) Де­лит­ся ли дан­ное число на 3?

б) Ка­ко­ва пер­вая цифра числа?

За­да­ние 0 № 505807


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 75.
15

С на­ту­раль­ным чис­лом (за­пи­сы­ва­е­мым в де­ся­тич­ной си­сте­ме) раз­ре­ше­но про­де­лы­вать сле­ду­ю­щие опе­ра­ции:

А) при­пи­сать на конце цифру 4;

Б) при­пи­сать на конце цифру 0;

В) раз­де­лить на 2 (если число чётно).

На­при­мер, если с чис­лом 4 про­де­ла­ем по­сле­до­ва­тель­но опе­ра­ции В, В, А и Б, то по­лу­чим число 140.

а) Из числа 4 по­лу­чи­те число 1972.

б) До­ка­жи­те, что из числа 4 можно по­лу­чить любое на­ту­раль­ное число.

За­да­ние 0 № 505819


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.
16

Можно ли рас­ста­вить числа  

а) от 1 до 7;

б) от 1 до 9

по кругу так, чтобы любое из них де­ли­лось на раз­ность своих со­се­дей?

За­да­ние 0 № 505825


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.
17

Су­ще­ству­ют ли

а) шесть,

б) 1000 таких раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b де­лит­ся на раз­ность a − b?

За­да­ние 0 № 505837


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.
18

Даны на­ту­раль­ные числа и такие, что Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел де­лит­ся на 13.

а) Най­ди­те наи­мень­шую сумму такую, что она яв­ля­ет­ся квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

б) Най­и­те наи­боль­шее зна­че­ние числа если и сумма имеет наи­мень­шее зна­че­ние.

в) Най­ди­те наи­мень­шее число если из­вест­но, что числа и в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью

г) Если из­вест­но, что числа и в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью при ко­то­ром число будет наи­мень­шим , и все члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии будут яв­лять­ся квад­ра­та­ми на­ту­раль­но­го числа.

За­да­ние 0 № 505843


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.
19

В лицее № 4 оцен­ки ста­вят в ат­те­стат по успе­ва­е­мо­сти за 9 и 11 клас­сы. Если оцен­ки от­ли­ча­ют­ся на 1 балл, то ста­вят в поль­зу уче­ни­ка, если более, чем на 1 балл, т ста­вят сред­нее. Из­вест­но, что в 9 и 11 клас­сах у Лены было 5 пред­ме­тов, причём сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 9 класс равно 4,6, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 11 клас­се равно 4,8.

а) Могла ли Лена по­лу­чить от­лич­ный ат­те­стат?

б) Могла ли Лена за­кон­чить лицей с трой­кой?

в) В спец. клас­се лицея n пред­ме­тов. Если бы Лена там обу­ча­лась, и сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок за 9 класс ока­за­лось равно 4,1, а за 11 класс — 4,9, то она стала бы от­лич­ни­цей. При каком наи­мень­шем это воз­мож­но?

За­да­ние 0 № 505849


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.
20

В вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка за­пи­са­но по на­ту­раль­но­му числу, па каж­дой сто­ро­не — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в её кон­цах, а внут­ри тре­уголь­ни­ка — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в его вер­ши­нах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа за­пи­са­ны в вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка?

За­да­ние 0 № 505887


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.
21

Най­ди­те все целые зна­че­ния для каж­до­го из ко­то­рых число Будет ра­ци­о­наль­ным.

За­да­ние 0 № 505911


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.
22

По­след­нюю цифру ше­сти­знач­но­го числа пе­ре­ста­ви­ли в на­ча­ло (на­при­мер 123456 — 612345), и по­лу­чен­ное ше­сти­знач­ное число при­ба­ви­ли к ис­ход­но­му числу. Какие числа из про­ме­жут­ка [891870; 891899] могли по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те сло­же­ния?

За­да­ние 0 № 505917


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.
23

В де­ся­тич­ной за­пи­си по­ло­жи­тель­но­го числа по­ме­ня­ли ме­ста­ми цифры, сто­я­щие на пер­вом и тре­тьем ме­стах после за­пя­той. При этом число уве­ли­чи­лось в 13 раз.

а) Какая цифра сто­я­ла на тре­тьем месте после за­пя­той в ис­ход­ном числе?

б) Какое число по­лу­чи­лось?

За­да­ние 0 № 505929


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.
24

Даны 20 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 70. До­ка­жи­те, что среди их по­пар­ных раз­но­стей най­дут­ся че­ты­ре оди­на­ко­вых.

За­да­ние 0 № 505941


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.
25

На окруж­но­сти рас­став­ле­ны 999 чисел, каж­дое равно 1 или −1, при­чем не все числа оди­на­ко­вые. Возь­мем все про­из­ве­де­ния по 10 под­ряд сто­я­щих чисел и сло­жим их.

а) Какая наи­мень­шая сумма может по­лу­чить­ся?

б) А какая наи­боль­шая?

За­да­ние 0 № 506019


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.
26

На плос­ко­сти даны 8 от­рез­ков. Длина каж­до­го от­рез­ка яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, не пре­вос­хо­дя­щим 20. Пусть n – число раз­лич­ных тре­уголь­ни­ков, ко­то­рые можно со­ста­вить из этих от­рез­ков. Один и тот же от­ре­зок может ис­поль­зо­вать­ся для раз­ных тре­уголь­ни­ков, но не может ис­поль­зо­вать­ся два­жды для од­но­го тре­уголь­ни­ка.

а) Может ли n = 60?

б) Может ли n = 55?

в) Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n, если среди дан­ных от­рез­ков нет трех рав­ных.

За­да­ние 0 № 506061


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.
27

А, И, Б си­де­ли на трубе. К ним стали по оче­ре­ди под­са­жи­вать­ся дру­гие буквы так, что по­ряд­ко­вый номер оче­ред­ной буквы в рус­ском ал­фа­ви­те рав­нял­ся сумме цифр по­ряд­ко­вых но­ме­ров двух преды­ду­щих букв. Ока­за­лось, что на­чи­ная с не­ко­то­ро­го мо­мен­та буквы стали цик­ли­че­ски по­вто­рять­ся.

а) Какая буква (из числа цик­ли­че­ски по­вто­ря­ю­щих­ся) встре­ча­ет­ся наи­бо­лее часто?

б) Может ли цик­ли­че­ски по­вто­ря­ю­щий­ся набор со­сто­ять из одной буквы? Если да, ука­зать эту букву.

За­да­ние 0 № 506085


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.
28

В тур­ни­ре по шах­ма­там при­ни­ма­ют уча­стие маль­чи­ки и де­воч­ки. За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за про­иг­рыш — 0 очков. По пра­ви­лам тур­ни­ра каж­дый участ­ник иг­ра­ет с каж­дым дру­гим два­жды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если в тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие три маль­чи­ка и две де­воч­ки?

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если всего участ­ни­ков де­сять?

в) Сколь­ко де­во­чек могло при­ни­мать уча­стие в тур­ни­ре, если из­вест­но, что их в 7 раз мень­ше, чем маль­чи­ков, и что маль­чи­ки на­бра­ли в сумме ровно в три раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

За­да­ние 0 № 507232

Аналоги к заданию № 507232: 507244

29

Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия вида Воз­мож­но ли вы­де­лить гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с сум­мой чле­нов, рав­ной

а)

б)

За­да­ние 0 № 508091


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.
30

Име­ют­ся 300 яблок. До­ка­жи­те, что их можно раз­ло­жить в па­ке­ты по два яб­ло­ка так, чтобы любые два па­ке­та раз­ли­ча­лись по весу не более, чем в пол­то­ра раза, если любые два яб­ло­ка раз­ли­ча­ют­ся по весу не более, чем:

а) в два раза;

б) в три раза.

За­да­ние 0 № 508100


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 83.
31

а) Школь­ни­ки од­но­го клас­са в сен­тяб­ре хо­ди­ли в два ту­ри­сти­че­ских по­хо­да. В пер­вом по­хо­де маль­чи­ков было мень­ше об­ще­го числа участ­ни­ков этого по­хо­да, во вто­ром — тоже мень­ше . До­ка­жи­те, что в этом клас­се маль­чи­ки со­став­ля­ют мень­ше об­ще­го числа уче­ни­ков, если из­вест­но, что каж­дый из уче­ни­ков участ­во­вал по­край­ней мере в одном по­хо­де.

б) Пусть в k-м по­хо­де, где 1 ≤ kn, маль­чи­ки со­став­ля­ли ak-ю часть об­ще­го ко­ли­че­ства участ­ни­ков этого по­хо­да. Какую наи­боль­шую долю могут со­став­лять маль­чи­ки на общей встре­че всех ту­ри­стов (всех, кто участ­во­вал хотя бы в одном из n по­хо­дов)?

За­да­ние 0 № 508106


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.
32

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за про­иг­рыш — 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d де­во­чек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым два­жды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать де­воч­ки, если m = 2, d = 2?

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10?

в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если и из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

За­да­ние 0 № 508112


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87.
33

На листе бу­ма­ги в строч­ку за­пи­са­ны 11 еди­ниц.

а) До­ка­жи­те, что между этими еди­ни­ца­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

б) До­ка­жи­те, что если еди­ни­цы, сто­я­щие на чет­ных ме­стах, за­ме­нить на се­мер­ки, все равно между чис­ла­ми по­лу­чен­но­го на­бо­ра можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

в) До­ка­жи­те, что между лю­бы­ми 11 на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

За­да­ние 0 № 508118


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.
34

а) Пред­ставь­те число 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел.

б) Най­ди­те ко­ли­че­ство спо­со­бов пред­став­ле­ния числа 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел.

в) Можно ли число 2015 пред­ста­вить в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных не­чет­ных на­ту­раль­ных чисел?

За­да­ние 0 № 508126


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.
35

Име­ет­ся набор гирь со сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми: 1) в нем есть 5 гирь, по­пар­но раз­лич­ных по весу; 2) для любых двух гирь най­дут­ся две дру­гие гири та­ко­го же сум­мар­но­го веса.

А) До­ка­жи­те, что в таком на­бо­ре обя­за­тель­но най­дут­ся две гири оди­на­ко­во­го веса.

Б) Обя­за­тель­но ли в таком на­бо­ре най­дут­ся че­ты­ре гири оди­на­ко­во­го веса?

В) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство гирь может быть в этом на­бо­ре?

За­да­ние 0 № 508135


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.
36

а) Най­ди­те три не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число.

б) Най­ди­те че­ты­ре не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число.

в) Су­ще­ству­ет ли 2015 не­со­кра­ти­мых дро­бей, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число?

За­да­ние 0 № 508141


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.
37

K ба­бу­шек од­но­вре­мен­но узна­ли K спле­тен, причём каж­дая из них узна­ла толь­ко одну сплет­ню. Ба­буш­ки при­ня­лись об­ме­ни­вать­ся сплет­ня­ми по те­ле­фо­ну. Каж­дый раз­го­вор за­ни­ма­ет 1 час, в те­че­ние ко­то­ро­го можно пе­ре­дать сколь­ко угод­но спле­тен. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство часов раз­го­во­ра нужно, чтобы все ба­буш­ки узна­ли все сплет­ни, если:

а) K = 64,

б) K = 55,

в) K = 100.

За­да­ние 0 № 508147


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.
38

Набор со­сто­ит из пер­вых 22 на­ту­раль­ных чисел: 1; 2; 3;…; 21; 22.

А) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел этого на­бо­ра не­об­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить, чтобы по­лу­чить куб на­ту­раль­но­го числа?

Б) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел этого на­бо­ра не­об­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить, чтобы по­лу­чить квад­рат на­ту­раль­но­го числа?

В) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел этого на­бо­ра не­об­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить, чтобы по­лу­чить квад­рат не­чет­но­го на­ту­раль­но­го числа?

За­да­ние 0 № 508153


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.
39

А) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых по­пар­ные суммы равны 7, 9, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 18, 21?

Б) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых по­пар­ные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

В) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых по­пар­ные про­из­ве­де­ния равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

За­да­ние 0 № 508159


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 96.
40

Про на­ту­раль­ное число N из­вест­но, что сумма его че­ты­рех наи­мень­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 12.

А) Может ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа N рав­нять­ся 195?

Б) Может ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа N рав­нять­ся 120?

В) Най­ди­те все воз­мож­ные числа N, у ко­то­рых сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей не пре­вос­хо­дит 100.

За­да­ние 0 № 508165


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.
41

А) Най­ди­те какое-либо на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 де­ли­те­лей (вклю­чая 1 и само число).

Б) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 де­ли­те­лей.

В) Най­ди­те все трех­знач­ные не­чет­ные на­ту­раль­ные числа, у ко­то­рых ровно 10 де­ли­те­лей.

За­да­ние 0 № 508171


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.
42

Каж­дое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15 по од­но­му за­пи­сы­ва­ют на шести кар­точ­ках. Далее кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15. После этого на каж­дой кар­точ­ке под­счи­ты­ва­ют мо­дуль раз­но­сти за­пи­сан­ных на ней чисел, а по­лу­чен­ные в итоге числа пе­ре­мно­жа­ют.

а) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 65?

б) Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 120?

в) Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

За­да­ние 0 № 508177


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.
43

Рас­смат­ри­ва­ют­ся 10‐знач­ные на­ту­раль­ные числа (все де­сять цифр в их за­пи­си раз­лич­ны). Среди таких чисел най­ди­те:

а) какое‐либо число, де­ля­ще­е­ся на 11;

б) наи­боль­шее число, де­ля­ще­е­ся на 11;

в) наи­мень­шее число, де­ля­ще­е­ся на 11.

(На­ту­раль­ное  число  де­лит­ся    на  11,  если  зна­ко­че­ре­ду­ю­ща­я­ся  сумма  его  цифр де­лит­ся на 11. На­при­мер, число 61938085 де­лит­ся на 11, так как 6 − 1 + 9 − 3 + 8 − 0 + 8 − 5 = 22)

За­да­ние 0 № 508183


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 103.
44

В ряд вы­пи­са­ны на­ту­раль­ные числа: Между ними про­из­воль­ным об­ра­зом рас­став­ля­ют знаки «+» и «–» и на­хо­дят по­лу­чив­шу­ю­ся сумму. Может ли такая сумма рав­нять­ся:

А) 4, если  N = 12;

Б) 0, если  N = 13;

В) 0, если  N = 16;

Г) 5, если  N = 18?

За­да­ние 0 № 508189


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.
45

А) До­ка­жи­те, что число со­став­ное.

Б) До­ка­жи­те, что  число  со­став­ное.

В) До­ка­жи­те, что число яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем двух по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел.

За­да­ние 0 № 508195


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.
46

А) Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить по кругу так, чтобы сумма любых двух со­сед­них чисел была бы квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

Б)  Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить в стро­ку так, чтобы сумма любых двух со­сед­них чисел была бы квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

В) Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить в стро­ку так, чтобы каж­дое число, на­чи­ная  со вто­ро­го, было бы де­ли­те­лем суммы всех преды­ду­щих?

За­да­ние 0 № 508201


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106.
47

А) Какое наи­боль­шее число ладей можно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы ни­ка­кие две не били друг друга?

Б) Какое наи­боль­шее число ко­ро­лей можно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы ни­ка­кие два не били друг друга?

В) Какое наи­мень­шее число ко­ро­лей нужно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы все клет­ки ока­за­лись под  боем?

Г) Какое наи­боль­шее число фер­зей можно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы ни­ка­кие два не били друг друга?

За­да­ние 0 № 508207


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.
48

А) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 12×12 пол­но­стью на­крыть плит­ка­ми, ука­зан­ны­ми на ри­сун­ке?

Б) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью на­крыть плит­ка­ми, ука­зан­ны­ми на ри­сун­ке?

В) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью на­крыть плит­ка­ми, ука­зан­ны­ми на ри­сун­ке?

(Плит­ки не долж­ны на­кла­ды­вать­ся друг на друга и вы­хо­дить за край доски)

За­да­ние 0 № 508599


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101.
49

Рас­смат­ри­ва­ет­ся набор раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, боль­ших 1. Из­вест­но, что 1) каж­дое число на­бо­ра яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 60, 2) про­из­ве­де­ние всех чисел на­бо­ра равно .

А) Най­ди­те наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел в таком на­бо­ре.

Б) Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел в таком на­бо­ре.

В) Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям (1) и (2)?

За­да­ние 0 № 508606


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.
50

А) До­ка­жи­те, что среди про­из­воль­ных 11 на­ту­раль­ных чисел все­гда най­дут­ся два, раз­ность ко­то­рых крат­на 10.

Б) До­ка­жи­те, что среди про­из­воль­ных 11 целых чисел все­гда най­дут­ся два, раз­ность ко­то­рых крат­на 10.

В) До­ка­жи­те, что среди про­из­воль­ных 10 на­ту­раль­ных чисел все­гда най­дут­ся не­сколь­ко, сумма ко­то­рых де­лит­ся на 10.

За­да­ние 0 № 508617


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.
51

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC.

А) Каж­дую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC уве­ли­чи­ли на 1. Может ли по­лу­чен­ный при этом тре­уголь­ник снова ока­зать­ся пря­мо­уголь­ным?

Б) Каж­дую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC умень­ши­ли на 1. Может ли по­лу­чен­ный при этом тре­уголь­ник снова ока­зать­ся пря­мо­уголь­ным?

В) Каж­дую  сто­ро­ну  тре­уголь­ни­ка ABC из­ме­ни­ли на 1 (уве­ли­чи­ли  или  умень­ши­ли,  по сво­е­му  усмот­ре­нию).  Может  ли  по­лу­чен­ный  при  этом  тре­уголь­ник  ока­зать­ся пря­мо­уголь­ным?

За­да­ние 0 № 508624


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.
52

Пар­тия про­хо­дит в Думу, если по ре­зуль­та­там го­ло­со­ва­ния на­би­ра­ет более 6% го­ло­сов из­би­ра­те­лей. Для каж­дой такой пар­тии най­дут­ся две дру­гие пар­тии, каж­дая из ко­то­рых на­бра­ла мень­шее число го­ло­сов, но  сум­мар­но они на­бра­ли боль­ше го­ло­сов.

а) Могут ли при­нять уча­стие в вы­бо­рах 6 пар­тий?

б) Могут ли при­нять уча­стие в вы­бо­рах 5 пар­тий?

в) Пусть m — ко­ли­че­ство пар­тий, про­шед­ших в Думу, n — ко­ли­че­ство пар­тий, не про­шед­ших в Думу. Най­ди­те мак­си­маль­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния m/n.

За­да­ние 0 № 508637


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.
53

а) Пусть p — про­стое число, от­лич­ное от 3. До­ка­жи­те, что число 111…11 (p еди­ниц) не де­лит­ся на p.

б) Пусть p > 5 — про­стое число. До­ка­жи­те, что число 111…11 (p — 1 еди­ни­ца) де­лит­ся на p.

За­да­ние 0 № 508644


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.
54

Ля­гуш­ка пры­га­ет по вер­ши­нам ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, каж­дый раз пе­ре­ме­ща­ясь в одну из со­сед­них вер­шин.

а) Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми она может по­пасть из A в C за n прыж­ков?

б) Сколь­ко таких спо­со­бов при усло­вии, что вер­ши­ной D поль­зо­вать­ся нель­зя?

За­да­ние 0 № 508651


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.
55

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, … каж­дый член, на­чи­ная с пя­то­го, равен по­след­ней цифре суммы пред­ше­ству­ю­щих четырёх чле­нов.

а) Встре­тят­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти еще раз под­ряд 4 цифры 2, 0, 0, 0?

б) Встре­тят­ся ли в ней че­ты­ре под­ряд цифры 0, 0, 8, 2?

За­да­ние 0 № 508750


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.
56

а) К лю­бо­му ли ше­сти­знач­но­му числу, на­чи­на­ю­ще­му­ся с цифры 5, можно при­пи­сать спра­ва ещё 6 цифр так, чтобы по­лу­чен­ное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

б) Тот же во­прос про число, на­чи­на­ю­ще­е­ся на 1.

в) Най­ди­те для каж­до­го на­ту­раль­но­го n такое наи­мень­шее число k, что к лю­бо­му n-знач­но­му числу можно так при­пи­сать спра­ва k цифр, чтобы по­лу­чен­ное (n + k)-знач­ное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

За­да­ние 0 № 508759


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 89.
57

Про­из­ве­де­ние трёх на­ту­раль­ных чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем не­ко­то­ро­го числа вида n2 + 1, где

а) Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 12.

б) Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 10 или 11.

За­да­ние 0 № 508942


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 100.
58

Даны два трех­знач­ных на­ту­раль­ных числа. Из­вест­но, что их про­из­ве­де­ние в N раз (на­ту­раль­ное число N > 1) мень­ше ше­сти­знач­но­го числа, по­лу­ча­ю­ще­го­ся при­пи­сы­ва­ни­ем од­но­го из этих двух чисел вслед за дру­гим.

А) Может ли N рав­нять­ся 2?

Б) Может ли N рав­нять­ся 3?

В) Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать число N?

За­да­ние 0 № 508956


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.
59

Петя за­ду­мал на­ту­раль­ное число, боль­шее 100. Вера на­зы­ва­ет на­ту­раль­ное число N, боль­шее 1. Если число Пети де­лит­ся на N, то Вера вы­иг­ра­ла, иначе Петя вы­чи­та­ет из сво­е­го числа число N, и игра про­дол­жа­ет­ся. На­зы­вать ранее на­зван­ные числа Вера уже не может. Когда число Пети ста­нет от­ри­ца­тель­ным, Вера про­иг­ры­ва­ет. Есть ли у Веры вы­иг­рыш­ная стра­те­гия?

За­да­ние 0 № 511165


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.
60

Может ли общая часть тре­уголь­ни­ка и че­ты­рех­уголь­ни­ка (об­ра­зо­ван­ная при на­ло­же­нии одной фи­гу­ры на дру­гую) пред­став­лять собой

а) се­ми­уголь­ник;

б) вось­ми­уголь­ник;

в) де­вя­ти­уголь­ник?

За­да­ние 0 № 511215


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.
61

а) На доске за­пи­са­ны три раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Два числа по­ме­ня­ли ме­ста­ми. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь эти числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

б) На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Одно число с доски стер­ли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

в) На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Одно число с доски стер­ли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

За­да­ние 0 № 511222


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.
62

а) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, а тре­тья часть — точ­ным кубом.

б) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным кубом, а тре­тья часть — точ­ным квад­ра­том.

в) Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, тре­тья часть — точ­ным кубом, а пятая часть — точ­ной пятой сте­пе­нью?

За­да­ние 0 № 511229


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.
63

Может ли сумма трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида (где , n>1) рав­нять­ся

а) 1,1;

б) 0,5;

в) 1,05?

За­да­ние 0 № 511236


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.
64

Саша вы­чис­лил про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до 52 вклю­чи­тель­но и за­пи­сал на доске ответ. Од­на­ко две цифры (они от­ме­че­ны сим­во­ла­ми x и у) он на­пи­сал не­раз­бор­чи­во, а все сто­я­щие в конце нули стёр. В ре­зуль­та­те на доске ока­за­лось число 806581751709438785716606368564037669752895054408832778ух.

а) Сколь­ко нулей стёр уче­ник?

б) Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом х.

в) Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом у.

За­да­ние 0 № 511243


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.
65

а) Может ли сумма че­ты­рех на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

б) Может ли сумма че­ты­рех раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

в) Может ли сумма 2015 раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных ра­ци­о­наль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же 2015 чисел?

За­да­ние 0 № 511250


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.
66

Про на­ту­раль­ное число Р из­вест­но, что сумма трех его наи­мень­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 8.

а). Най­ди­те число Р, у ко­то­ро­го сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 289.

б). Может ли сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа Р рав­нять­ся 255.

в). Най­ди­те все воз­мож­ные числа Р, у ко­то­рых сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей не

пре­вос­хо­дит 100.

За­да­ние 0 № 511257


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.
67

а) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b = 99?

б) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет си­сте­ма урав­не­ний

 

 

в) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b + c =99?

За­да­ние 0 № 511271


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.
68

Ре­ши­те урав­не­ние:

а) [2x] = {7x};

б) [2x] = 7x;

в) 2x = {7x}.

[a] — целая часть числа a, т. е. наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее a;

{a} — дроб­ная часть числа a, т. е. {a} = a − [a].

За­да­ние 0 № 511278


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.
69

Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го

а) про­из­ве­де­ние всех его де­ли­те­лей равно 131.

б) число (ко­ли­че­ство) его де­ли­те­лей равно 131.

в) сумма трёх мень­ших и наи­боль­ше­го его де­ли­те­ля равна 131.

За­да­ние 0 № 511285


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.
70

Ма­ят­ни­ко­вые  часы  по­ка­зы­ва­ют  пол­ночь.  Время,  когда  ча­со­вая  и  ми­нут­ная стрел­ки об­ра­зу­ют на ци­фер­бла­те пря­мой угол, на­зо­вем ин­те­рес­ным мо­мен­том.

А)  Опре­де­ли­те, сколь­ко ин­те­рес­ных мо­мен­тов на­блю­да­ет­ся в те­че­ние суток.

Б)  Опре­де­ли­те точ­ное время, когда ин­те­рес­ный мо­мент  на­сту­пит в пер­вый раз.

В) Опре­де­ли­те, какое наи­мень­шее время долж­но прой­ти между двумя ин­те­рес­ны­ми мо­мен­та­ми.

За­да­ние 0 № 511835


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.
71

А) Най­ди­те все пары целых чисел, раз­ность квад­ра­тов ко­то­рых равна 91.

Б) Най­ди­те все пары целых чисел, раз­ность кубов ко­то­рых равна 91.

В) Может ли раз­ность каких‐либо Nх (N > 3) сте­пе­ней двух целых чисел рав­нять­ся 91?

За­да­ние 0 № 511842


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.
72

Дано вы­ра­же­ние: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 = 0

А) За­ме­ни­те каж­дую * зна­ком «+» или «−» так, чтобы ра­вен­ство стало вер­ным.

Б)  Какое  наи­мень­шее  число  ми­ну­сов  при­дет­ся  по­ста­вить,  чтобы  ра­вен­ство  стало 

вер­ным?

В)  Какое  наи­мень­шее  число  плю­сов  при­дет­ся  по­ста­вить,  чтобы  ра­вен­ство  стало 

вер­ным?

За­да­ние 0 № 511867


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.
73

В фут­боль­ной ко­ман­де «Ме­теор» 16 че­ло­век (11 ос­нов­ных иг­ро­ков и 5 за­пас­ных). Из­вест­но, что воз­раст (число  пол­ных лет) у всех иг­ро­ков раз­лич­ный, при­чем са­мо­му млад­ше­му 16 лет, а са­мо­му стар­ше­му 40 лет. По­мощ­ник тре­не­ра перед на­ча­лом матча по­счи­тал сред­ний воз­раст всех 16 иг­ро­ков ко­ман­ды, а во время матча — сред­ний воз­раст 11 че­ло­век, вы­шед­ших на поле в ос­нов­ном со­ста­ве.

А) Мог ли сред­ний воз­раст всей ко­ман­ды и ее ос­нов­но­го со­ста­ва ока­зать­ся оди­на­ко­вым?

Б) Мог ли сред­ний воз­раст всей ко­ман­ды и ее ос­нов­но­го со­ста­ва от­ли­чать­ся ровно на 5 лет?

В) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти между сред­ним воз­рас­том всей ко­ман­ды и сред­ним воз­рас­том ее ос­нов­но­го со­ста­ва.

За­да­ние 0 № 511882


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.
74

На про­ек­те «Вышка» каж­дый пры­жок в воду оце­ни­ва­ют пять судей. При этом каж­дый судья вы­став­ля­ет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 6 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что за пры­жок Ти­му­ра Ла­сточ­ки­на все члены жюри вы­ста­ви­ли  раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл за пры­жок опре­де­лял­ся как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок судей. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки, и счи­та­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское трех остав­ших­ся оце­нок.

А) Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной 1/10?

Б) Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов,  вы­чис­лен­ных  по  ста­рой  и  новой  си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной 1/15?

В) Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное  зна­че­ние  раз­но­сти  ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния

За­да­ние 0 № 511889


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.
75

А) Пред­ставь­те 1 в виде суммы трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

Б) Пред­ставь­те 1 в виде суммы пяти по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

В) До­ка­жи­те, что 1 можно пред­ста­вить в виде суммы лю­бо­го (боль­ше­го двух) ко­ли­че­ства по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

За­да­ние 0 № 511896


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.
76

Име­ет­ся набор от­рез­ков, два самых ко­рот­ких из них имеют длину 1, самый длин­ный имеет длину 45.

а) Может ли ока­зать­ся, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить тре­уголь­ник, если набор со­сто­ит из 5 от­рез­ков?

б) Может ли ока­зать­ся, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить тре­уголь­ник, если набор со­сто­ит из 60 от­рез­ков?

в) Какое наи­боль­шее число от­рез­ков может быть в на­бо­ре, чтобы ни из каких трёх нель­зя было со­ста­вить тре­уголь­ник?

За­да­ние 0 № 511903


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.
77

Най­ди­те два на­ту­раль­ных числа таких, что их про­из­ве­де­ние

 

а) в 25 раз боль­ше их раз­но­сти;

б) в 25 раз боль­ше их суммы;

в) в 25 раз боль­ше их по­лу­сум­мы.

За­да­ние 0 № 511921


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.
78

А) При каком наи­боль­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, то среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

Б) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

В) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся по край­ней мере 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

За­да­ние 0 № 512007


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.
79

а) Из­вест­но, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b3 + 2 и b2 + 2 вза­им­но про­сты­ми?

б) Най­ди­те четырёхзнач­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на  131 даёт в остат­ке 112, а при де­ле­нии на 132 даёт в остат­ке 98.

в)  Най­ди­те все числа вида ко­то­рые де­ли­лись бы на 132.

За­да­ние 0 № 512429


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.
80

а) Из­вест­но, что 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000.  Най­ди­те цифру, заменённую звез­доч­кой. 

б) Де­лит­ся ли число 11n + 2 + 122n + 1 на 133 при любом на­ту­раль­ном n?

в) Най­ди­те ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 133, вза­им­но про­стых с чис­лом 133. 

За­да­ние 0 № 512436


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.
81

На доске на­пи­са­но более 122, но менее 134 целых чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел равно −7. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех по­ло­жи­тель­ных чисел равно 11, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех от­ри­ца­тель­ных чисел равно −22.  

а) Сколь­ко чисел на­пи­са­но на доске? 

б) Каких чисел боль­ше: по­ло­жи­тель­ных или от­ри­ца­тель­ных? 

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­ло­жи­тель­ных чисел может быть среди них? 

За­да­ние 0 № 512443


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.
82

а) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых корни урав­не­ния об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

б) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

в) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

г) Числа яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Най­ди­те x, если из­вест­но, что один из чле­нов этой про­грес­сии равен −0,8.

За­да­ние 0 № 512450


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.
83

Про на­ту­раль­ные числа а, b и c из­вест­но, что

 

 

а) Может ли сумм чисел a и b рав­нять­ся числу c?

б) Может ли про­из­ве­де­ние чисел а и с рав­нять­ся квад­ра­ту числа b?

в) Най­ди­те наи­мень­шее из воз­мож­ных зна­че­ний вы­ра­же­ния

За­да­ние 0 № 512457


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.
84

а) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число такое, что оно не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 100!

б) Опре­де­ли­те, на какую наи­боль­шую сте­пень 10 де­лит­ся 100!

в) Най­ди­те по­след­нюю не­ну­ле­вую цифру в за­пи­си числа, рав­но­го 100!

За­да­ние 0 № 512464


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.
85

Ис­поль­зуя каж­дую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по од­но­му разу, со­ставь­те такие два пя­ти­знач­ных числа, чтобы

а) их раз­ность была наи­боль­шей;

б) их раз­ность была по мо­ду­лю наи­мень­шей;

в) их про­из­ве­де­ние было наи­боль­шим.

За­да­ние 0 № 512471


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.
86

а) В го­ро­де Глу­по­ве каж­дый жи­тель — по­ли­цей­ский, вор или обы­ва­тель. По­ли­цей­ские все­гда врут обы­ва­те­лям, воры — по­ли­цей­ским, а обы­ва­те­ли — ворам, а во всех осталь­ных слу­ча­ях жи­те­ли го­ро­да го­во­рят прав­ду. Од­на­ж­ды, когда не­сколь­ко глу­пов­цев во­ди­ли хо­ро­вод, каж­дый ска­зал сво­е­му со­се­ду спра­ва: «Я — по­ли­цей­ский». Сколь­ко в этом хо­ро­во­де было обы­ва­те­лей?   

б) За круг­лым сто­лом сидят 10 че­ло­век, каж­дый из ко­то­рых — од­но­го из двух типов: лжец (все­гда лжет) или ры­царь (все­гда го­во­рит прав­ду). Каж­дый из них утвер­жда­ет:

«Мои со­се­ди слева и спра­ва — раз­но­го типа». Сколь­ко лже­цов сидит за сто­лом? 

в) Хок­кей­ная ко­ман­да, на­счи­ты­ва­ю­щая 28 че­ло­век, со­сто­ит из ры­ца­рей (все­гда го­во­рят прав­ду) и лже­цов (все­гда лгут). Од­на­ж­ды каж­дый игрок сде­лал за­яв­ле­ние. Пер­вый ска­зал:  «Ко­ли­че­ство ры­ца­рей в ко­ман­де де­ли­тель — 1».  Вто­рой  ска­зал:  «Ко­ли­че­ство ры­ца­рей в ко­ман­де — де­ли­тель  2» и так далее до 28‐го, ко­то­рый  ска­зал:  «Ко­ли­че­ство 

ры­ца­рей в ко­ман­де — де­ли­тель 28». Опре­де­ли­те, сколь­ко в ко­ман­де ры­ца­рей.

За­да­ние 0 № 512654


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.
87

а) Между циф­ра­ми от 1 до 9 рас­ставь­те знаки ариф­ме­ти­че­ских дей­ствий и скоб­ки (если нужно) так, чтобы по­лу­чи­лось вер­ное ра­вен­ство: 1  2  3  4  5  6  7  8  9  = 100.

б) Рас­ставь­те в каж­дую клет­ку по одной цифре так, чтобы вы­пол­ня­лись сле­ду­ю­щие ра­вен­ства (при­чем все цифры не­ну­ле­вые и ис­поль­зу­ют­ся по од­но­му разу):

 

  : =  = + = · 

 

в) Можно ли из цифр от 1 до 9 со­ста­вить такое де­вя­ти­знач­ное число, что число из двух его пер­вых цифр де­лит­ся на 2, из трёх пер­вых цифр — де­лит­ся на 3 и так далее, а само число де­лит­ся на 9?

За­да­ние 0 № 512667


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.
88

а) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

б) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа –1, 0 и 1 (каж­дое из этих чисел встре­ча­ет­ся хотя бы один раз). Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся раз­лич­ны­ми?

в) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны де­вять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Рас­смот­рим во­семь про­из­ве­де­ний: про­из­ве­де­ния трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти про­из­ве­де­ния ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми? 

За­да­ние 0 № 512675


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.
89

а) Среди 9 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая — ее вес мень­ше, чем у на­сто­я­щих. Как при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту?

б) Из­вест­но, что среди гирь до­сто­ин­ством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря от­ли­ча­ет­ся по весу от мар­ки­ров­ки, ука­зан­ной на ней. Можно ли при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить «не­пра­виль­ную» гирю?

в) Среди 12 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая — ее вес от­ли­ча­ет­ся от веса на­сто­я­щих, но не­из­вест­но, легче она на­сто­я­щих или тя­же­лее. За какое наи­мень­шее число взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь можно вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту и при этом уста­но­вить, легче она или тя­же­лее на­сто­я­щих?

За­да­ние 0 № 513210


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.
90

На­ту­раль­ные числа от 1 до 9 рас­пре­де­ле­ны на три груп­пы: в 1‐й груп­пе два числа, во 2‐й — три и в 3‐й — че­ты­ре.

а) Могут ли про­из­ве­де­ния чисел в каж­дой груп­пе ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

б) Могут ли суммы в каж­дой груп­пе ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

в) Из чисел 1‐й груп­пы со­став­ле­но дву­знач­ное число А, из чисел 2‐й груп­пы со­став­ле­но трех­знач­ное число В, а из чисел 3‐й груп­пы со­став­ле­но че­ты­рех­знач­ное число С. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма A + В + С?

За­да­ние 0 № 513217


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.
91

а) Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

б) Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

в) Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

За­да­ние 0 № 513224


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.
92

На доске за­пи­са­но число 2. Раз­ре­ша­ет­ся за­пи­сы­вать новые числа, при­ме­няя одну из опе­ра­ций:

1) можно уве­ли­чить любое из за­пи­сан­ных чисел на 3;

2) можно любое из за­пи­сан­ных чисел воз­ве­сти в квад­рат.

Можно ли в какой‐то мо­мент по­лу­чить на доске число:

а) 2015;

б) 2016?

в) За какое наи­мень­шее число ходов можно по­лу­чить на доске число 2017?

За­да­ние 0 № 513231


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 145.
93

Из целых чисел от 1 до 100 уда­ли­ли k чисел. Обя­за­тель­но ли среди остав­ших­ся чисел можно вы­брать k раз­лич­ных чисел с сум­мой 100, если

а) k = 9;

б) k = 8?

За­да­ние 0 № 513238


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 146.
94

В вы­ра­же­нии 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 рас­ста­ви­ли скоб­ки так, что в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ний по­лу­чи­лось целое число. Каким

а) наи­боль­шим; 

б) наи­мень­шим может быть это число?

За­да­ние 0 № 513769


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.
95

а) На доске за­пи­са­ны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Можно ли сте­реть сна­ча­ла одно число из за­пи­сан­ных, потом сте­реть еще два, потом — еще три, и, на­ко­нец, сте­реть еще че­ты­ре числа так, чтобы после каж­до­го сти­ра­ния сумма остав­ших­ся на доске чисел де­ли­лась на 11?

б) В стро­ку вы­пи­са­но 23 на­ту­раль­ных числа (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). До­ка­жи­те, что между ними можно так рас­ста­вить скоб­ки, знаки сло­же­ния и умно­же­ния, что зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния будет де­лить­ся на 2000 на­це­ло.

За­да­ние 0 № 513776


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.
96

а) Можно ли за­ну­ме­ро­вать рёбра куба на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до 12 так, чтобы для каж­дой вер­ши­ны куба сумма но­ме­ров рёбер, ко­то­рые в ней схо­дят­ся, была оди­на­ко­вой? 

б) Ана­ло­гич­ный во­прос, если рас­став­лять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

За­да­ние 0 № 513783


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.
97

а) На доске за­пи­са­ны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Раз­ре­ша­ет­ся сте­реть любые два числа и вме­сто них за­пи­сать их раз­ность — не­от­ри­ца­тель­ное число. Может ли на доске в ре­зуль­та­те не­сколь­ких таких опе­ра­ций остать­ся толь­ко число 15?

б) Круг­лая ми­шень раз­би­та на 20 сек­то­ров, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся по кругу в каком‐либо по­ряд­ке чис­ла­ми 1, 2, ..., 20. Если сек­то­ры за­ну­ме­ро­ва­ны, на­при­мер, в сле­ду­ю­щем по­ряд­ке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наи­мень­шая из раз­но­стей между но­ме­ра­ми со­сед­них (по кругу) сек­то­ров равна  12 – 9 = 3. Может ли ука­зан­ная ве­ли­чи­на при ну­ме­ра­ции в дру­гом по­ряд­ке быть боль­ше 3?

в) Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этой ве­ли­чи­ны? 

За­да­ние 0 № 513790


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 150.
98

Как из­вест­но, шах­мат­ный конь ходит бук­вой «Г» (рис.) 

Конь рас­по­ло­жен в левой ниж­ней клет­ке шах­мат­ной доски 8х8 (поле А1). 

а) Может ли конь ока­зать­ся в верх­ней пра­вой клет­ке  (на поле Н8), сде­лав при этом ровно 2015 ходов?   

б) Может ли конь за 63 хода по­бы­вать в каж­дой из остав­ших­ся 63 кле­ток?

в) За какое  наи­мень­шее число  ходов конь может  ока­зать­ся в верх­ней  пра­вой клет­ке (на поле Н8)?

За­да­ние 0 № 513797


Источник: Нерешенные задания
99

а) Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы семи по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел?  

б) Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы шести по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел?

в) Пред­ставь­те число 2016 в виде суммы наи­боль­ше­го ко­ли­че­ства по­сле­до­ва­тель­ных чётных на­ту­раль­ных чисел. 

За­да­ние 0 № 514057


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.
100

Опре­де­ли­те, имеют ли общие члены две по­сле­до­ва­тель­но­сти 

а) 3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…   

б) 5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…   

в) Опре­де­ли­те, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство общих чле­нов может быть у двух ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий  1; …; 100 и 9; …; 999,  если из­вест­но, что у каж­дой из них раз­ность яв­ля­ет­ся целым чис­лом, от­лич­ным от 1.

За­да­ние 0 № 514064


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.
101

На каж­дой из 28 ко­стей до­ми­но на­пи­са­ны два целых числа, не мень­ших 0 и не боль­ших 6 так, что они об­ра­зу­ют все воз­мож­ные пары по од­но­му разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6). 

Все кости до­ми­но раз­ло­жи­ли на не­сколь­ко кучек и для каж­дой кучки под­счи­та­ли сумму всех чисел на ко­стях, на­хо­дя­щих­ся в этой кучке. Ока­за­лось, что все по­лу­чен­ные суммы равны. 

а) Могло ли быть 2 кучки? 

б) Могло ли быть 5 кучек? 

в) Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кучек могло быть? 

За­да­ние 0 № 514071


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.
102

а) Какое наи­боль­шее число ладей можно по­ста­вить на шах­мат­ной доске так, чтобы ни­ка­кие две не били друг друга?                          

б) На шах­мат­ной доске по­став­ле­ны во­семь ладей. Какое наи­боль­шее число кле­ток может ока­зать­ся не под боем этих ладей?                                                   

в) На 64 лет­ках шах­мат­ной доски вы­пи­са­ны под­ряд числа от 1 до 64 (в верх­нем ряду слева на­пра­во числа от 1 до 8, во вто­ром ряду числа от 9 до 16 и т. д.) Во­семь ладей по­став­ле­ны так, что ни­ка­кие две не бьют друг друга. Под­счи­та­на сумма чисел, на­пи­сан­ных на тех вось­ми клет­ках, на ко­то­рых по­став­ле­ны ладьи. Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать эта сумма.

За­да­ние 0 № 514078


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.
103

а) Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2015 даёт в остат­ке 2014, а при де­ле­нии на 2016 даёт в остат­ке 2015?

б) Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 3 даёт в остат­ке 2, при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 4, а при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 6?

в) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт в остат­ке 1, при де­ле­нии на 3 даёт в остат­ке 2, ..., при де­ле­нии на 9 даёт в остат­ке 8, при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 9.

За­да­ние 0 № 514580


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.
104

а) Можно ли пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник раз­ре­зать на па­рал­ле­ло­грам­мы?

б) Можно ли пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник раз­ре­зать на тра­пе­ции?

в) Най­ди­те наи­мень­шее нечётное n, для ко­то­ро­го су­ще­ству­ет n-уголь­ник, ко­то­рый можно раз­ре­зать на па­рал­ле­ло­грам­мы.

За­да­ние 0 № 514587


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.
105

Целые числа a1, a2, a3, a4 че­тырь­мя по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. 

а) Может ли раз­ность дро­бей и рав­нять­ся

б) Может ли раз­ность дро­бей и рав­нять­ся

в) Най­ди­те все воз­мож­ные целые зна­че­ния раз­но­сти дро­бей и

За­да­ние 0 № 514601


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика