СДАМ ГИА






Каталог заданий. Числа и их свойства
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

Дано ир­ра­ци­о­наль­ное число такое что По нему опре­де­ля­ет­ся новое число как мень­шее из двух чисел и По этому числу ана­ло­гич­но опре­де­ля­ет­ся и так далее.

а) Докажите, что для не­ко­то­ро­го n вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

б) Может ли случиться, что при всех на­ту­раль­ных

Задание 0 № 505609


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.
2

На бу­маж­ке за­пи­са­ны три по­ло­жи­тель­ных числа: x, y и 1. За один ход раз­ре­ша­ет­ся за­пи­сать на бу­маж­ку сумму или раз­ность каких‐нибудь двух уже за­пи­сан­ных чисел или за­пи­сать число, об­рат­ное к какому‐нибудь из уже за­пи­сан­ных чисел. Можно ли за не­сколь­ко ходов по­лу­чить на бу­маж­ке

а) число x2?

б) число xy?

Задание 0 № 505615


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 44.
3

Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каж­дой такой трой­ки вы­чис­ля­ет­ся число d = a1999 + b1999 + c1999.

а) Может ли случиться, что d = 2?

б) может ли случиться, что d — про­стое число?

Задание 0 № 505627


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 46.
4

Перемножаются все выражения вида (при всевозможных комбинациях знаков).

а) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся целым числом?

б) Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся квад­ра­том це­ло­го числа?

Задание 0 № 505639


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.
5

чисел () на­зы­ва­ют­ся близкими, если каж­дое из них меньше, чем сумма всех чисел, де­лен­ная на Пусть ... — n близ­ких чисел, — их сумма.

Докажите, что

а) все они положительны;

б) все­гда

в) все­гда

Задание 0 № 505651


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 49.
6

На доске на­пи­са­ны числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 и 1/12.

а) Докажите, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «−» между этими числами, вы­ра­же­ние не будет равно 0.

б) Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство на­пи­сан­ных чисел не­об­хо­ди­мо сте­реть с доски для того, чтобы после не­ко­то­рой рас­ста­нов­ки «+» и «−» между остав­ши­ми­ся чис­ла­ми зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­ня­лось 0?

Задание 0 № 505675


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 53.
7

Натуральные числа и по­лу­ча­ют­ся друг из друга пе­ре­ста­нов­кой цифр. Докажите, что

а) суммы цифр чисел и равны;

б) если и чётные, то суммы цифр чисел и равны;

в) суммы цифр чисел и равны.

Задание 0 № 505681


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.
8

Для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа через обо­зна­чим такое наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа не пре­вос­хо­дя­ще­го число пред­ста­ви­мо в виде суммы квад­ра­тов на­ту­раль­ных чисел.

а) До­ка­жи­те для лю­бо­го не­ра­вен­ство

б) Най­ди­те хотя бы одно такое на­ту­раль­ное число что

в) Докажите, что су­ще­ству­ет бес­ко­неч­но много таких на­ту­раль­ных что

Задание 0 № 505687


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.
9

Натуральные числа M и K от­ли­ча­ют­ся пе­ре­ста­нов­кой цифр.

Доказать что:

а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;

б) сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);

в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.

Задание 0 № 505711


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 59.
10

Круглая ми­шень раз­би­та на 20 секторов, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся по кругу в каком-либо по­ряд­ке чис­ла­ми 1, 2, ..., 20. Если сек­то­ры занумерованы, например, в сле­ду­ю­щем по­ряд­ке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наи­мень­шая из раз­но­стей между но­ме­ра­ми со­сед­них (по кругу) сек­то­ров равна 12 − 9 = 3.

а) Может ли ука­зан­ная ве­ли­чи­на при ну­ме­ра­ции в дру­гом по­ряд­ке быть боль­ше 3?

б) Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этой величины?

Задание 0 № 505759


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 67.
11

а) Дано шесть на­ту­раль­ных чисел. Все они раз­лич­ны и дают в сумме 22. Найти эти числа.

б) Докажите, что дру­гих таких чисел нет.

в) Тот же во­прос про 100 чисел, да­ю­щих в сумме 5051.

Задание 0 № 505783


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.
12

Даны на­ту­раль­ные числа M и N, боль­шие десяти, со­сто­я­щие из оди­на­ко­во­го ко­ли­че­ства цифр и такие, что M = 3N. Чтобы по­лу­чить число M, надо в числе N к одной из цифр при­ба­вить 2, а к каж­дой из осталь­ных цифр при­ба­вить по нечётной цифре.

а) При­ве­ди­те при­мер таких чисел

б) Может ли число N за­кан­чи­вать­ся циф­рой 1?

в) Какой циф­рой могло окан­чи­вать­ся число N?

Задание 0 № 505789


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 72.
13

Известно, что сумма цифр на­ту­раль­но­го числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50.

а) Может ли число N за­кан­чи­вать­ся на 1?

б) Докажите, что N четно.

Задание 0 № 505795


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 73.
14

Написано 1992‐значное число. Каж­дое дву­знач­ное число, об­ра­зо­ван­ное со­сед­ни­ми цифрами, де­лит­ся на 17 или на 23. По­след­няя цифра числа 1.

а) Де­лит­ся ли дан­ное число на 3?

б) Ка­ко­ва пер­вая цифра числа?

Задание 0 № 505807


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 75.
15

С на­ту­раль­ным чис­лом (записываемым в де­ся­тич­ной системе) раз­ре­ше­но про­де­лы­вать сле­ду­ю­щие операции:

А) при­пи­сать на конце цифру 4;

Б) при­пи­сать на конце цифру 0;

В) раз­де­лить на 2 (если число чётно).

Например, если с чис­лом 4 про­де­ла­ем по­сле­до­ва­тель­но опе­ра­ции В, В, А и Б, то по­лу­чим число 140.

а) Из числа 4 по­лу­чи­те число 1972.

б) Докажите, что из числа 4 можно по­лу­чить любое на­ту­раль­ное число.

Задание 0 № 505819


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 77.
16

Можно ли расставить числа  

а) от 1 до 7;

б) от 1 до 9

по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

Задание 0 № 505825


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.
17

Существуют ли

а) шесть,

б) 1000 таких раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b де­лит­ся на раз­ность a − b?

Задание 0 № 505837


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 80.
18

Даны на­ту­раль­ные числа и такие, что Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел де­лит­ся на 13.

а) Най­ди­те наи­мень­шую сумму такую, что она яв­ля­ет­ся квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

б) Най­и­те наи­боль­шее зна­че­ние числа если и сумма имеет наи­мень­шее значение.

в) Най­ди­те наи­мень­шее число если известно, что числа и в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью

г) Если известно, что числа и в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью найдите наименьшее , при ко­то­ром число будет наи­мень­шим , и все члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии будут яв­лять­ся квад­ра­та­ми на­ту­раль­но­го числа.

Задание 0 № 505843


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.
Решение

19

В лицее № 4 оцен­ки ста­вят в ат­те­стат по успе­ва­е­мо­сти за 9 и 11 классы. Если оцен­ки от­ли­ча­ют­ся на 1 балл, то ста­вят в поль­зу ученика, если более, чем на 1 балл, т ста­вят среднее. Известно, что в 9 и 11 клас­сах у Лены было 5 предметов, причём сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 9 класс равно 4,6, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 11 клас­се равно 4,8.

а) Могла ли Лена по­лу­чить от­лич­ный аттестат?

б) Могла ли Лена за­кон­чить лицей с тройкой?

в) В спец. клас­се лицея n предметов. Если бы Лена там обучалась, и сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок за 9 класс ока­за­лось равно 4,1, а за 11 класс — 4,9, то она стала бы отличницей. При каком наи­мень­шем это возможно?

Задание 0 № 505849


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.
20

В вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка за­пи­са­но по на­ту­раль­но­му числу, па каж­дой сто­ро­не — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в её концах, а внут­ри тре­уголь­ни­ка — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа за­пи­са­ны в вер­ши­нах треугольника?

Задание 0 № 505887


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.
21

Найдите все целые зна­че­ния для каж­до­го из ко­то­рых число Будет рациональным.

Задание 0 № 505911


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.
22

Последнюю цифру ше­сти­знач­но­го числа пе­ре­ста­ви­ли в на­ча­ло (например 123456 — 612345), и по­лу­чен­ное ше­сти­знач­ное число при­ба­ви­ли к ис­ход­но­му числу. Какие числа из про­ме­жут­ка [891870; 891899] могли по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те сложения?

Задание 0 № 505917


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.
23

В де­ся­тич­ной за­пи­си по­ло­жи­тель­но­го числа по­ме­ня­ли ме­ста­ми цифры, сто­я­щие на пер­вом и тре­тьем ме­стах после запятой. При этом число уве­ли­чи­лось в 13 раз.

а) Какая цифра сто­я­ла на тре­тьем месте после за­пя­той в ис­ход­ном числе?

б) Какое число получилось?

Задание 0 № 505929


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.
24

Даны 20 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 70. Докажите, что среди их по­пар­ных раз­но­стей най­дут­ся че­ты­ре одинаковых.

Задание 0 № 505941


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.
25

На окруж­но­сти рас­став­ле­ны 999 чисел, каж­дое равно 1 или −1, при­чем не все числа одинаковые. Возь­мем все про­из­ве­де­ния по 10 под­ряд сто­я­щих чисел и сло­жим их.

а) Какая наи­мень­шая сумма может получиться?

б) А какая наибольшая?

Задание 0 № 506019


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 29.
26

На плос­ко­сти даны 8 отрезков. Длина каж­до­го от­рез­ка яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным числом, не пре­вос­хо­дя­щим 20. Пусть n – число раз­лич­ных треугольников, ко­то­рые можно со­ста­вить из этих отрезков. Один и тот же от­ре­зок может ис­поль­зо­вать­ся для раз­ных треугольников, но не может ис­поль­зо­вать­ся два­жды для од­но­го треугольника.

а) Может ли n = 60?

б) Может ли n = 55?

в) Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n, если среди дан­ных от­рез­ков нет трех равных.

Задание 0 № 506061


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 36.
27

А, И, Б си­де­ли на трубе. К ним стали по оче­ре­ди под­са­жи­вать­ся дру­гие буквы так, что по­ряд­ко­вый номер оче­ред­ной буквы в рус­ском ал­фа­ви­те рав­нял­ся сумме цифр по­ряд­ко­вых но­ме­ров двух преды­ду­щих букв. Оказалось, что на­чи­ная с не­ко­то­ро­го мо­мен­та буквы стали цик­ли­че­ски повторяться.

а) Какая буква (из числа цик­ли­че­ски повторяющихся) встре­ча­ет­ся наи­бо­лее часто?

б) Может ли цик­ли­че­ски по­вто­ря­ю­щий­ся набор со­сто­ять из одной буквы? Если да, ука­зать эту букву.

Задание 0 № 506085


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.
28

В тур­ни­ре по шах­ма­там при­ни­ма­ют уча­стие маль­чи­ки и девочки. За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за про­иг­рыш — 0 очков. По пра­ви­лам тур­ни­ра каж­дый участ­ник иг­ра­ет с каж­дым дру­гим дважды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать девочки, если в тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие три маль­чи­ка и две девочки?

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если всего участ­ни­ков десять?

в) Сколь­ко де­во­чек могло при­ни­мать уча­стие в турнире, если известно, что их в 7 раз меньше, чем мальчиков, и что маль­чи­ки на­бра­ли в сумме ровно в три раза боль­ше очков, чем девочки?

Задание 0 № 507232

Аналоги к заданию № 507232: 507244

29

Дана гео­мет­ри­че­ская прогрессия вида Воз­мож­но ли вы­де­лить геометрическую про­грес­сию с сум­мой членов, равной

а)

б)

Задание 0 № 508091


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 82.
30

Имеются 300 яблок. Докажите, что их можно раз­ло­жить в па­ке­ты по два яб­ло­ка так, чтобы любые два па­ке­та различались по весу не более, чем в пол­то­ра раза, если любые два яб­ло­ка различаются по весу не более, чем:

а) в два раза;

б) в три раза.

Задание 0 № 508100


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 83.
31

а) Школь­ни­ки од­но­го клас­са в сен­тяб­ре хо­ди­ли в два ту­ри­сти­че­ских похода. В пер­вом по­хо­де маль­чи­ков было мень­ше об­ще­го числа участ­ни­ков этого похода, во вто­ром — тоже мень­ше . Докажите, что в этом клас­се маль­чи­ки со­став­ля­ют мень­ше об­ще­го числа учеников, если известно, что каж­дый из уче­ни­ков участ­во­вал по­край­ней мере в одном походе.

б) Пусть в k-м походе, где 1 ≤ kn, маль­чи­ки со­став­ля­ли ak-ю часть об­ще­го ко­ли­че­ства участ­ни­ков этого похода. Какую наи­боль­шую долю могут со­став­лять маль­чи­ки на общей встре­че всех ту­ри­стов (всех, кто участ­во­вал хотя бы в одном из n походов)?

Задание 0 № 508106


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.
32

За по­бе­ду в шах­мат­ной пар­тии на­чис­ля­ют 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за про­иг­рыш — 0 очков. В тур­ни­ре при­ни­ма­ют уча­стие m маль­чи­ков и d девочек, причём каж­дый иг­ра­ет с каж­дым дважды.

а) Ка­ко­во наи­боль­шее ко­ли­че­ство очков, ко­то­рое в сумме могли на­брать девочки, если m = 2, d = 2?

б) Ка­ко­ва сумма на­бран­ных всеми участ­ни­ка­ми очков, если m + d = 10?

в) Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если и известно, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем девочки?

Задание 0 № 508112


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 87.
33

На листе бу­ма­ги в строч­ку записаны 11 единиц.

а) Докажите, что между этими еди­ни­ца­ми можно рас­ста­вить знаки сложения, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния действий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

б) Докажите, что если единицы, сто­я­щие на чет­ных местах, за­ме­нить на семерки, все равно между чис­ла­ми полученного на­бо­ра можно рас­ста­вить знаки сложения, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния действий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

в) Докажите, что между лю­бы­ми 11 на­ту­раль­ны­ми числами можно рас­ста­вить знаки сложения, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния действий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

Задание 0 № 508118


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.
34

а) Пред­ставь­те число 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных натуральных чисел.

б) Най­ди­те количество спо­со­бов представления числа 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных натуральных чисел.

в) Можно ли число 2015 пред­ста­вить в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных нечетных на­ту­раль­ных чисел?

Задание 0 № 508126


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.
35

Имеется набор гирь со сле­ду­ю­щи­ми свойствами: 1) в нем есть 5 гирь, по­пар­но различных по весу; 2) для любых двух гирь най­дут­ся две дру­гие гири та­ко­го же сум­мар­но­го веса.

А) Докажите, что в таком на­бо­ре обязательно най­дут­ся две гири оди­на­ко­во­го веса.

Б) Обя­за­тель­но ли в таком на­бо­ре найдутся че­ты­ре гири оди­на­ко­во­го веса?

В) Какое наи­мень­шее количество гирь может быть в этом наборе?

Задание 0 № 508135


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.
36

а) Най­ди­те три не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число.

б) Най­ди­те четыре не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число.

в) Су­ще­ству­ет ли 2015 не­со­кра­ти­мых дробей, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых — целое число?

Задание 0 № 508141


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 93.
37

K ба­бу­шек одновременно узна­ли K сплетен, причём каж­дая из них узна­ла только одну сплетню. Ба­буш­ки принялись об­ме­ни­вать­ся сплетнями по телефону. Каж­дый разговор за­ни­ма­ет 1 час, в те­че­ние которого можно пе­ре­дать сколько угод­но сплетен. Какое ми­ни­маль­ное количество часов раз­го­во­ра нужно, чтобы все ба­буш­ки узнали все сплетни, если:

а) K = 64,

б) K = 55,

в) K = 100.

Задание 0 № 508147


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 94.
38

Набор со­сто­ит из пер­вых 22 на­ту­раль­ных чисел: 1; 2; 3;…; 21; 22.

А) Какое наи­боль­шее количество чисел этого на­бо­ра необходимо перемножить, чтобы по­лу­чить куб на­ту­раль­но­го числа?

Б) Какое наи­боль­шее количество чисел этого на­бо­ра необходимо перемножить, чтобы по­лу­чить квадрат на­ту­раль­но­го числа?

В) Какое наи­боль­шее количество чисел этого на­бо­ра необходимо перемножить, чтобы по­лу­чить квадрат не­чет­но­го натурального числа?

Задание 0 № 508153


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.
39

А) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых попарные суммы равны 7, 9, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 18, 21?

Б) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых попарные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

В) Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых попарные про­из­ве­де­ния равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

Задание 0 № 508159


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 96.
40

Про на­ту­раль­ное число N известно, что сумма его че­ты­рех наименьших на­ту­раль­ных делителей равна 12.

А) Может ли сумма че­ты­рех наибольших на­ту­раль­ных делителей числа N рав­нять­ся 195?

Б) Может ли сумма че­ты­рех наибольших на­ту­раль­ных делителей числа N рав­нять­ся 120?

В) Най­ди­те все воз­мож­ные числа N, у ко­то­рых сумма че­ты­рех наибольших на­ту­раль­ных делителей не пре­вос­хо­дит 100.

Задание 0 № 508165


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.
41

А) Най­ди­те какое-либо на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 де­ли­те­лей (включая 1 и само число).

Б) Най­ди­те наименьшее на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 делителей.

В) Най­ди­те все трех­знач­ные нечетные на­ту­раль­ные числа, у ко­то­рых ровно 10 делителей.

Задание 0 № 508171


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 98.
42

Каждое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15 по од­но­му записывают на шести карточках. Далее кар­точ­ки переворачивают и перемешивают. На их чи­стых сторонах за­но­во пишут по од­но­му каждое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15. После этого на каж­дой карточке под­счи­ты­ва­ют модуль раз­но­сти записанных на ней чисел, а по­лу­чен­ные в итоге числа перемножают.

а) Может ли в ре­зуль­та­те получиться 65?

б) Может ли в ре­зуль­та­те получиться 120?

в) Какое наи­мень­шее натуральное число может в ре­зуль­та­те получиться?

Задание 0 № 508177


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.
43

Рассматриваются 10‐значные натуральные числа (все десять цифр в их записи различны). Среди таких чисел найдите:

а) какое‐либо число, делящееся на 11;

б) наибольшее число, делящееся на 11;

в) наименьшее число, делящееся на 11.

(Натуральное  число  делится    на  11,  если  знакочередующаяся  сумма  его  цифр делится на 11. Например, число 61938085 делится на 11, так как 6 − 1 + 9 − 3 + 8 − 0 + 8 − 5 = 22)

Задание 0 № 508183


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 103.
44

В ряд выписаны на­ту­раль­ные числа: Между ними про­из­воль­ным образом расставляют знаки «+» и «–» и находят получившуюся сумму. Может ли такая сумма равняться:

А) 4, если  N = 12;

Б) 0, если  N = 13;

В) 0, если  N = 16;

Г) 5, если  N = 18?

Задание 0 № 508189


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 104.
45

А) Докажите, что число составное.

Б) Докажите, что  число  составное.

В) Докажите, что число является произведением двух последовательных натуральных чисел.

Задание 0 № 508195


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.
46

А) Можно ли числа от 1 до 16 расположить по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была бы квадратом натурального числа?

Б)  Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить в строку так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была бы квадратом натурального числа?

В) Можно ли числа от 1 до 16 расположить в строку так, чтобы каждое число, начиная  со второго, было бы делителем суммы всех предыдущих?

Задание 0 № 508201


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106.
47

А) Какое наи­боль­шее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие две не били друг друга?

Б) Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?

В) Какое наименьшее число королей нужно поставить на шахматную доску так, чтобы все клетки оказались под  боем?

Г) Какое наибольшее число ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?

Задание 0 № 508207


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.
48

А) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 12×12 пол­но­стью накрыть плитками, ука­зан­ны­ми на рисунке?

Б) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью накрыть плитками, ука­зан­ны­ми на рисунке?

В) Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью накрыть плитками, ука­зан­ны­ми на рисунке?

(Плитки не долж­ны накладываться друг на друга и вы­хо­дить за край доски)

Задание 0 № 508599


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 101.
49

Рассматривается набор различных натуральных чисел, больших 1. Известно, что 1) каждое число набора является делителем 60, 2) произведение всех чисел набора равно .

А) Найдите наибольшее количество чисел в таком наборе.

Б) Найдите наименьшее количество чисел в таком наборе.

В) Сколько существует различных наборов, удовлетворяющих условиям (1) и (2)?

Задание 0 № 508606


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.
50

А) Докажите, что среди произвольных 11 натуральных чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.

Б) Докажите, что среди произвольных 11 целых чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.

В) Докажите, что среди произвольных 10 натуральных чисел всегда найдутся несколько, сумма которых делится на 10.

Задание 0 № 508617


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.
51

Дан прямоугольный треугольник ABC.

А) Каждую сторону треугольника ABC увеличили на 1. Может ли полученный при этом треугольник снова оказаться прямоугольным?

Б) Каждую сторону треугольника ABC уменьшили на 1. Может ли полученный при этом треугольник снова оказаться прямоугольным?

В) Каждую  сторону  треугольника ABC из­ме­ни­ли на 1 (увеличили  или  уменьшили,  по своему  усмотрению).  Может  ли  полученный  при  этом  треугольник  оказаться прямоугольным?

Задание 0 № 508624


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.
52

Партия проходит в Думу, если по результатам голосования набирает более 6% голосов избирателей. Для каждой такой партии найдутся две другие партии, каждая из которых набрала меньшее число голосов, но  суммарно они набрали больше голосов.

а) Могут ли при­нять участие в вы­бо­рах 6 партий?

б) Могут ли при­нять участие в вы­бо­рах 5 партий?

в) Пусть m — ко­ли­че­ство партий, про­шед­ших в Думу, n — ко­ли­че­ство партий, не про­шед­ших в Думу. Най­ди­те максимальное зна­че­ние выражения m/n.

Задание 0 № 508637


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.
53

а) Пусть p — про­стое число, от­лич­ное от 3. Докажите, что число 111…11 (p единиц) не де­лит­ся на p.

б) Пусть p > 5 — про­стое число. Докажите, что число 111…11 (p — 1 единица) де­лит­ся на p.

Задание 0 № 508644


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.
54

Лягушка пры­га­ет по вер­ши­нам шестиугольника ABCDEF, каж­дый раз пе­ре­ме­ща­ясь в одну из со­сед­них вершин.

а) Сколь­ки­ми способами она может по­пасть из A в C за n прыжков?

б) Сколь­ко таких спо­со­бов при условии, что вер­ши­ной D поль­зо­вать­ся нельзя?

Задание 0 № 508651


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 85.
55

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, … каж­дый член, на­чи­ная с пятого, равен по­след­ней цифре суммы пред­ше­ству­ю­щих четырёх членов.

а) Встре­тят­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти еще раз под­ряд 4 цифры 2, 0, 0, 0?

б) Встре­тят­ся ли в ней че­ты­ре подряд цифры 0, 0, 8, 2?

Задание 0 № 508750


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 88.
56

а) К лю­бо­му ли ше­сти­знач­но­му числу, на­чи­на­ю­ще­му­ся с цифры 5, можно при­пи­сать спра­ва ещё 6 цифр так, чтобы по­лу­чен­ное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

б) Тот же во­прос про число, на­чи­на­ю­ще­е­ся на 1.

в) Най­ди­те для каж­до­го на­ту­раль­но­го n такое наи­мень­шее число k, что к лю­бо­му n-значному числу можно так при­пи­сать спра­ва k цифр, чтобы по­лу­чен­ное (n + k)-значное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

Задание 0 № 508759


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 89.
57

Произведение трёх на­ту­раль­ных чисел, об­ра­зу­ю­щих арифметическую прогрессию, яв­ля­ет­ся делителем не­ко­то­ро­го числа вида n2 + 1, где

а) Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская прогрессия с раз­но­стью 12.

б) Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская прогрессия с раз­но­стью 10 или 11.

Задание 0 № 508942


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 100.
58

Даны два трехзначных натуральных числа. Известно, что их произведение в N раз (натуральное число N > 1) меньше ше­сти­знач­но­го числа, получающегося приписыванием одного из этих двух чисел вслед за другим.

А) Может ли N равняться 2?

Б) Может ли N равняться 3?

В) Какое наибольшее значение может принимать число N?

Задание 0 № 508956


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.
59

Петя задумал натуральное число, большее 100. Вера называет натуральное число N, большее 1. Если число Пети делится на N, то Вера выиграла, иначе Петя вычитает из своего числа число N, и игра продолжается. Называть ранее названные числа Вера уже не может. Когда число Пети станет отрицательным, Вера проигрывает. Есть ли у Веры выигрышная стратегия?

Задание 0 № 511165


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 111.
60

Может ли общая часть тре­уголь­ни­ка и че­ты­рех­уголь­ни­ка (образованная при на­ло­же­нии одной фи­гу­ры на другую) пред­став­лять собой

а) семиугольник;

б) восьмиугольник;

в) девятиугольник?

Задание 0 № 511215


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.
61

а) На доске за­пи­са­ны три раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. Два числа по­ме­ня­ли местами. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь эти числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую прогрессию?

б) На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую прогрессию. Одно число с доски стерли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую прогрессию?

в) На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке гео­мет­ри­че­скую прогрессию. Одно число с доски стерли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую прогрессию?

Задание 0 № 511222


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.
62

а) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квадратом, а тре­тья часть — точ­ным кубом.

б) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным кубом, а тре­тья часть — точ­ным квадратом.

в) Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квадратом, тре­тья часть — точ­ным кубом, а пятая часть — точ­ной пятой степенью?

Задание 0 № 511229


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.
63

Может ли сумма трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида (где , n>1) равняться

а) 1,1;

б) 0,5;

в) 1,05?

Задание 0 № 511236


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.
64

Саша вы­чис­лил про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до 52 вклю­чи­тель­но и за­пи­сал на доске ответ. Од­на­ко две цифры (они от­ме­че­ны сим­во­ла­ми x и у) он на­пи­сал неразборчиво, а все сто­я­щие в конце нули стёр. В ре­зуль­та­те на доске ока­за­лось число 806581751709438785716606368564037669752895054408832778ух.

а) Сколь­ко нулей стёр ученик?

б) Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом х.

в) Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом у.

Задание 0 № 511243


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.
65

а) Может ли сумма че­ты­рех на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

б) Может ли сумма че­ты­рех раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

в) Может ли сумма 2015 раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных ра­ци­о­наль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же 2015 чисел?

Задание 0 № 511250


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.
66

Про на­ту­раль­ное число Р известно, что сумма трех его наи­мень­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 8.

а). Най­ди­те число Р, у ко­то­ро­го сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 289.

б). Может ли сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа Р рав­нять­ся 255.

в). Най­ди­те все воз­мож­ные числа Р, у ко­то­рых сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей не

превосходит 100.

Задание 0 № 511257


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.
67

а) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b = 99?

б) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет си­сте­ма уравнений

 

 

в) Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b + c =99?

Задание 0 № 511271


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 129.
68

Решите уравнение:

а) [2x] = {7x};

б) [2x] = 7x;

в) 2x = {7x}.

[a] — целая часть числа a, т. е. наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее a;

{a} — дроб­ная часть числа a, т. е. {a} = a − [a].

Задание 0 № 511278


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 130.
69

Найдите наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, у которого

а) про­из­ве­де­ние всех его де­ли­те­лей равно 131.

б) число (количество) его де­ли­те­лей равно 131.

в) сумма трёх мень­ших и наи­боль­ше­го его де­ли­те­ля равна 131.

Задание 0 № 511285


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 131.
70

Маятниковые  часы  показывают  полночь.  Время,  когда  часовая  и  минутная стрелки образуют на циферблате прямой угол, назовем интересным моментом.

А)  Определите, сколько интересных моментов наблюдается в течение суток.

Б)  Определите точное время, когда интересный момент  наступит в первый раз.

В) Определите, какое наименьшее время должно пройти между двумя интересными моментами.

Задание 0 № 511835


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.
71

А) Найдите все пары целых чисел, разность квадратов которых равна 91.

Б) Найдите все пары целых чисел, разность кубов которых равна 91.

В) Может ли разность каких‐либо Nх (N > 3) степеней двух целых чисел равняться 91?

Задание 0 № 511842


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 113.
72

Дано выражение: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 = 0

А) Замените каждую * знаком «+» или «−» так, чтобы равенство стало верным.

Б)  Какое  наименьшее  число  минусов  придется  поставить,  чтобы  равенство  стало 

верным?

В)  Какое  наименьшее  число  плюсов  придется  поставить,  чтобы  равенство  стало 

верным?

Задание 0 № 511867


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.
73

В футбольной команде «Метеор» 16 человек (11 основных игроков и 5 запасных). Известно, что возраст (число  полных лет) у всех игроков различный, причем самому младшему 16 лет, а самому старшему 40 лет. Помощник тренера перед началом матча по­счи­тал средний возраст всех 16 иг­ро­ков команды, а во время матча — сред­ний возраст 11 человек, вышедших на поле в основном составе.

А) Мог ли средний возраст всей команды и ее основного состава оказаться одинаковым?

Б) Мог ли средний возраст всей команды и ее основного состава отличаться ровно на 5 лет?

В) Найдите наибольшее возможное значение разности между средним возрастом всей команды и средним возрастом ее основного состава.

Задание 0 № 511882


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.
74

На проекте «Вышка» каждый прыжок в воду оценивают пять судей. При этом каждый судья выставляет оцен­ку — целое число бал­лов от 0 до 6 включительно. Известно, что за прыжок Тимура Ласточкина все члены жюри выставили  различные оценки. По ста­рой системе оценивания итоговый балл за прыжок определялся как среднее арифметическое всех оце­нок судей. По новой си­сте­ме оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки, и считается среднее арифметическое трех оставшихся оценок.

А) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 1/10?

Б) Может ли разность итоговых баллов,  вычисленных  по  старой  и  новой  системам оценивания, быть равной 1/15?

В) Найдите наибольшее возможное  значение  разности  итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания

Задание 0 № 511889


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.
75

А) Пред­ставь­те 1 в виде суммы трех по­пар­но различных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

Б) Пред­ставь­те 1 в виде суммы пяти по­пар­но различных дро­бей вида где n — на­ту­раль­ное число.

В) Докажите, что 1 можно пред­ста­вить в виде суммы лю­бо­го (большего двух) ко­ли­че­ства попарно раз­лич­ных дробей вида где n — на­ту­раль­ное число.

Задание 0 № 511896


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 117.
76

Имеется набор отрезков, два самых ко­рот­ких из них имеют длину 1, самый длинный имеет длину 45.

а) Может ли оказаться, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить треугольник, если набор состоит из 5 отрезков?

б) Может ли оказаться, что ни из каких трёх отрезков нельзя со­ста­вить треугольник, если набор состоит из 60 отрезков?

в) Какое наибольшее число от­рез­ков может быть в наборе, чтобы ни из каких трёх нельзя было составить треугольник?

Задание 0 № 511903


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.
77

Найдите два на­ту­раль­ных числа таких, что их произведение

 

а) в 25 раз боль­ше их разности;

б) в 25 раз боль­ше их суммы;

в) в 25 раз боль­ше их полусуммы.

Задание 0 № 511921


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.
78

А) При каком наи­боль­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, то среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных треугольников?

Б) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных треугольников?

В) При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точках найдётся по край­ней мере 2015 пря­мо­уголь­ных треугольников?

Задание 0 № 512007


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.
79

а) Известно, что b = 20132013 + 2. Будут ли числа b3 + 2 и b2 + 2 вза­им­но простыми?

б) Найдите четырёхзначное число, которое при делении на  131 даёт в остатке 112, а при делении на 132 даёт в остатке 98.

в)  Найдите все числа вида которые делились бы на 132.

Задание 0 № 512429


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.
80

а) Известно, что 35! = 10333147966386144929*66651337523200000000.  Найдите цифру, заменённую звездочкой. 

б) Де­лит­ся ли число 11n + 2 + 122n + 1 на 133 при любом на­ту­раль­ном n?

в) Найдите количество на­ту­раль­ных чисел, меньших 133, взаимно простых с числом 133. 

Задание 0 № 512436


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 133.
81

На доске на­пи­са­но более 122, но менее 134 целых чисел. Сред­нее арифметическое этих чисел равно −7. Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 11, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно −22.  

а) Сколько чисел написано на доске? 

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных? 

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них? 

Задание 0 № 512443


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.
82

а) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых корни урав­не­ния об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую прогрессию.

б) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую прогрессию.

в) Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую прогрессию.

г) Числа яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской прогрессии. Най­ди­те x, если известно, что один из чле­нов этой про­грес­сии равен −0,8.

Задание 0 № 512450


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135.
83

Про на­ту­раль­ные числа а, b и c известно, что

 

 

а) Может ли сумм чисел a и b рав­нять­ся числу c?

б) Может ли про­из­ве­де­ние чисел а и с рав­нять­ся квад­ра­ту числа b?

в) Най­ди­те наи­мень­шее из воз­мож­ных зна­че­ний вы­ра­же­ния

Задание 0 № 512457


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 136.
84

а) Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число такое, что оно не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 100!

б) Определите, на какую наи­боль­шую сте­пень 10 де­лит­ся 100!

в) Най­ди­те по­след­нюю не­ну­ле­вую цифру в за­пи­си числа, рав­но­го 100!

Задание 0 № 512464


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 137.
85

Используя каж­дую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по од­но­му разу, со­ставь­те такие два пя­ти­знач­ных числа, чтобы

а) их раз­ность была наибольшей;

б) их раз­ность была по мо­ду­лю наименьшей;

в) их про­из­ве­де­ние было наибольшим.

Задание 0 № 512471


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 138.
86

а) В городе Глу­по­ве каждый житель — полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, а обыватели — ворам, а во всех остальных слу­ча­ях жи­те­ли города говорят правду. Однажды, когда не­сколь­ко глу­пов­цев во­ди­ли хоровод, каж­дый ска­зал сво­е­му со­се­ду справа: «Я — полицейский». Сколько в этом хороводе было обывателей?   

б) За круг­лым сто­лом сидят 10 человек, каждый из которых — одного из двух типов: лжец (всегда лжет) или рыцарь (всегда го­во­рит правду). Каж­дый из них утверждает:

«Мои соседи слева и справа — разного типа». Сколько лжецов сидит за столом? 

в) Хоккейная команда, насчитывающая 28 человек, состоит из рыцарей (всегда говорят правду) и лжецов (всегда лгут). Однажды каждый игрок сде­лал заявление. Первый сказал:  «Количество рыцарей в команде делитель — 1».  Второй  сказал:  «Количество рыцарей в команде — делитель  2» и так далее до 28‐го, который  сказал:  «Количество 

рыцарей в команде — делитель 28». Определите, сколько в команде рыцарей.

Задание 0 № 512654


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.
87

а) Между циф­ра­ми от 1 до 9 рас­ставь­те знаки ариф­ме­ти­че­ских дей­ствий и скоб­ки (если нужно) так, чтобы по­лу­чи­лось вер­ное равенство: 1  2  3  4  5  6  7  8  9  = 100.

б) Рас­ставь­те в каж­дую клет­ку по одной цифре так, чтобы вы­пол­ня­лись сле­ду­ю­щие равенства (причем все цифры ненулевые и используются по одному разу):

 

  : =  = + = · 

 

в) Можно ли из цифр от 1 до 9 со­ста­вить такое де­вя­ти­знач­ное число, что число из двух его пер­вых цифр де­лит­ся на 2, из трёх пер­вых цифр — де­лит­ся на 3 и так далее, а само число делится на 9?

Задание 0 № 512667


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.
88

а) В клетках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Рассмотрим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой строке, каж­дом столб­це и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся одинаковыми?

б) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа –1, 0 и 1 (каждое из этих чисел встре­ча­ет­ся хотя бы один раз). Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой строке, каж­дом столб­це и по двум диагоналям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся различными?

в) В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны де­вять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Рас­смот­рим во­семь произведений: про­из­ве­де­ния трёх чисел в каж­дой строке, каж­дом столб­це и по двум диагоналям. Могут ли все эти про­из­ве­де­ния ока­зать­ся одинаковыми? 

Задание 0 № 512675


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.
89

а) Среди 9 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес меньше, чем у настоящих. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету?

б) Известно, что среди гирь достоинством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря отличается по весу от маркировки, указанной на ней. Можно ли при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить «неправильную» гирю?

в) Среди 12 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес отличается от веса настоящих, но неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить фальшивую монету и при этом установить, легче она или тяжелее настоящих?

Задание 0 № 513210


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.
90

Натуральные числа от 1 до 9 рас­пре­де­ле­ны на три группы: в 1‐й груп­пе два числа, во 2‐й — три и в 3‐й — четыре.

а) Могут ли про­из­ве­де­ния чисел в каж­дой группе ока­зать­ся одинаковыми?

б) Могут ли суммы в каж­дой группе ока­зать­ся одинаковыми?

в) Из чисел 1‐й груп­пы составлено дву­знач­ное число А, из чисел 2‐й груп­пы составлено трех­знач­ное число В, а из чисел 3‐й груп­пы составлено че­ты­рех­знач­ное число С. Какое наи­боль­шее значение может при­ни­мать сумма A + В + С?

Задание 0 № 513217


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.
91

а) Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

б) Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

в) Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

Задание 0 № 513224


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.
92

На доске за­пи­са­но число 2. Раз­ре­ша­ет­ся записывать новые числа, при­ме­няя одну из операций:

1) можно уве­ли­чить любое из за­пи­сан­ных чисел на 3;

2) можно любое из за­пи­сан­ных чисел воз­ве­сти в квадрат.

Можно ли в какой‐то мо­мент получить на доске число:

а) 2015;

б) 2016?

в) За какое наи­мень­шее число ходов можно по­лу­чить на доске число 2017?

Задание 0 № 513231


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 145.
93

Из целых чисел от 1 до 100 уда­ли­ли k чисел. Обя­за­тель­но ли среди остав­ших­ся чисел можно вы­брать k раз­лич­ных чисел с сум­мой 100, если

а) k = 9;

б) k = 8?

Задание 0 № 513238


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 146.
94

В выражении 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким

а) наибольшим; 

б) наименьшим может быть это число?

Задание 0 № 513769


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.
95

а) На доске записаны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Можно ли стереть сначала одно число из записанных, потом стереть еще два, потом — еще три, и, наконец, стереть еще четыре числа так, чтобы после каждого стирания сумма оставшихся на доске чисел делилась на 11?

б) В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.

Задание 0 № 513776


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.
96

а) Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой? 

б) Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

Задание 0 № 513783


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.
97

а) На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность — неотрицательное число. Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

б) Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком‐либо порядке числами 1, 2, ..., 20. Если секторы занумерованы, например, в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна  12 – 9 = 3. Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3?

в) Каково наибольшее возможное значение этой величины? 

Задание 0 № 513790


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 150.
98

Как известно, шахматный конь ходит буквой «Г» (рис.) 

Конь расположен в левой нижней клетке шахматной доски 8х8 (поле А1). 

а) Может ли конь оказаться в верхней правой клетке  (на поле Н8), сделав при этом ровно 2015 ходов?   

б) Может ли конь за 63 хода побывать в каждой из оставшихся 63 клеток?

в) За какое  наименьшее число  ходов конь может  оказаться в верхней  правой клетке (на поле Н8)?

Задание 0 № 513797


Источник: Нерешенные задания
99

а) Можно ли число 2016 представить в виде суммы семи последовательных натуральных чисел?  

б) Можно ли число 2016 представить в виде суммы шести последовательных натуральных чисел?

в) Представьте число 2016 в виде суммы наибольшего количества последовательных чётных натуральных чисел. 

Задание 0 № 514057


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 152.
100

Определите, имеют ли общие члены две последовательности 

а) 3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…   

б) 5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…   

в) Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий  1; …; 100 и 9; …; 999,  если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.

Задание 0 № 514064


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.
101

На каждой из 28 костей домино написаны два целых числа, не меньших 0 и не больших 6 так, что они образуют все возможные пары по одному разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6). 

Все кости домино разложили на несколько кучек и для каждой кучки подсчитали сумму всех чисел на костях, находящихся в этой кучке. Оказалось, что все полученные суммы равны. 

а) Могло ли быть 2 кучки? 

б) Могло ли быть 5 кучек? 

в) Какое наибольшее количество кучек могло быть? 

Задание 0 № 514071


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.
102

а) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие две не били друг друга?                          

б) На шахматной доске поставлены восемь ладей. Какое наибольшее число клеток может оказаться не под боем этих ладей?                                                   

в) На 64 летках шахматной доски выписаны подряд числа от 1 до 64 (в верхнем ряду слева направо числа от 1 до 8, во втором ряду числа от 9 до 16 и т. д.) Восемь ладей поставлены так, что никакие две не бьют друг друга. Подсчитана сумма чисел, написанных на тех восьми клетках, на которых поставлены ладьи. Найдите все значения, которые может принимать эта сумма.

Задание 0 № 514078


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.
103

а) Существует ли натуральное число, которое при делении на 2015 даёт в остатке 2014, а при делении на 2016 даёт в остатке 2015?

б) Существует ли натуральное число, которое при делении на 3 даёт в остатке 2, при делении на 5 даёт в остатке 4, а при делении на 10 даёт в остатке 6?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 даёт в остатке 1, при делении на 3 даёт в остатке 2, ..., при делении на 9 даёт в остатке 8, при делении на 10 даёт в остатке 9.

Задание 0 № 514580


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157.
104

а) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на параллелограммы?

б) Можно ли правильный пятиугольник разрезать на трапеции?

в) Найдите наименьшее нечётное n, для которого существует n-угольник, который можно разрезать на параллелограммы.

Задание 0 № 514587


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.
105

Целые числа a1, a2, a3, a4 четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. 

а) Может ли разность дробей и равняться

б) Может ли разность дробей и равняться

в) Найдите все возможные целые значения разности дробей и

Задание 0 № 514601


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!