Каталог заданий.
Числа и их свойства

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д19 C7 № 505609

Дано иррациональное число a, такое что 0 меньше a меньше 1/2. По нему определяется новое число a_1 как меньшее из двух чисел 2a и 1 минус 2a. По этому числу аналогично определяется a_2, и так далее.

а) Докажите, что для некоторого n выполнено неравенство a_n меньше 3/16.

б) Может ли случиться, что a_n больше 7/40 при всех натуральных n?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 43.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

2
Задания Д19 C7 № 505615

На бумажке записаны три положительных числа: x, y и 1. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких‐нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому‐нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке

а) число x2?

б) число xy?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 44.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

3
Задания Д19 C7 № 505627

Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число d = a1999 + b1999 + c1999.

а) Может ли случиться, что d = 2?

б) может ли случиться, что d — простое число?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 46.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

4
Задания Д19 C7 № 505639

Перемножаются все выражения вида \pm 1 в степени 1/2 \pm2 в степени 1/2 \pm\ldots \pm99 в степени 1/2 \pm100 в степени 1/2 (при всевозможных комбинациях знаков).

а) Может ли результат являться целым числом?

б) Может ли результат являться квадратом целого числа?

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 47.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

5
Задания Д19 C7 № 505651

n чисел (n больше 1) называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма всех чисел, деленная на n минус 1. Пусть a,b,c, ... — n близких чисел, S — их сумма.

Докажите, что

а) все они положительны;

б) всегда a плюс b больше c;

в) всегда a плюс b больше S/(n минус 1).

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 49.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства

Пройти тестирование по этим заданиям