Дано ир­ра­ци­о­наль­ное число a, такое что По нему опре­де­ля­ет­ся новое число как мень­шее из двух чисел и По этому числу ана­ло­гич­но опре­де­ля­ет­ся и так далее.

а)  До­ка­жи­те, что для не­ко­то­ро­го n вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

б)  Может ли слу­чить­ся, что при всех на­ту­раль­ных

На бу­маж­ке за­пи­са­ны три по­ло­жи­тель­ных числа: x, y и 1. За один ход раз­ре­ша­ет­ся за­пи­сать на бу­маж­ку сумму или раз­ность каких‐ни­будь двух уже за­пи­сан­ных чисел или за­пи­сать число, об­рат­ное к ка­ко­му‐ни­будь из уже за­пи­сан­ных чисел. Можно ли за не­сколь­ко ходов по­лу­чить на бу­маж­ке

а)  число x²?

б)  число xy?

Рас­смат­ри­ва­ют­ся трой­ки целых чисел a, b и c, для ко­то­рых вы­пол­не­но усло­вие: a + b + c = 0. Для каж­дой такой трой­ки вы­чис­ля­ет­ся число d = a¹⁹⁹⁹ + b¹⁹⁹⁹ + c¹⁹⁹⁹.

а)  Может ли слу­чить­ся, что d = 2?

б)  может ли слу­чить­ся, что d  — про­стое число?

Пе­ре­мно­жа­ют­ся все вы­ра­же­ния вида (при все­воз­мож­ных ком­би­на­ци­ях зна­ков).

а)  Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся целым чис­лом?

б)  Может ли ре­зуль­тат яв­лять­ся квад­ра­том це­ло­го числа?

n чисел () на­зы­ва­ют­ся близ­ки­ми, если каж­дое из них мень­ше, чем сумма всех чисел, де­лен­ная на Пусть ...  — n близ­ких чисел, S  — их сумма.

До­ка­жи­те, что

а)  все они по­ло­жи­тель­ны;

б)  все­гда

в)  все­гда

На доске на­пи­са­ны числа 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 и 1/12.

а)  До­ка­жи­те, что как бы мы ни расстaвляли знаки «+» и «−» между этими чис­ла­ми, вы­ра­же­ние не будет равно 0.

б)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство на­пи­сан­ных чисел не­об­хо­ди­мо сте­реть с доски для того, чтобы после не­ко­то­рой рас­ста­нов­ки «+» и «−» между остав­ши­ми­ся чис­ла­ми зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­ня­лось 0?

На­ту­раль­ные числа a и b по­лу­ча­ют­ся друг из друга пе­ре­ста­нов­кой цифр. До­ка­жи­те, что

а)  суммы цифр чисел и равны;

б)  если и b чётные, то суммы цифр чисел и равны;

в)  суммы цифр чисел и равны.

Для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа n через обо­зна­чим такое наи­боль­шее на­ту­раль­ное число, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа k, не пре­вос­хо­дя­ще­го число пред­ста­ви­мо в виде суммы k квад­ра­тов на­ту­раль­ных чисел.

а)  До­ка­жи­те для лю­бо­го не­ра­вен­ство

б)  Най­ди­те хотя бы одно такое на­ту­раль­ное число n, что

в)  До­ка­жи­те, что су­ще­ству­ет бес­ко­неч­но много таких на­ту­раль­ных n, что

На­ту­раль­ные числа M и K от­ли­ча­ют­ся пе­ре­ста­нов­кой цифр.

До­ка­зать что:

а)  сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;

б)  сумма цифр числа M/2 равна сумме цифр числа K/2 (если M и K чётны);

в)  сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.

Круг­лая ми­шень раз­би­та на 20 сек­то­ров, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся по кругу в каком-либо по­ряд­ке чис­ла­ми 1, 2, ..., 20. Если сек­то­ры за­ну­ме­ро­ва­ны, на­при­мер, в сле­ду­ю­щем по­ряд­ке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наи­мень­шая из раз­но­стей между но­ме­ра­ми со­сед­них (по кругу) сек­то­ров равна 12 − 9  =  3.

а)  Может ли ука­зан­ная ве­ли­чи­на при ну­ме­ра­ции в дру­гом по­ряд­ке быть боль­ше 3?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этой ве­ли­чи­ны?

а)  Дано шесть на­ту­раль­ных чисел. Все они раз­лич­ны и дают в сумме 22. Найти эти числа.

б)  До­ка­жи­те, что дру­гих таких чисел нет.

в)  Тот же во­прос про 100 чисел, да­ю­щих в сумме 5051.

Даны на­ту­раль­ные числа M и N, боль­шие де­ся­ти, со­сто­я­щие из оди­на­ко­во­го ко­ли­че­ства цифр и такие, что M = 3N. Чтобы по­лу­чить число M, надо в числе N к одной из цифр при­ба­вить 2, а к каж­дой из осталь­ных цифр при­ба­вить по нечётной цифре.

а)  При­ве­ди­те при­мер таких чисел

б)  Может ли число N за­кан­чи­вать­ся циф­рой 1?

в)  Какой циф­рой могло окан­чи­вать­ся число N?

Из­вест­но, что сумма цифр на­ту­раль­но­го числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50.

а)  Может ли число N за­кан­чи­вать­ся на 1?

б)  До­ка­жи­те, что N четно.

На­пи­са­но 1992‐знач­ное число. Каж­дое дву­знач­ное число, об­ра­зо­ван­ное со­сед­ни­ми циф­ра­ми, де­лит­ся на 17 или на 23. По­след­няя цифра числа 1.

а)  Де­лит­ся ли дан­ное число на 3?

б)  Ка­ко­ва пер­вая цифра числа?

С на­ту­раль­ным чис­лом (за­пи­сы­ва­е­мым в де­ся­тич­ной си­сте­ме) раз­ре­ше­но про­де­лы­вать сле­ду­ю­щие опе­ра­ции:

А)  при­пи­сать на конце цифру 4;

Б)  при­пи­сать на конце цифру 0;

В)  раз­де­лить на 2 (если число чётно).

На­при­мер, если с чис­лом 4 про­де­ла­ем по­сле­до­ва­тель­но опе­ра­ции В, В, А и Б, то по­лу­чим число 140.

а)  Из числа 4 по­лу­чи­те число 1972.

б)  До­ка­жи­те, что из числа 4 можно по­лу­чить любое на­ту­раль­ное число.

Можно ли рас­ста­вить числа  

а)  от 1 до 7;

б)  от 1 до 9

по кругу так, чтобы любое из них де­ли­лось на раз­ность своих со­се­дей?

Су­ще­ству­ют ли

а)  шесть,

б)  1000 таких раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b де­лит­ся на раз­ность a − b?

Даны на­ту­раль­ные числа и такие, что Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское этих чисел де­лит­ся на 13.

а)  Най­ди­те наи­мень­шую сумму такую, что она яв­ля­ет­ся квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

б)  Най­ди­те наи­боль­шее число c, если а сумма имеет наи­мень­шее зна­че­ние.

в)  Най­ди­те наи­мень­шее число b, если числа c, b и a в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью n.

г)  Из­вест­но, что числа c, b и a в ука­зан­ном по­ряд­ке со­став­ля­ют воз­рас­та­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию с раз­но­стью n. Най­ди­те наи­мень­шее n, при ко­то­ром число c будет наи­мень­шим, и все члены ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии будут яв­лять­ся квад­ра­та­ми на­ту­раль­ных чисел.

В лицее № 4 оцен­ки ста­вят в ат­те­стат по успе­ва­е­мо­сти за 9 и 11 клас­сы. Если оцен­ки от­ли­ча­ют­ся на 1 балл, то ста­вят в поль­зу уче­ни­ка, если более, чем на 1 балл, то ста­вят сред­нее. Из­вест­но, что в 9 и 11 клас­сах у Лены было 5 пред­ме­тов, причём сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 9 класс равно 4,6, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок в 11 клас­се равно 4,8.

а)  Могла ли Лена по­лу­чить от­лич­ный ат­те­стат?

б)  Могла ли Лена за­кон­чить лицей с трой­кой?

в)  В спец. клас­се лицея n пред­ме­тов. Если бы Лена там обу­ча­лась, и сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок за 9 класс ока­за­лось равно 4,1, а за 11 класс  — 4,9, то она стала бы от­лич­ни­цей. При каком наи­мень­шем n это воз­мож­но?

Дан набор на­ту­раль­ных чисел где На­ту­раль­ное число A имеет вид где   — раз­лич­ные числа из на­бо­ра p, k  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел p, а [k]  — целая часть числа k.

а)  Найти наи­мень­шее воз­мож­ное и наи­боль­шее воз­мож­ное число A, если

б)  Най­ди­те наи­мень­шее n, при ко­то­ром число A боль­ше 20.

в)   Най­ди­те при каком ми­ни­маль­ном n, вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство

В вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка за­пи­са­но по на­ту­раль­но­му числу, па каж­дой сто­ро­не  — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в её кон­цах, а внут­ри тре­уголь­ни­ка  — про­из­ве­де­ние чисел, за­пи­сан­ных в его вер­ши­нах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа за­пи­са­ны в вер­ши­нах тре­уголь­ни­ка?

Най­ди­те все целые зна­че­ния n, для каж­до­го из ко­то­рых число Будет ра­ци­о­наль­ным.

По­след­нюю цифру ше­сти­знач­но­го числа пе­ре­ста­ви­ли в на­ча­ло (на­при­мер 123456  — 612345), и по­лу­чен­ное ше­сти­знач­ное число при­ба­ви­ли к ис­ход­но­му числу. Какие числа из про­ме­жут­ка [891870; 891899] могли по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те сло­же­ния?

В де­ся­тич­ной за­пи­си по­ло­жи­тель­но­го числа по­ме­ня­ли ме­ста­ми цифры, сто­я­щие на пер­вом и тре­тьем ме­стах после за­пя­той. При этом число уве­ли­чи­лось в 13 раз.

а)  Какая цифра сто­я­ла на тре­тьем месте после за­пя­той в ис­ход­ном числе?

б)  Какое число по­лу­чи­лось?

Даны 20 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 70. До­ка­жи­те, что среди их по­пар­ных раз­но­стей най­дут­ся че­ты­ре оди­на­ко­вых.

На окруж­но­сти рас­став­ле­ны 999 чисел, каж­дое равно 1 или −1, при­чем не все числа оди­на­ко­вые. Возь­мем все про­из­ве­де­ния по 10 под­ряд сто­я­щих чисел и сло­жим их.

а)  Какая наи­мень­шая сумма может по­лу­чить­ся?

б)  А какая наи­боль­шая?

На плос­ко­сти даны 8 от­рез­ков. Длина каж­до­го от­рез­ка яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, не пре­вос­хо­дя­щим 20. Пусть n – число раз­лич­ных тре­уголь­ни­ков, ко­то­рые можно со­ста­вить из этих от­рез­ков. Один и тот же от­ре­зок может ис­поль­зо­вать­ся для раз­ных тре­уголь­ни­ков, но не может ис­поль­зо­вать­ся два­жды для од­но­го тре­уголь­ни­ка.

а)  Может ли n = 60?

б)  Может ли n = 55?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние n, если среди дан­ных от­рез­ков нет трех рав­ных.

А, И, Б си­де­ли на трубе. К ним стали по оче­ре­ди под­са­жи­вать­ся дру­гие буквы так, что по­ряд­ко­вый номер оче­ред­ной буквы в рус­ском ал­фа­ви­те рав­нял­ся сумме цифр по­ряд­ко­вых но­ме­ров двух преды­ду­щих букв. Ока­за­лось, что на­чи­ная с не­ко­то­ро­го мо­мен­та буквы стали цик­ли­че­ски по­вто­рять­ся.

а)  Какая буква (из числа цик­ли­че­ски по­вто­ря­ю­щих­ся) встре­ча­ет­ся наи­бо­лее часто?

б)  Может ли цик­ли­че­ски по­вто­ря­ю­щий­ся набор со­сто­ять из одной буквы? Если да, ука­зать эту букву.

Дана гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия вида Воз­мож­но ли вы­де­лить гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию с сум­мой чле­нов, рав­ной

а)  

б)  

Име­ют­ся 300 яблок. До­ка­жи­те, что их можно раз­ло­жить в па­ке­ты по два яб­ло­ка так, чтобы любые два па­ке­та раз­ли­ча­лись по весу не более, чем в пол­то­ра раза, если любые два яб­ло­ка раз­ли­ча­ют­ся по весу не более, чем:

а)  в два раза;

б)  в три раза.

а)  Школь­ни­ки од­но­го клас­са в сен­тяб­ре хо­ди­ли в два ту­ри­сти­че­ских по­хо­да. В пер­вом по­хо­де маль­чи­ков было мень­ше об­ще­го числа участ­ни­ков этого по­хо­да, во вто­ром  — тоже мень­ше До­ка­жи­те, что в этом клас­се маль­чи­ки со­став­ля­ют мень­ше об­ще­го числа уче­ни­ков, если из­вест­но, что каж­дый из уче­ни­ков участ­во­вал по­край­ней мере в одном по­хо­де.

б)  Пусть в k-м по­хо­де, где 1 ≤ k ≤ n, маль­чи­ки со­став­ля­ли a_k-ю часть об­ще­го ко­ли­че­ства участ­ни­ков этого по­хо­да. Какую наи­боль­шую долю могут со­став­лять маль­чи­ки на общей встре­че всех ту­ри­стов (всех, кто участ­во­вал хотя бы в одном из n по­хо­дов)?

На листе бу­ма­ги в строч­ку за­пи­са­ны 11 еди­ниц.

а)  До­ка­жи­те, что между этими еди­ни­ца­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

б)  До­ка­жи­те, что если еди­ни­цы, сто­я­щие на чет­ных ме­стах, за­ме­нить на се­мер­ки, все равно между чис­ла­ми по­лу­чен­но­го на­бо­ра можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

в)  До­ка­жи­те, что между лю­бы­ми 11 на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми можно рас­ста­вить знаки сло­же­ния, умно­же­ния и скоб­ки так, что после вы­пол­не­ния дей­ствий по­лу­чит­ся число, де­ля­ще­е­ся на 54.

а)  Пред­ставь­те число 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел.

б)  Най­ди­те ко­ли­че­ство спо­со­бов пред­став­ле­ния числа 2015 в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел.

в)  Можно ли число 2015 пред­ста­вить в виде суммы не­сколь­ких (не менее двух) по­сле­до­ва­тель­ных не­чет­ных на­ту­раль­ных чисел?

Име­ет­ся набор гирь со сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми: 1) в нем есть 5 гирь, по­пар­но раз­лич­ных по весу; 2) для любых двух гирь най­дут­ся две дру­гие гири та­ко­го же сум­мар­но­го веса.

А)  До­ка­жи­те, что в таком на­бо­ре обя­за­тель­но най­дут­ся две гири оди­на­ко­во­го веса.

Б)  Обя­за­тель­но ли в таком на­бо­ре най­дут­ся че­ты­ре гири оди­на­ко­во­го веса?

В)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство гирь может быть в этом на­бо­ре?

а)  Най­ди­те три не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых  — целое число.

б)  Най­ди­те че­ты­ре не­со­кра­ти­мые дроби, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых  — целое число.

в)  Су­ще­ству­ет ли 2015 не­со­кра­ти­мых дро­бей, про­из­ве­де­ние любых двух из ко­то­рых  — целое число?

K ба­бу­шек од­но­вре­мен­но узна­ли K спле­тен, причём каж­дая из них узна­ла толь­ко одну сплет­ню. Ба­буш­ки при­ня­лись об­ме­ни­вать­ся сплет­ня­ми по те­ле­фо­ну. Каж­дый раз­го­вор за­ни­ма­ет 1 час, в те­че­ние ко­то­ро­го можно пе­ре­дать сколь­ко угод­но спле­тен. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство часов раз­го­во­ра нужно, чтобы все ба­буш­ки узна­ли все сплет­ни, если:

а)  K = 64,

б)  K = 55,

в)  K = 100.

Набор со­сто­ит из пер­вых 22 на­ту­раль­ных чисел: 1; 2; 3;…; 21; 22.

А)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел этого на­бо­ра не­об­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить, чтобы по­лу­чить куб на­ту­раль­но­го числа?

Б)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел этого на­бо­ра не­об­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить, чтобы по­лу­чить квад­рат на­ту­раль­но­го числа?

В)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел этого на­бо­ра не­об­хо­ди­мо пе­ре­мно­жить, чтобы по­лу­чить квад­рат не­чет­но­го на­ту­раль­но­го числа?

А)  Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых по­пар­ные суммы равны 7, 9, 10, 12, 13, 15, 15, 16, 18, 21?

Б)  Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых по­пар­ные суммы равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

В)  Су­ще­ству­ют ли пять целых чисел, у ко­то­рых по­пар­ные про­из­ве­де­ния равны 24, 32, 36, 48, 54, 64, 72, 96, 128, 144?

Про на­ту­раль­ное число N из­вест­но, что сумма его че­ты­рех наи­мень­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 12.

А)  Может ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа N рав­нять­ся 195?

Б)  Может ли сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа N рав­нять­ся 120?

В)  Най­ди­те все воз­мож­ные числа N, у ко­то­рых сумма че­ты­рех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей не пре­вос­хо­дит 100.

А)  Най­ди­те какое-либо на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 де­ли­те­лей (вклю­чая 1 и само число).

Б)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го ровно 10 де­ли­те­лей.

В)  Най­ди­те все трех­знач­ные не­чет­ные на­ту­раль­ные числа, у ко­то­рых ровно 10 де­ли­те­лей.

Каж­дое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15 по од­но­му за­пи­сы­ва­ют на шести кар­точ­ках. Далее кар­точ­ки пе­ре­во­ра­чи­ва­ют и пе­ре­ме­ши­ва­ют. На их чи­стых сто­ро­нах за­но­во пишут по од­но­му каж­дое из чисел 3; 4; 9; 10; 12; 15. После этого на каж­дой кар­точ­ке под­счи­ты­ва­ют мо­дуль раз­но­сти за­пи­сан­ных на ней чисел, а по­лу­чен­ные в итоге числа пе­ре­мно­жа­ют.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 65?

б)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 120?

в)  Какое наи­мень­шее на­ту­раль­ное число может в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся?

Рас­смат­ри­ва­ют­ся 10‐знач­ные на­ту­раль­ные числа (все де­сять цифр в их за­пи­си раз­лич­ны). Среди таких чисел най­ди­те:

а)  какое‐либо число, де­ля­ще­е­ся на 11;

б)  наи­боль­шее число, де­ля­ще­е­ся на 11;

в)  наи­мень­шее число, де­ля­ще­е­ся на 11.

(На­ту­раль­ное число де­лит­ся на 11, если зна­ко­че­ре­ду­ю­ща­я­ся сумма его цифр де­лит­ся на 11. На­при­мер, число 61938085 де­лит­ся на 11, так как 6 − 1 + 9 − 3 + 8 − 0 + 8 − 5  =  22.)

В ряд вы­пи­са­ны на­ту­раль­ные числа: Между ними про­из­воль­ным об­ра­зом рас­став­ля­ют знаки «+» и «–» и на­хо­дят по­лу­чив­шу­ю­ся сумму. Может ли такая сумма рав­нять­ся:

А)  4, если  N = 12;

Б)  0, если  N = 13;

В)  0, если  N = 16;

Г)  5, если  N = 18?

А)  До­ка­жи­те, что число со­став­ное.

Б)  До­ка­жи­те, что  число  со­став­ное.

В)  До­ка­жи­те, что число яв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем двух по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел.

a)  Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить по кругу так, чтобы сумма любых двух со­сед­них чисел была бы квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

Б)   Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить в стро­ку так, чтобы сумма любых двух со­сед­них чисел была бы квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

В)  Можно ли числа от 1 до 16 рас­по­ло­жить в стро­ку так, чтобы каж­дое число, на­чи­ная  со вто­ро­го, было бы де­ли­те­лем суммы всех преды­ду­щих?

А)  Какое наи­боль­шее число ладей можно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы ни­ка­кие две не били друг друга?

Б)  Какое наи­боль­шее число ко­ро­лей можно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы ни­ка­кие два не били друг друга?

В)  Какое наи­мень­шее число ко­ро­лей нужно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы все сво­бод­ные клет­ки ока­за­лись под  боем?

Г)  Какое наи­боль­шее число фер­зей можно по­ста­вить на шах­мат­ную доску так, чтобы ни­ка­кие два не били друг друга?

Ля­гуш­ка пры­га­ет по вер­ши­нам ше­сти­уголь­ни­ка ABCDEF, каж­дый раз пе­ре­ме­ща­ясь в одну из со­сед­них вер­шин.

а)  Сколь­ки­ми спо­со­ба­ми она может по­пасть из A в C за n прыж­ков?

б)  Сколь­ко таких спо­со­бов при усло­вии, что вер­ши­ной D поль­зо­вать­ся нель­зя?

А)  Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 12×12 пол­но­стью на­крыть плит­ка­ми, ука­зан­ны­ми на ри­сун­ке?

Б)  Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью на­крыть плит­ка­ми, ука­зан­ны­ми на ри­сун­ке?

В)  Можно ли клет­ча­тую доску раз­ме­ром 10×10 пол­но­стью на­крыть плит­ка­ми, ука­зан­ны­ми на ри­сун­ке?

(Плит­ки не долж­ны на­кла­ды­вать­ся друг на друга и вы­хо­дить за край доски)

Рас­смат­ри­ва­ет­ся набор раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, боль­ших 1. Из­вест­но, что 1) каж­дое число на­бо­ра яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 60, 2) про­из­ве­де­ние всех чисел на­бо­ра равно 

А)  Най­ди­те наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел в таком на­бо­ре.

Б)  Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел в таком на­бо­ре.

В)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­бо­ров, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­ви­ям (1) и (2)?

А)  До­ка­жи­те, что среди про­из­воль­ных 11 на­ту­раль­ных чисел все­гда най­дут­ся два, раз­ность ко­то­рых крат­на 10.

Б)  До­ка­жи­те, что среди про­из­воль­ных 11 целых чисел все­гда най­дут­ся два, раз­ность ко­то­рых крат­на 10.

В)  До­ка­жи­те, что среди про­из­воль­ных 10 на­ту­раль­ных чисел все­гда най­дут­ся не­сколь­ко, сумма ко­то­рых де­лит­ся на 10.

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC.

А)  Каж­дую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC уве­ли­чи­ли на 1. Может ли по­лу­чен­ный при этом тре­уголь­ник снова ока­зать­ся пря­мо­уголь­ным?

Б)  Каж­дую сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка ABC умень­ши­ли на 1. Может ли по­лу­чен­ный при этом тре­уголь­ник снова ока­зать­ся пря­мо­уголь­ным?

В)  Каж­дую  сто­ро­ну  тре­уголь­ни­ка ABC из­ме­ни­ли на 1 (уве­ли­чи­ли  или  умень­ши­ли,  по сво­е­му  усмот­ре­нию).  Может  ли  по­лу­чен­ный  при  этом  тре­уголь­ник  ока­зать­ся пря­мо­уголь­ным?

а)  К лю­бо­му ли ше­сти­знач­но­му числу, на­чи­на­ю­ще­му­ся с цифры 5, можно при­пи­сать спра­ва ещё 6 цифр так, чтобы по­лу­чен­ное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа?

б)  Тот же во­прос про число, на­чи­на­ю­ще­е­ся на 1.

в)  Най­ди­те для каж­до­го на­ту­раль­но­го n такое наи­мень­шее число k, что к лю­бо­му n-знач­но­му числу можно так при­пи­сать спра­ва k цифр, чтобы по­лу­чен­ное (n + k)-знач­ное число было квад­ра­том на­ту­раль­но­го числа.

Про­из­ве­де­ние трёх на­ту­раль­ных чисел, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем не­ко­то­ро­го числа вида n² + 1, где

а)  Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 12.

б)  Су­ще­ству­ет ли такая ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью 10 или 11.

Даны два трех­знач­ных на­ту­раль­ных числа. Из­вест­но, что их про­из­ве­де­ние в N раз (на­ту­раль­ное число N > 1) мень­ше ше­сти­знач­но­го числа, по­лу­ча­ю­ще­го­ся при­пи­сы­ва­ни­ем од­но­го из этих двух чисел вслед за дру­гим.

А)  Может ли N рав­нять­ся 2?

Б)  Может ли N рав­нять­ся 3?

В)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать число N?

Петя за­ду­мал на­ту­раль­ное число, боль­шее 100. Вера на­зы­ва­ет на­ту­раль­ное число N, боль­шее 1. Если число Пети де­лит­ся на N, то Вера вы­иг­ра­ла, иначе Петя вы­чи­та­ет из сво­е­го числа число N, и игра про­дол­жа­ет­ся. На­зы­вать ранее на­зван­ные числа Вера уже не может. Когда число Пети ста­нет от­ри­ца­тель­ным, Вера про­иг­ры­ва­ет. Есть ли у Веры вы­иг­рыш­ная стра­те­гия?

Может ли общая часть тре­уголь­ни­ка и че­ты­рех­уголь­ни­ка (об­ра­зо­ван­ная при на­ло­же­нии одной фи­гу­ры на дру­гую) пред­став­лять собой

а)  се­ми­уголь­ник;

б)  вось­ми­уголь­ник;

в)  де­вя­ти­уголь­ник?

а)  На доске за­пи­са­ны три раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Два числа по­ме­ня­ли ме­ста­ми. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь эти числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

б)  На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. Одно число с доски стер­ли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию?

в)  На доске за­пи­са­ны че­ты­ре раз­лич­ных числа, об­ра­зу­ю­щие в этом по­ряд­ке гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. Одно число с доски стер­ли. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь три остав­ших­ся числа стали об­ра­зо­вы­вать ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

а)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, а тре­тья часть  — точ­ным кубом.

б)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным кубом, а тре­тья часть  — точ­ным квад­ра­том.

в)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, по­ло­ви­на ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, тре­тья часть  — точ­ным кубом, а пятая часть  — точ­ной пятой сте­пе­нью?

Может ли сумма трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида (где n>1) рав­нять­ся

а)  1,1;

б)  0,5;

в)  1,05?

Саша вы­чис­лил про­из­ве­де­ние всех на­ту­раль­ных чисел от 1 до 52 вклю­чи­тель­но и за­пи­сал на доске ответ. Од­на­ко две цифры (они от­ме­че­ны сим­во­ла­ми x и у) он на­пи­сал не­раз­бор­чи­во, а все сто­я­щие в конце нули стёр. В ре­зуль­та­те на доске ока­за­лось число 806581751709438785716606368564037669752895054408832778ух.

а)  Сколь­ко нулей стёр уче­ник?

б)  Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом х.

в)  Най­ди­те цифру, от­ме­чен­ную сим­во­лом у.

а)  Может ли сумма че­ты­рех на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

б)  Может ли сумма че­ты­рех раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же че­ты­рех чисел?

в)  Может ли сумма 2015 раз­лич­ных по­ло­жи­тель­ных ра­ци­о­наль­ных чисел рав­нять­ся про­из­ве­де­нию этих же 2015 чисел?

Про на­ту­раль­ное число Р из­вест­но, что сумма трех его наи­мень­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 8.

а). Най­ди­те число Р, у ко­то­ро­го сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равна 289.

б). Может ли сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа Р рав­нять­ся 255.

в). Най­ди­те все воз­мож­ные числа Р, у ко­то­рых сумма трех наи­боль­ших на­ту­раль­ных де­ли­те­лей не

пре­вос­хо­дит 100.

а)  Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b = 99?

б)  Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет си­сте­ма урав­не­ний

в)  Сколь­ко ре­ше­ний в не­от­ри­ца­тель­ных целых чис­лах имеет урав­не­ние a + b + c =99?

Ре­ши­те урав­не­ние:

а)  [2x] = {7x};

б)  [2x] = 7x;

в)  2x = {7x}.

[a]  — целая часть числа a, т. е. наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее a;

{a}  — дроб­ная часть числа a, т. е. {a} = a − [a].

Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, у ко­то­ро­го

а)  про­из­ве­де­ние всех его де­ли­те­лей равно 131.

б)  число (ко­ли­че­ство) его де­ли­те­лей равно 131.

в)  сумма трёх мень­ших и наи­боль­ше­го его де­ли­те­ля равна 131.

Ма­ят­ни­ко­вые  часы  по­ка­зы­ва­ют  пол­ночь.  Время,  когда  ча­со­вая  и  ми­нут­ная стрел­ки об­ра­зу­ют на ци­фер­бла­те пря­мой угол, на­зо­вем ин­те­рес­ным мо­мен­том.

А)   Опре­де­ли­те, сколь­ко ин­те­рес­ных мо­мен­тов на­блю­да­ет­ся в те­че­ние суток.

Б)   Опре­де­ли­те точ­ное время, когда ин­те­рес­ный мо­мент  на­сту­пит в пер­вый раз.

В)  Опре­де­ли­те, какое наи­мень­шее время долж­но прой­ти между двумя ин­те­рес­ны­ми мо­мен­та­ми.

А)  Най­ди­те все пары целых чисел, раз­ность квад­ра­тов ко­то­рых равна 91.

Б)  Най­ди­те все пары целых чисел, раз­ность кубов ко­то­рых равна 91.

В)  Может ли раз­ность каких‐либо  сте­пе­ней двух целых чисел рав­нять­ся 91?

Дано вы­ра­же­ние: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 = 0

А)  За­ме­ни­те каж­дую * зна­ком «+» или «−» так, чтобы ра­вен­ство стало вер­ным.

Б)   Какое  наи­мень­шее  число  ми­ну­сов  при­дет­ся  по­ста­вить,  чтобы  ра­вен­ство  стало 

вер­ным?

В)   Какое  наи­мень­шее  число  плю­сов  при­дет­ся  по­ста­вить,  чтобы  ра­вен­ство  стало 

вер­ным?

В фут­боль­ной ко­ман­де «Ме­теор» 16 че­ло­век (11 ос­нов­ных иг­ро­ков и 5 за­пас­ных). Из­вест­но, что воз­раст (число  пол­ных лет) у всех иг­ро­ков раз­лич­ный, при­чем са­мо­му млад­ше­му 16 лет, а са­мо­му стар­ше­му 40 лет. По­мощ­ник тре­не­ра перед на­ча­лом матча по­счи­тал сред­ний воз­раст всех 16 иг­ро­ков ко­ман­ды, а во время матча  — сред­ний воз­раст 11 че­ло­век, вы­шед­ших на поле в ос­нов­ном со­ста­ве.

А)  Мог ли сред­ний воз­раст всей ко­ман­ды и ее ос­нов­но­го со­ста­ва ока­зать­ся оди­на­ко­вым?

Б)  Мог ли сред­ний воз­раст всей ко­ман­ды и ее ос­нов­но­го со­ста­ва от­ли­чать­ся ровно на 5 лет?

В)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти между сред­ним воз­рас­том всей ко­ман­ды и сред­ним воз­рас­том ее ос­нов­но­го со­ста­ва.

На про­ек­те «Вышка» каж­дый пры­жок в воду оце­ни­ва­ют пять судей. При этом каж­дый судья вы­став­ля­ет оцен­ку  — целое число бал­лов от 0 до 6 вклю­чи­тель­но. Из­вест­но, что за пры­жок Ти­му­ра Ла­сточ­ки­на все члены жюри вы­ста­ви­ли раз­лич­ные оцен­ки. По ста­рой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл за пры­жок опре­де­лял­ся как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок судей. По новой си­сте­ме оце­ни­ва­ния ито­го­вый балл вы­чис­ля­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: от­бра­сы­ва­ют­ся наи­мень­шая и наи­боль­шая оцен­ки, и счи­та­ет­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское трех остав­ших­ся оце­нок.

А)  Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной 1/10?

Б)  Может ли раз­ность ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния, быть рав­ной 1/15?

В)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние раз­но­сти ито­го­вых бал­лов, вы­чис­лен­ных по ста­рой и новой си­сте­мам оце­ни­ва­ния.

А)  Пред­ставь­те 1 в виде суммы трех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n  — на­ту­раль­ное число.

Б)  Пред­ставь­те 1 в виде суммы пяти по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n  — на­ту­раль­ное число.

В)  До­ка­жи­те, что 1 можно пред­ста­вить в виде суммы лю­бо­го (боль­ше­го двух) ко­ли­че­ства по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида где n  — на­ту­раль­ное число.

Име­ет­ся набор от­рез­ков, два самых ко­рот­ких из них имеют длину 1, самый длин­ный имеет длину 45.

а)  Может ли ока­зать­ся, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить тре­уголь­ник, если набор со­сто­ит из 5 от­рез­ков?

б)  Может ли ока­зать­ся, что ни из каких трёх от­рез­ков нель­зя со­ста­вить тре­уголь­ник, если набор со­сто­ит из 60 от­рез­ков?

в)  Какое наи­боль­шее число от­рез­ков может быть в на­бо­ре, чтобы ни из каких трёх нель­зя было со­ста­вить тре­уголь­ник?

Най­ди­те два на­ту­раль­ных числа таких, что их про­из­ве­де­ние

а)  в 25 раз боль­ше их раз­но­сти;

б)  в 25 раз боль­ше их суммы;

в)  в 25 раз боль­ше их по­лу­сум­мы.

А)  При каком наи­боль­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, то среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

Б)  При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся ровно 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

В)  При каком наи­мень­шем N на окруж­но­сти можно от­ме­тить N точек так, что среди тре­уголь­ни­ков с вер­ши­на­ми в от­ме­чен­ных точ­ках найдётся по край­ней мере 2015 пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков?

а)  Из­вест­но, что b  =  2013²⁰¹³ + 2. Будут ли числа b³ + 2 и b² + 2 вза­им­но про­сты­ми?

б)  Най­ди­те четырёхзнач­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на  131 даёт в остат­ке 112, а при де­ле­нии на 132 даёт в остат­ке 98.

в)   Най­ди­те все числа вида ко­то­рые де­ли­лись бы на 132.

а)  Из­вест­но, что 35!  =  10333147966386144929*66651337523200000000.  Най­ди­те цифру, заменённую звез­доч­кой. 

б)  Де­лит­ся ли число 11^{n + 2} + 12^{2n + 1} на 133 при любом на­ту­раль­ном n?

в)  Най­ди­те ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных чисел, мень­ших 133, вза­им­но про­стых с чис­лом 133. 

а)  Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых корни урав­не­ния об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

б)  Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

в)  Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет ровно че­ты­ре дей­стви­тель­ных корня, об­ра­зу­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

г)  Числа яв­ля­ют­ся по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Най­ди­те x, если из­вест­но, что один из чле­нов этой про­грес­сии равен −0,8.

Про на­ту­раль­ные числа а, b и c из­вест­но, что

а)  Может ли сумм чисел a и b рав­нять­ся числу c?

б)  Может ли про­из­ве­де­ние чисел а и с рав­нять­ся квад­ра­ту числа b?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее из воз­мож­ных зна­че­ний вы­ра­же­ния

а)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число такое, что оно не яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем 100!

б)  Опре­де­ли­те, на какую наи­боль­шую сте­пень 10 де­лит­ся 100!

в)  Най­ди­те по­след­нюю не­ну­ле­вую цифру в за­пи­си числа, рав­но­го 100!

Ис­поль­зуя каж­дую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по од­но­му разу, со­ставь­те такие два пя­ти­знач­ных числа, чтобы

а)  их раз­ность была наи­боль­шей;

б)  их раз­ность была по мо­ду­лю наи­мень­шей;

в)  их про­из­ве­де­ние было наи­боль­шим.

а)  В го­ро­де Глу­по­ве каж­дый жи­тель  — по­ли­цей­ский, вор или обы­ва­тель. По­ли­цей­ские все­гда врут обы­ва­те­лям, воры  — по­ли­цей­ским, а обы­ва­те­ли  — ворам, а во всех осталь­ных слу­ча­ях жи­те­ли го­ро­да го­во­рят прав­ду. Од­на­ж­ды, когда не­сколь­ко глу­пов­цев во­ди­ли хо­ро­вод, каж­дый ска­зал сво­е­му со­се­ду спра­ва: «Я  — по­ли­цей­ский». Сколь­ко в этом хо­ро­во­де было обы­ва­те­лей?   

б)  За круг­лым сто­лом сидят 10 че­ло­век, каж­дый из ко­то­рых  — од­но­го из двух типов: лжец (все­гда лжет) или ры­царь (все­гда го­во­рит прав­ду). Каж­дый из них утвер­жда­ет:

«Мои со­се­ди слева и спра­ва  — раз­но­го типа». Сколь­ко лже­цов сидит за сто­лом? 

в)  Хок­кей­ная ко­ман­да, на­счи­ты­ва­ю­щая 28 че­ло­век, со­сто­ит из ры­ца­рей (все­гда го­во­рят прав­ду) и лже­цов (все­гда лгут). Од­на­ж­ды каж­дый игрок сде­лал за­яв­ле­ние. Пер­вый ска­зал:  «Ко­ли­че­ство ры­ца­рей в ко­ман­де де­ли­тель  — 1».  Вто­рой  ска­зал:  «Ко­ли­че­ство ры­ца­рей в ко­ман­де  — де­ли­тель  2» и так далее до 28‐го, ко­то­рый  ска­зал:  «Ко­ли­че­ство 

ры­ца­рей в ко­ман­де  — де­ли­тель 28». Опре­де­ли­те, сколь­ко в ко­ман­де ры­ца­рей.

а)  Между циф­ра­ми от 1 до 9 рас­ставь­те знаки ариф­ме­ти­че­ских дей­ствий и скоб­ки (если нужно) так, чтобы по­лу­чи­лось вер­ное ра­вен­ство: 1  2  3  4  5  6  7  8  9  = 100.

б)  Рас­ставь­те в каж­дую клет­ку по одной цифре так, чтобы вы­пол­ня­лись сле­ду­ю­щие ра­вен­ства (при­чем все цифры не­ну­ле­вые и ис­поль­зу­ют­ся по од­но­му разу):

в)  Можно ли из цифр от 1 до 9 со­ста­вить такое де­вя­ти­знач­ное число, что число из двух его пер­вых цифр де­лит­ся на 2, из трёх пер­вых цифр  — де­лит­ся на 3 и так далее, а само число де­лит­ся на 9?

а)  В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4. Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

б)  В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны числа –1, 0 и 1 (каж­дое из этих чисел встре­ча­ет­ся хотя бы один раз). Рас­смот­рим во­семь сумм: суммы трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти суммы ока­зать­ся раз­лич­ны­ми?

в)  В клет­ках таб­ли­цы 3х3 рас­став­ле­ны де­вять раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Рас­смот­рим во­семь про­из­ве­де­ний: про­из­ве­де­ния трёх чисел в каж­дой стро­ке, каж­дом столб­це и по двум диа­го­на­лям. Могут ли все эти про­из­ве­де­ния ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми? 

а)  Среди 9 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая  — ее вес мень­ше, чем у на­сто­я­щих. Как при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту?

б)  Из­вест­но, что среди гирь до­сто­ин­ством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря от­ли­ча­ет­ся по весу от мар­ки­ров­ки, ука­зан­ной на ней. Можно ли при по­мо­щи двух взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь вы­де­лить «не­пра­виль­ную» гирю?

в)  Среди 12 монет оди­на­ко­во­го до­сто­ин­ства одна фаль­ши­вая  — ее вес от­ли­ча­ет­ся от веса на­сто­я­щих, но не­из­вест­но, легче она на­сто­я­щих или тя­же­лее. За какое наи­мень­шее число взве­ши­ва­ний на ча­шеч­ных весах без гирь можно вы­де­лить фаль­ши­вую мо­не­ту и при этом уста­но­вить, легче она или тя­же­лее на­сто­я­щих?

На­ту­раль­ные числа от 1 до 9 рас­пре­де­ле­ны на три груп­пы: в 1‐й груп­пе два числа, во 2‐й  — три и в 3‐й  — че­ты­ре.

а)  Могут ли про­из­ве­де­ния чисел в каж­дой груп­пе ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

б)  Могут ли суммы в каж­дой груп­пе ока­зать­ся оди­на­ко­вы­ми?

в)  Из чисел 1‐й груп­пы со­став­ле­но дву­знач­ное число А, из чисел 2‐й груп­пы со­став­ле­но трех­знач­ное число В, а из чисел 3‐й груп­пы со­став­ле­но че­ты­рех­знач­ное число С. Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать сумма A + В + С?

а)  Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

б)  Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние

в)  Ре­ши­те в на­ту­раль­ных чис­лах урав­не­ние

На доске за­пи­са­но число 2. Раз­ре­ша­ет­ся за­пи­сы­вать новые числа, при­ме­няя одну из опе­ра­ций:

1)  можно уве­ли­чить любое из за­пи­сан­ных чисел на 3;

2)  можно любое из за­пи­сан­ных чисел воз­ве­сти в квад­рат.

Можно ли в какой‐то мо­мент по­лу­чить на доске число:

а)  2015;

б)  2016?

в)  За какое наи­мень­шее число ходов можно по­лу­чить на доске число 2017?

Из целых чисел от 1 до 100 уда­ли­ли k чисел. Обя­за­тель­но ли среди остав­ших­ся чисел можно вы­брать k раз­лич­ных чисел с сум­мой 100, если

а)  k  =  9;

б)  k  =  8?

В по­сле­до­ва­тель­но­сти 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4, … каж­дый член, на­чи­ная с пя­то­го, равен по­след­ней цифре суммы пред­ше­ству­ю­щих четырёх чле­нов.

а)  Встре­тят­ся ли в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти еще раз под­ряд 4 цифры 2, 0, 0, 0?

б)  Встре­тят­ся ли в ней че­ты­ре под­ряд цифры 0, 0, 8, 2?

Пар­тия про­хо­дит в Думу, если по ре­зуль­та­там го­ло­со­ва­ния на­би­ра­ет более 6% го­ло­сов из­би­ра­те­лей. Для каж­дой такой пар­тии най­дут­ся две дру­гие пар­тии, каж­дая из ко­то­рых на­бра­ла мень­шее число го­ло­сов, но  сум­мар­но они на­бра­ли боль­ше го­ло­сов.

а)  Могут ли при­нять уча­стие в вы­бо­рах 6 пар­тий?

б)  Могут ли при­нять уча­стие в вы­бо­рах 5 пар­тий?

в)  Пусть m  — ко­ли­че­ство пар­тий, про­шед­ших в Думу, n  — ко­ли­че­ство пар­тий, не про­шед­ших в Думу. Най­ди­те мак­си­маль­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния m/n.

а)  Пусть p  — про­стое число, от­лич­ное от 3. До­ка­жи­те, что число 111…11 (p еди­ниц) не де­лит­ся на p.

б)  Пусть p > 5  — про­стое число. До­ка­жи­те, что число 111…11 (p  — 1 еди­ни­ца) де­лит­ся на p.

В вы­ра­же­нии 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 рас­ста­ви­ли скоб­ки так, что в ре­зуль­та­те вы­чис­ле­ний по­лу­чи­лось целое число. Каким

а)  наи­боль­шим; 

б)  наи­мень­шим может быть это число?

а)  На доске за­пи­са­ны числа: 4, 14, 24, ..., 94, 104. Можно ли сте­реть сна­ча­ла одно число из за­пи­сан­ных, потом сте­реть еще два, потом  — еще три, и, на­ко­нец, сте­реть еще че­ты­ре числа так, чтобы после каж­до­го сти­ра­ния сумма остав­ших­ся на доске чисел де­ли­лась на 11?

б)  В стро­ку вы­пи­са­но 23 на­ту­раль­ных числа (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). До­ка­жи­те, что между ними можно так рас­ста­вить скоб­ки, знаки сло­же­ния и умно­же­ния, что зна­че­ние по­лу­чен­но­го вы­ра­же­ния будет де­лить­ся на 2000 на­це­ло.

а)  Можно ли за­ну­ме­ро­вать рёбра куба на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми от 1 до 12 так, чтобы для каж­дой вер­ши­ны куба сумма но­ме­ров рёбер, ко­то­рые в ней схо­дят­ся, была оди­на­ко­вой? 

б)  Ана­ло­гич­ный во­прос, если рас­став­лять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 

а)  На доске за­пи­са­ны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Раз­ре­ша­ет­ся сте­реть любые два числа и вме­сто них за­пи­сать их раз­ность  — не­от­ри­ца­тель­ное число. Может ли на доске в ре­зуль­та­те не­сколь­ких таких опе­ра­ций остать­ся толь­ко число 15?

б)  Круг­лая ми­шень раз­би­та на 20 сек­то­ров, ко­то­рые ну­ме­ру­ют­ся по кругу в каком‐либо по­ряд­ке чис­ла­ми 1, 2, ..., 20. Если сек­то­ры за­ну­ме­ро­ва­ны, на­при­мер, в сле­ду­ю­щем по­ряд­ке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наи­мень­шая из раз­но­стей между но­ме­ра­ми со­сед­них (по кругу) сек­то­ров равна  12 – 9 = 3. Может ли ука­зан­ная ве­ли­чи­на при ну­ме­ра­ции в дру­гом по­ряд­ке быть боль­ше 3?

в)  Ка­ко­во наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние этой ве­ли­чи­ны? 

Как из­вест­но, шах­мат­ный конь ходит бук­вой «Г» (рис.) 

Конь рас­по­ло­жен в левой ниж­ней клет­ке шах­мат­ной доски 8х8 (поле А1). 

а)  Может ли конь ока­зать­ся в верх­ней пра­вой клет­ке  (на поле Н8), сде­лав при этом ровно 2015 ходов?   

б)  Может ли конь за 63 хода по­бы­вать в каж­дой из остав­ших­ся 63 кле­ток?

в)  За какое  наи­мень­шее число  ходов конь может  ока­зать­ся в верх­ней  пра­вой клет­ке (на поле Н8)?

а)  Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы семи по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел?  

б)  Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы шести по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел?

в)  Пред­ставь­те число 2016 в виде суммы наи­боль­ше­го ко­ли­че­ства по­сле­до­ва­тель­ных чётных на­ту­раль­ных чисел.

Опре­де­ли­те, имеют ли общие члены две по­сле­до­ва­тель­но­сти 

а)  3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…   

б)  5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…   

в)  Опре­де­ли­те, какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство общих чле­нов может быть у двух ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий  1; …; 100 и 9; …; 999,  если из­вест­но, что у каж­дой из них раз­ность яв­ля­ет­ся целым чис­лом, от­лич­ным от 1.

На каж­дой из 28 ко­стей до­ми­но на­пи­са­ны два целых числа, не мень­ших 0 и не боль­ших 6 так, что они об­ра­зу­ют все воз­мож­ные пары по од­но­му разу (0−0, 0−1, 0−2 и так далее до 6−6). 

Все кости до­ми­но раз­ло­жи­ли на не­сколь­ко кучек и для каж­дой кучки под­счи­та­ли сумму всех чисел на ко­стях, на­хо­дя­щих­ся в этой кучке. Ока­за­лось, что все по­лу­чен­ные суммы равны. 

а)  Могло ли быть 2 кучки? 

б)  Могло ли быть 5 кучек? 

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство кучек могло быть? 

а)  Какое наи­боль­шее число ладей можно по­ста­вить на шах­мат­ной доске так, чтобы ни­ка­кие две не били друг друга?                          

б)  На шах­мат­ной доске по­став­ле­ны во­семь ладей. Какое наи­боль­шее число кле­ток может ока­зать­ся не под боем этих ладей?                                                   

в)  На 64 лет­ках шах­мат­ной доски вы­пи­са­ны под­ряд числа от 1 до 64 (в верх­нем ряду слева на­пра­во числа от 1 до 8, во вто­ром ряду числа от 9 до 16 и т. д.) Во­семь ладей по­став­ле­ны так, что ни­ка­кие две не бьют друг друга. Под­счи­та­на сумма чисел, на­пи­сан­ных на тех вось­ми клет­ках, на ко­то­рых по­став­ле­ны ладьи. Най­ди­те все зна­че­ния, ко­то­рые может при­ни­мать эта сумма.

а)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2015 даёт в остат­ке 2014, а при де­ле­нии на 2016 даёт в остат­ке 2015?

б)  Су­ще­ству­ет ли на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 3 даёт в остат­ке 2, при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 4, а при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 6?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт в остат­ке 1, при де­ле­нии на 3 даёт в остат­ке 2, ..., при де­ле­нии на 9 даёт в остат­ке 8, при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 9.

а)  Можно ли пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник раз­ре­зать на па­рал­ле­ло­грам­мы?

б)  Можно ли пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник раз­ре­зать на тра­пе­ции?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее нечётное n, для ко­то­ро­го су­ще­ству­ет n-уголь­ник, ко­то­рый можно раз­ре­зать на па­рал­ле­ло­грам­мы.

Целые числа a₁, a₂, a₃, a₄ че­тырь­мя по­сле­до­ва­тель­ны­ми чле­на­ми ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. 

а)  Может ли раз­ность дро­бей и рав­нять­ся

б)  Может ли раз­ность дро­бей и рав­нять­ся

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные целые зна­че­ния раз­но­сти дро­бей и

Можно ли n по­пар­но раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел рас­по­ло­жить по кругу так, чтобы сумма любых двух со­сед­них чисел яв­ля­лась точ­ным квад­ра­том, если:

а)  n  =  3;

б)  n  =  4;

в)  n  =  5?

Рас­смат­ри­ва­ют­ся дроби вида где

а)  Может ли сумма не­сколь­ких по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида быть целым чис­лом?

б)  Может ли сумма двух раз­лич­ных дро­бей вида рав­нять­ся дроби вида

в)  Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида сумма ко­то­рых будет боль­ше 10.

Ре­ши­те в целых чис­лах урав­не­ние:

а)  

б)  

в)  

Может ли сумма че­ты­рех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида (где ):

а)  рав­нять­ся 1,3;    

б)  рав­нять­ся 1,001;   

в)  при­ни­мать зна­че­ние из ин­тер­ва­ла

Мно­го­знач­ное  число 123456789101112…9991000  по­лу­че­но  в  ре­зуль­та­те  по­сле­до­ва­тель­ной за­пи­си без про­бе­лов ты­ся­чи пер­вых на­ту­раль­ных чисел.  

а)  Какое  наи­боль­шее  ко­ли­че­ство  оди­на­ко­вых  цифр,  сто­я­щих  рядом,  со­дер­жит­ся  в  за­пи­си этого числа?  

б)  Сколь­ко всего цифр со­дер­жит­ся в за­пи­си дан­но­го числа?   

в)  Какая цифра в за­пи­си этого числа стоит на 2016‐м месте?

На  доске  за­пи­са­ны  два  на­ту­раль­ных числа: 672 и 560. За один ход раз­ре­ша­ет­ся любое из этих чисел за­ме­нить  мо­ду­лем их раз­но­сти либо умень­шить вдвое  (если число чётное).  

а)  Может ли через не­сколь­ко ходов на доске ока­зать­ся два оди­на­ко­вых числа?  

б)  Может ли через не­сколь­ко ходов на доске ока­зать­ся число 2?   

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое может ока­зать­ся на доске в ре­зуль­та­те вы­пол­не­ния таких ходов.

Целые числа x, y и z в ука­зан­ном по­ряд­ке об­ра­зу­ют гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию. 

а)  Могут ли числа  x + 3,  y²  и z + 5 об­ра­зо­вы­вать в ука­зан­ном по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?   

б)  Могут ли числа 5x,  y и 3z об­ра­зо­вы­вать в ука­зан­ном по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию?

в)  Най­ди­те  все  x,  y и z,  при  ко­то­рых числа  5x + 3,  y² и 3z + 5  будут  об­ра­зо­вы­вать  в ука­зан­ном по­ряд­ке ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

Име­ет­ся пять па­ло­чек с дли­на­ми 2, 3, 4, 5, 6. 

а)  Можно ли, ис­поль­зуя все па­лоч­ки, сло­жит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник?  

б)  Можно ли, ис­поль­зуя все па­лоч­ки, сло­жить пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник?  

в)  Какой наи­мень­шей пло­ща­ди можно сло­жить тре­уголь­ник, ис­поль­зуя все па­лоч­ки?  

(Раз­ла­мы­вать па­лоч­ки нель­зя.)

а)  Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния  на 5. 

б)  Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния  на 3. 

в)  Най­ди­те оста­ток от де­ле­ния  на 17.

Про на­ту­раль­ное пя­ти­знач­ное число N из­вест­но, что оно де­лит­ся на 12, и сумма его цифр де­лит­ся на 12.

А)  Могут ли все пять цифр в за­пи­си числа N быть раз­лич­ны­ми?

Б)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное число N;

В)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное число N;

Г)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство оди­на­ко­вых цифр может со­дер­жать­ся в за­пи­си числа N? Сколь­ко всего таких чисел N, со­дер­жа­щих в своей за­пи­си наи­боль­шее ко­ли­че­ство оди­на­ко­вых цифр?

А)  Может ли раз­ность квад­ра­тов двух на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся кубу на­ту­раль­но­го числа? 

Б)  Может ли раз­ность кубов двух на­ту­раль­ных чисел рав­нять­ся квад­ра­ту на­ту­раль­но­го числа? 

В)  Най­ди­те все про­стые числа, каж­дое из ко­то­рых равно раз­но­сти кубов двух про­стых чисел.

а)  Каж­дая точка плос­ко­сти окра­ше­на в один из двух цве­тов. Обя­за­тель­но ли на плос­ко­сти най­дут­ся две точки од­но­го цвета, уда­лен­ные друг от друга ровно на 1 м?

б)  Каж­дая точка пря­мой окра­ше­на в один из 10 цве­тов. Обя­за­тель­но ли на пря­мой най­дут­ся две точки од­но­го цвета, уда­лен­ные друг от друга на целое число мет­ров?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство вер­шин куба можно по­кра­сить в синий цвет так, чтобы среди синих вер­шин нель­зя было вы­брать три, об­ра­зу­ю­щие рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник?

В каж­дой клет­ке таб­ли­цы раз­ме­ром за­пи­са­ны числа от 1 до 9 (см рис.). За один ход раз­ре­ша­ет­ся к двум со­сед­ним чис­лам (клет­ки имеют общую сто­ро­ну) при­ба­вить одно и то же целое число.

а)  Можно ли таким об­ра­зом по­лу­чить таб­ли­цу, во всех клет­ках ко­то­рой будут оди­на­ко­вые числа?

б)  Можно ли таким об­ра­зом по­лу­чить таб­ли­цу, со­став­лен­ную из одной еди­ни­цы в цен­тре и вось­ми нулей?

в)  После не­сколь­ких ходов в таб­ли­це ока­за­лись во­семь нулей и какое‐то число N, от­лич­ное от нуля. Най­ди­те все воз­мож­ные N

а)  Су­ще­ству­ет ли ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 1080?     

б)  Су­ще­ству­ет  ли  де­ся­ти­знач­ное  на­ту­раль­ное  число,  про­из­ве­де­ние  цифр  ко­то­ро­го равно 1080?     

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 1080.

На­зо­вем на­ту­раль­ное число ин­те­рес­ным, если в его раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­те­ли каж­дый мно­жи­тель имеет не­чет­ную сте­пень (на­при­мер, число – ин­те­рес­ное).

а)  Может ли ин­те­рес­ное число окан­чи­вать­ся ровно че­тырь­мя ну­ля­ми?

б)  Су­ще­ству­ют ли три по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных числа, среди ко­то­рых нет ни од­но­го ин­те­рес­но­го?

в)  Чему равно наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных ин­те­рес­ных чисел?

Дан клет­ча­тый квад­рат раз­ме­ром 6 × 6.

а)  Можно ли этот квад­рат раз­ре­зать на де­сять по­пар­но раз­лич­ных клет­ча­тых мно­го­уголь­ни­ков?

б)  Можно ли этот квад­рат раз­ре­зать на один­на­дцать по­пар­но раз­лич­ных клет­ча­тых мно­го­уголь­ни­ков?

в)  На какое наи­боль­шее число по­пар­но раз­лич­ных клет­ча­тых пря­мо­уголь­ни­ков можно раз­ре­зать этот квад­рат?

На 22 кар­точ­ках на­пи­са­ны на­ту­раль­ные числа от 1 до 22.

а)  Из этих кар­то­чек взяли две (с чис­ла­ми а и b) и со­ста­ви­ли не­пра­виль­ную дробь Какое наи­мень­шее число могло по­лу­чить­ся?

б)  Из этих кар­то­чек со­ста­ви­ли 11 дро­бей. Могла ли их сумма иметь целое зна­че­ние?

в)  Из этих кар­то­чек со­ста­ви­ли 11 дро­бей. Какое наи­боль­шее число этих дро­бей могли иметь целое зна­че­ние?

Чук и Гек по­оче­ред­но из­вле­ка­ют из трех ящи­ков шары. Своим ходом каж­дый может взять из лю­бо­го ящика (но толь­ко из од­но­го) любое ко­ли­че­ство шаров. Вы­иг­ры­ва­ет тот, кто за­бе­рет по­след­ний шар. Кто из маль­чи­ков может обес­пе­чить себе по­бе­ду не­за­ви­си­мо от игры со­пер­ни­ка, если ко­ли­че­ство шаров в ящи­ках равно

а)  8, 9 и 9; 

б)  1, 2 и 3; 

в)  8, 9 и 10?

а)  Су­ще­ству­ет ли такое х, что зна­че­ния вы­ра­же­ний – целые числа?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое х, что зна­че­ния вы­ра­же­ний – целые числа?

в)  Су­ще­ству­ет ли такое х, что зна­че­ния вы­ра­же­ний – целые числа?

а)  Можно ли числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 раз­бить на две груп­пы с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел в этих груп­пах?

б)  Можно ли числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14 раз­бить на две груп­пы с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел в этих груп­пах?

в)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство чисел нужно ис­клю­чить из на­бо­ра 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы остав­ши­е­ся числа можно было раз­бить на две груп­пы с оди­на­ко­вым про­из­ве­де­ни­ем чисел в этих груп­пах? При­ве­ди­те при­мер та­ко­го раз­би­е­ния на груп­пы.

а)  Найти на­ту­раль­ное число n такое, чтобы сумма рав­ня­лась трех­знач­но­му числу, все цифры ко­то­ро­го оди­на­ко­вы.

б)  Сумма че­ты­рех чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, равна 1, а сумма кубов этих чисел равна 0,1. Найти эти числа.

Число при­ва­ти­зи­ро­ван­ных квар­тир в доме за­клю­че­но в пре­де­лах от 93,4 до 93,5 про­цен­тов от об­ще­го числа квар­тир. Ка­ко­во ми­ни­маль­но воз­мож­ное число квар­тир в таком доме?

За­да­ны числа: 1, 2, 3, ..., 99, 100. Можно ли раз­бить эти числа на три груп­пы так, чтобы:

а)  в каж­дой груп­пе сумма чисел де­ли­лась на 3.

б)  в каж­дой груп­пе сумма чисел де­ли­лась на 10.

в)  сумма чисел в одной груп­пе де­ли­лась на 102, сумма чисел в дру­гой груп­пе де­ли­лась на 203, а сумма чисел в тре­тьей груп­пе де­ли­лась на 304?

По­сле­до­ва­тель­ные не­чет­ные числа сгруп­пи­ро­ва­ны сле­ду­ю­щим об­ра­зом: (1); (3;5); (7;9;11);(13;15;17;19)...

а)  Найти сумму чисел в де­ся­той груп­пе;

б)  Найти сумму чисел в сотой груп­пе;

в)  Опре­де­лить среди пер­вых ста групп ко­ли­че­ство групп, в ко­то­рых сумма чисел де­лит­ся на 3.

а)  Найти ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа

б)  До­ка­зать, что число яв­ля­ет­ся со­став­ным.

в)  На­ту­раль­ное число X имеет в ка­че­стве про­стых де­ли­те­лей 5, 7. Найти все такие x, y ко­то­рых уде­ся­те­рен­ное число на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равно сумме ко­ли­честв на­ту­раль­ных де­ли­те­лей чисел

На­ту­раль­ное число х имеет оста­ток 5 при де­ле­нии на 8 и оста­ток 41 при де­ле­нии на 64.

а)  Найти оста­ток при де­ле­нии числа х на 32;

б)  Найти сумму таких чисел х, ко­то­рые при­над­ле­жат от­рез­ку [2000, 3000].

Взяли по­сле­до­ва­тель­ность пер­вых 15 на­ту­раль­ных чисел.

а)  Можно ли эти числа раз­бить на 5 групп так, что бы суммы чисел сто­я­щих в одной груп­пе имели раз­ные остат­ки при де­ле­нии на 5?

б)  Можно ли эти числа раз­бить на 7 групп так, что бы суммы чисел вхо­дя­щих в одну груп­пу имели раз­ные остат­ки при де­ле­нии на 7?

в)  Можно ли эти числа упо­ря­до­чить таким об­ра­зом, что бы суммы любых трех по­сле­до­ва­тель­ных чисел де­ли­лась на 5?

Перед  дро­бя­ми  рас­став­ле­ны знаки, либо «+», либо «‐». На­при­мер,  Обо­зна­чим по­лу­чен­ное число через S.

а)  Может ли S  =  0,45? 

б)  Может ли S  =  1? 

в)  Найти наи­мень­шее зна­че­ние  при всех воз­мож­ных S.

За­да­ны три бес­ко­неч­ных це­ло­чис­лен­ных воз­рас­та­ю­щих ариф­ме­ти­че­ских про­грес­сий, раз­ность ко­то­рых 3, 5 и 7, каж­дая из ко­то­рых со­дер­жит хотя бы одно от­ри­ца­тель­ное число. На­ту­раль­ное число «n» на­зо­вем хо­ро­шим, если оно при­над­ле­жит всем про­грес­си­ям.

а)  До­ка­зать, что су­ще­ству­ет хотя бы одно хо­ро­шее число.

б)  Можно ли утвер­ждать, что для любых про­грес­сий су­ще­ству­ет хо­ро­шее число на от­рез­ке [100; 200]?

в)  Можно ли утвер­ждать, что для любых про­грес­сий су­ще­ству­ет хо­ро­шее число на от­рез­ке [200; 400]?

На­зо­вем квад­рат­ное урав­не­ние с на­ту­раль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми a ,b и c «про­стым», если a ,b и c не имеют кроме 1, дру­гих общих де­ли­те­лей.

а)  Найти все зна­че­ния b , для ко­то­рых «про­стое» урав­не­ние имеет хотя бы одно целое ре­ше­ние,

б)  До­ка­жи­те, что «про­стое» урав­не­ние не имеет целых ре­ше­ний, если b крат­но 3,

в)  До­ка­жи­те, что если и не крат­но 3, най­дет­ся такое «с», что про­стое урав­не­ние имеет целое ре­ше­ние.

Дана по­сле­до­ва­тель­ность

а)  До­ка­жи­те, что при любом на­ту­раль­ном n верно ра­вен­ство

б)  Опре­де­ли­те, сколь­ко че­ты­рех­знач­ных чисел со­дер­жит эта по­сле­до­ва­тель­ность.

в)  Най­ди­те все члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, яв­ля­ю­щи­е­ся точ­ны­ми квад­ра­та­ми.

Дана по­сле­до­ва­тель­ность

а)  Най­ди­те два со­сед­них члена этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, раз­ность ко­то­рых равна 29700.

б)  Най­ди­те сумму всех n, при каж­дом из ко­то­рых 1033 < a_n < 1000033.

в)  Най­ди­те все члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, яв­ля­ю­щи­е­ся точ­ны­ми ку­ба­ми.

а)  Можно ли квад­рат раз­ме­ром 6х6 вы­ло­жить две­на­дца­тью плит­ка­ми сле­ду­ю­ще­го вида ?

б)  Можно ли квад­рат раз­ме­ром 6х6 вы­ло­жить де­вя­тью плит­ка­ми сле­ду­ю­ще­го вида?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство пли­ток сле­ду­ю­ще­го вида можно ис­поль­зо­вать для вы­кла­ды­ва­ния квад­ра­та раз­ме­ром 6х6?

Пусть S_n  — сумма п пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии (a_n). Из­вест­но, что

а)  Ука­жи­те фор­му­лу n‐го члена этой про­грес­сии.

б)  Най­ди­те наи­мень­шую по мо­ду­лю сумму

в)  Най­ди­те наи­мень­шее n, при ко­то­ром S_n будет квад­ра­том це­ло­го числа.

Мно­же­ство А со­сто­ит из всех про­стых чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 50, взя­тых по од­но­му разу.

а)  Можно ли эле­мен­ты мно­же­ства А раз­бить на пять групп, в каж­дой из ко­то­рых сумма чисел будет чис­лом чётным?

б)  Можно ли эле­мен­ты мно­же­ства А раз­бить на пять групп, в каж­дой из ко­то­рых сумма чисел будет чис­лом нечётным?

в)  На какое наи­боль­шее число групп можно раз­бить эле­мен­ты мно­же­ства А так, чтобы сумма чисел во всех груп­пах была оди­на­ко­ва?

Ва­си­лий Ку­зя­кин воз­вра­щал­ся из са­на­то­рия домой на по­ез­де. На пер­ро­не одной из ж/д стан­ций про­да­ва­ли варёных раков: боль­ших  — по 200 руб­лей за штуку, сред­них  — по 150 руб­лей за штуку и ма­лень­ких  — по 100 руб­лей за штуку. Ва­си­лий решил по­тра­тить на по­куп­ку раков по­след­ние пять тысяч руб­лей. Для себя он опре­де­лил, что не­пре­мен­но купит и боль­ших, и сред­них, и ма­лень­ких, причём их ко­ли­че­ства не будут от­ли­чать­ся более, чем на 2.

а)  Смо­жет ли Ва­си­лий при таких усло­ви­ях ку­пить раков ровно на 5000 руб­лей?

б)  Смо­жет ли Ва­си­лий при таких усло­ви­ях ку­пить 14 боль­ших раков?

в)  Какое наи­боль­шее число раков смо­жет ку­пить Ва­си­лий при таких усло­ви­ях?

а)  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния 

б)  До­ка­жи­те, что

в)  Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

а)   Пусть про­из­ве­де­ние вось­ми раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел равно А, а про­из­ве­де­ние этих же чисел, уве­ли­чен­ных на 1, равно В. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние

б)  Пусть про­из­ве­де­ние вось­ми на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) равно А, а про­из­ве­де­ние этих же чисел, уве­ли­чен­ных на 1, равно В. Может ли зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­нять­ся 210?

в)  Пусть про­из­ве­де­ние вось­ми на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных) равно А, а про­из­ве­де­ние этих же чисел, уве­ли­чен­ных на 1, равно В. Может ли зна­че­ние вы­ра­же­ния рав­нять­ся 63?

На доске за­пи­са­ны 20 чисел: пять еди­ниц, пять двоек, пять троек и пять чет­ве­рок. Эти числа раз­би­ва­ют на две груп­пы (в каж­дой груп­пе не менее од­но­го числа). Пусть сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел в пер­вой груп­пе равно А, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел во вто­рой груп­пе равно В.

а)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 20 чисел ока­зать­ся рав­ным ?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех 20 чисел ока­зать­ся мень­ше, чем ?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние вы­ра­же­ния

Дано дву­знач­ное на­ту­раль­ное число.

а)  Ока­за­лось, что част­ное этого числа и суммы его цифр, равно 7. Най­ди­те все такие числа.

б)  Какие на­ту­раль­ные зна­че­ния может при­ни­мать част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать част­ное дан­но­го числа и суммы его цифр?

На­ту­раль­ные числа от 1 до 12 раз­би­ва­ют на че­ты­ре груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть по край­ней мере два числа. Для каж­дой груп­пы на­хо­дят сумму чисел этой груп­пы. Для каж­дой пары групп на­хо­дят мо­дуль раз­но­сти по­лу­чен­ных сумм и по­лу­чен­ные 6 чисел скла­ды­ва­ют.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в)  Какое наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та?

Пусть S(N)  — сумма цифр на­ту­раль­но­го числа N.

а)  Может ли N + S(N) рав­нять­ся 96?

б)   Может ли N + S(N) рав­нять­ся 97?

в)  Най­ди­те все N, для ко­то­рых N + S(N)  =  2017.

а)  Могут ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ства где a₁, a₂, a₃, a₄  — целые числа?

б)  Могут ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ства где a₁, a₂,..., a₆, a₇  — целые числа?

в)  При каком наи­мень­шем но­ме­ре могут вы­пол­нять­ся ра­вен­ства где a₁, a₂,..., a_n  — целые числа?

На­зо­вем на­ту­раль­ное число па­лин­дро­мом, если в его де­ся­тич­ной за­пи­си все цифры рас­по­ло­же­ны сим­мет­рич­но (сов­па­да­ет пер­вая и по­след­няя цифры, вто­рая и пред­по­след­няя, и т. д. На­при­мер, числа 121 и 123321 яв­ля­ют­ся па­лин­дро­ма­ми.

а)  При­ве­ди­те при­мер числа‐па­лин­дро­ма, ко­то­рое де­лит­ся на 15

б)  Сколь­ко су­ще­ству­ет пя­ти­знач­ных чисел‐па­лин­дро­мов, де­ля­щих­ся на 15?

в)  Най­ди­те 37‐е по ве­ли­чи­не число‐па­лин­дром, ко­то­рое де­лит­ся 15.

По кругу по­са­же­ны 19 ку­стов лан­ды­шей.

а)  До­ка­жи­те, что обя­за­тель­но най­дут­ся два со­сед­них куста, общее ко­ли­че­ство ко­ло­коль­чи­ков на ко­то­рых чётно.

б)  Все­гда ли можно найти два со­сед­них куста, общее ко­ли­че­ство ко­ло­коль­чи­ков на ко­то­рых крат­но 3?

а)  Можно ли за­пи­сать точ­ный квад­рат, ис­поль­зо­вав по 10 раз цифры 1, 2, 3?

б)  Можно ли за­пи­сать точ­ный квад­рат, ис­поль­зо­вав по 10 раз цифры 2, 3, 6?

в)  Может ли сумма цифр точ­но­го квад­ра­та рав­нять­ся 1970?

а)  Может ли про­из­ве­де­ние двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел ока­зать­ся в 5 раз боль­ше, чем раз­ность этих чисел?

б)  Может ли про­из­ве­де­ние двух раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел ока­зать­ся в 5 раз боль­ше, чем раз­ность квад­ра­тов этих чисел?

в)  Най­ди­те все трех­знач­ные на­ту­раль­ные числа, каж­дое из ко­то­рых в 5 раз боль­ше, чем сумма по­пар­ных про­из­ве­де­ний его цифр.

На доске на­пи­са­но 30 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых боль­ше 10, но не пре­вос­хо­дит 50. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­пи­сан­ных чисел рав­ня­лось 17. Вме­сто каж­до­го из чисел на доске на­пи­са­ли число, в два раза мень­шее пер­во­на­чаль­но­го. Числа, ко­то­рые ока­за­лись мень­ше 6, стер­ли.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел боль­ше 17?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел боль­ше 19, но мень­ше 20?

в)  Най­ди­те мак­си­маль­но воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел, остав­ших­ся на доске.

Для за­пи­си двух на­ту­раль­ных чисел c и d (c < d) ис­поль­зу­ют две раз­лич­ные цифры, не рав­ные нулю, при­чем каж­дую из них ровно три раза. На­при­мер, могут быть за­пи­са­ны числа 17 и 7711.

а)  Может ли от­но­ше­ние рав­нять­ся

б)  Может ли от­но­ше­ние рав­нять­ся

в)  Най­ди­те мак­си­маль­ное зна­че­ние от­но­ше­ния

Даны 20 чисел: 2, 3, 4,…, 20, 21.

а)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство по­пар­но вза­им­но про­стых чисел можно вы­брать из при­ве­ден­ных 20 чисел?

б)  До­ка­жи­те, что если из при­ве­ден­ных 20 чисел вы­брать любые 12, то обя­за­тель­но най­дут­ся два числа, из ко­то­рых одно де­лит­ся на дру­гое.

в)  Пусть 20 при­ве­ден­ных чисел яв­ля­ют­ся со­от­вет­ствен­но дли­на­ми сто­рон 20 квад­ра­тов. Можно ли эти 20 квад­ра­тов раз­де­лить на две груп­пы так, чтобы суммы пло­ща­дей квад­ра­тов в этих груп­пах были бы оди­на­ко­вы­ми?

Может ли про­из­ве­де­ние цифр на­ту­раль­но­го числа быть:

а)  боль­ше 126 и мень­ше 130?

б)  боль­ше 731 и мень­ше 736?

в)  боль­ше 887 и мень­ше 894.

В слу­чае, если такие зна­че­ния су­ще­ству­ют, то в пунк­те «а» не­об­хо­ди­мо ука­зать хотя бы одно зна­че­ние, в пунк­тах «б» и «в» все зна­че­ния.

Для чле­нов по­сле­до­ва­тель­но­сти целых чисел a₁, a₂,..., a₆ при всех на­ту­раль­ных имеет место не­ра­вен­ство

а)  При­ве­ди­те при­мер такой по­сле­до­ва­тель­но­сти, для ко­то­рой a₁  =  0 и a₆  =  10.

б)  Су­ще­ству­ет ли такая по­сле­до­ва­тель­ность, для ко­то­рой a₁  =  a₃  =  a₆?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать a₂, если a₁  =  0 и a₆  =  1000?

Пусть K(n) обо­зна­ча­ет сумму квад­ра­тов всех цифр на­ту­раль­но­го числа n.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое трех­знач­ное число n, что K(n)  =  171?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое трех­знач­ное число n, что K(n)  =  172?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать вы­ра­же­ние 4K(n) − n, если n  — трех­знач­ное число?

Го­су­дар­ство Новая Ан­чу­рия рас­по­ло­же­но на ост­ро­ве, име­ю­щем форму круга. В стра­не 11 го­ро­дов, рас­по­ло­жен­ных на по­бе­ре­жье. Каж­дый город на­пря­мую со­еди­нен с каж­дым из осталь­ных го­ро­дов ав­то­трас­сой.

а)   Сколь­ко ав­то­трасс в го­су­дар­стве Новая Ан­чу­рия?

б)   После на­вод­не­ния не­сколь­ко ав­то­трасс в стра­не за­кры­ли на ре­монт. Могло ли ока­зать­ся так, что те­перь каж­дый город ост­ро­ва стал на­пря­мую со­еди­нен ав­то­трас­сой ровно с пятью дру­ги­ми го­ро­да­ми?

в)  Какое наи­боль­шее число ав­то­трасс в Новой Ан­чу­рии можно од­но­вре­мен­но за­крыть на ре­монт, чтобы из каж­до­го го­ро­да можно было до­брать­ся на ав­то­мо­би­ле до лю­бо­го дру­го­го?

Из­вест­но, что a, b, c, d  — по­пар­но раз­лич­ные на­ту­раль­ные числа, боль­шие 1.

а)   Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство ?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство ?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее и наи­боль­шее зна­че­ние суммы если из­вест­но, что

а)   Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы шести по­сле­до­ва­тель­ных нечётных на­ту­раль­ных чисел?

б)  Можно ли число 2016 пред­ста­вить в виде суммы шести по­сле­до­ва­тель­ных чётных на­ту­раль­ных чисел?

в)  Пред­ставь­те число 2016 в виде суммы наи­боль­ше­го ко­ли­че­ства по­сле­до­ва­тель­ных чётных на­ту­раль­ных чисел.

В те­че­ние чет­вер­ти учи­тель ста­вил школь­ни­кам от­мет­ки «1», «2», «3», «4» и «5». Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское от­ме­ток уче­ни­ка ока­за­лось рав­ным 4,7.

а)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство от­ме­ток могло быть у уче­ни­ка?

б)  Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство от­ме­ток могло быть у уче­ни­ка, если среди этих от­ме­ток есть от­мет­ка «1»?

в)  Учи­тель за­ме­нил че­ты­ре от­мет­ки «3», «3», «5» и «5» двумя от­мет­ка­ми «4». На какое наи­боль­шее число может уве­ли­чить­ся сред­нее ариф­ме­ти­че­ское от­ме­ток уче­ни­ка после такой за­ме­ны?

Из на­ту­раль­но­го числа вычли сумму его цифр, из по­лу­чен­но­го числа снова вычли сумму его (по­лу­чен­но­го числа) цифр и т. д.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

б)  Каким может быть пред­по­след­нее по­лу­чен­ное число, если в ре­зуль­та­те по­лу­чил­ся ноль?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные ис­ход­ные числа, если после один­на­дца­ти таких вы­чи­та­ний по­лу­чил­ся ноль.

а)  При­ве­ди­те при­мер та­ко­го двух­знач­но­го числа A, что по­след­ние цифры числа со­став­ля­ют число А.

б)  Может ли такое двух­знач­ное число А за­кан­чи­вать­ся на 1?

в)  Най­ди­те все такие трёхзнач­ные числа A, что по­след­ние три цифры числа со­став­ля­ют число А.

За­да­но число от 1 до n. За один ход можно вы­брать про­из­воль­ное под­мно­же­ство мно­же­ства чисел от 1 до n и спро­сить, при­над­ле­жит ли ему за­дан­ное число. При от­ве­те «да» будет на­чис­ле­но a бал­лов, при от­ве­те «нет»  — b бал­лов.

а)  Можно ли на­вер­ня­ка уга­дать число, по­лу­чив не менее 16 и не более 21 бал­лов, если

б)  Может ли n быть рав­ным 144, если из­вест­но, что число можно на­вер­ня­ка уга­дать, по­лу­чив не менее 11 бал­лов, и при этом

в)  Какую наи­мень­шую сумму бал­лов можно по­лу­чить, чтобы на­вер­ня­ка уга­дать число, если Пункт в) пе­ре­бор­ный, ре­ша­ет­ся при по­мо­щи ком­пью­те­ра.

Пусть n  — трёхзнач­ное число, а   — сумма квад­ра­тов его цифр.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что

б)  Су­ще­ству­ет ли такое n, что

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние от­но­ше­ния

а)  Чему равно мак­си­маль­ное зна­че­ние раз­но­сти трёхзнач­но­го числа и суммы кубов его цифр?

б)  Для ка­ко­го числа оно до­сти­га­ет­ся?

в)  Чему равно ми­ни­маль­ное зна­че­ние этой раз­но­сти?

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 про­из­воль­но делят на три не­пу­стые груп­пы. Затем вы­чис­ля­ют зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел в каж­дой из групп (для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу).

а)  Могут ли по­лу­чить­ся оди­на­ко­вы­ми два из этих трёх зна­че­ний сред­них ариф­ме­ти­че­ских в груп­пах из раз­но­го ко­ли­че­ства чисел?

б)  Могут ли по­лу­чить­ся оди­на­ко­вы­ми все три зна­че­ния сред­них ариф­ме­ти­че­ских?

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­ное воз­мож­ное зна­че­ние мак­си­маль­но­го из по­лу­ча­е­мых сред­них ариф­ме­ти­че­ских.

На доске было на­пи­са­но 20 на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 40. Вме­сто не­сколь­ких (воз­мож­но, од­но­го) из чисел на доске на­пи­са­ли числа, мень­шие пер­во­на­чаль­ных на 1. Числа, ко­то­рые после этого ока­за­лись рав­ны­ми 0, с доски стёрли.

а)  Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел на доске уве­ли­чить­ся после про­из­ведённой опе­ра­ции?

б)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел было равно 27. Могло ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся на доске чисел по­лу­чить­ся рав­ным 34?

в)  Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское пер­во­на­чаль­но на­пи­сан­ных чисел было равно 27. Най­ди­те мак­си­маль­ное воз­мож­ное зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го остав­ших­ся на доске чисел.

а)  При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, про­из­ве­де­ние цифр де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­ро­го в 10 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

б)  Су­ще­ству­ет ли такое четырёхзнач­ное число, про­из­ве­де­ние цифр де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­ро­го в 175 раз боль­ше суммы цифр этого числа?

в)  Най­ди­те все такие четырёхзнач­ные числа, про­из­ве­де­ние цифр де­ся­тич­ной за­пи­си ко­то­рых в 50 раз боль­ше суммы цифр этого числа.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 про­из­воль­но делят на три не­пу­стые груп­пы. Затем вы­чис­ля­ют зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го чисел в каж­дой из групп (для груп­пы из един­ствен­но­го числа сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно этому числу).

а)  Могут ли по­лу­чить­ся оди­на­ко­вы­ми два из этих трёх зна­че­ний сред­них ариф­ме­ти­че­ских в груп­пах из раз­но­го ко­ли­че­ства чисел?

б)  Могут ли по­лу­чить­ся оди­на­ко­вы­ми все три зна­че­ния сред­них ариф­ме­ти­че­ских?

в)  Най­ди­те ми­ни­маль­ное воз­мож­ное зна­че­ние мак­си­маль­но­го из по­лу­ча­е­мых сред­них ариф­ме­ти­че­ских.

За­ду­ман набор по­сле­до­ва­тель­ных (иду­щих под­ряд) на­ту­раль­ных чисел, сумма ко­то­рых боль­ше 231 и мень­ше 245.

а)  Может ли в на­бо­ре быть 13 чисел?

б)  Может ли в на­бо­ре быть 14 чисел?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел, ко­то­рые удо­вле­тво­ря­ют за­дан­но­му усло­вию, может быть в на­бо­ре?

На окруж­но­сти не­ко­то­рым об­ра­зом рас­ста­ви­ли на­ту­раль­ные числа от 4 до 30 (каж­дое число по­став­ле­но по од­но­му разу). Затем для каж­дой пары со­сед­них чисел нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го.

а)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 14?

б)  Могли ли все по­лу­чен­ные раз­но­сти быть не мень­ше 13?

в)  По­ми­мо по­лу­чен­ных раз­но­стей, для каж­дой пары чисел, сто­я­щих через одно, нашли раз­ность боль­ше­го и мень­ше­го. Для ка­ко­го наи­боль­ше­го це­ло­го числа k можно так рас­ста­вить числа, чтобы все раз­но­сти были не мень­ше k?

Стра­ни­цы тет­ра­ди про­ну­ме­ро­ва­ны на по­ли­гра­фи­че­ской фаб­ри­ке чис­ла­ми от 1 до 36. Де­воч­ка на слу­чай­ной стра­ни­це за­пи­сы­ва­ет 0 и ну­ме­ру­ет далее стра­ни­цы тет­ра­ди чис­ла­ми 1, 2, 3, … до конца тет­ра­ди без про­пус­ков, воз­вра­ща­ет­ся к стра­ни­це с 0 и, ли­стая стра­ни­цы тет­ра­ди назад, за­пи­сы­ва­ет числа −1, −2, −3, … до на­ча­ла тет­ра­ди без про­пус­ков. Сумма чисел, ко­то­рые за­пи­са­ла де­воч­ка на стра­ни­цах этой тет­ра­ди, равна S. Опре­де­ли­те, на какой стра­ни­це по фаб­рич­ной ну­ме­ра­ции де­воч­ка за­пи­са­ла число 0, если:

а)  S  =  18;

б)  S  =  630;

в)  S  =  450.

Бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия a₁, a₂, ..., a_n со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел.

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₇ ровно три числа де­лят­ся на 90?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, в ко­то­рой среди чисел a₁, a₂, ..., a₄₀ ровно 11 чисел де­лят­ся на 90?

в)  Для ка­ко­го наи­боль­ше­го на­ту­раль­но­го числа n могло ока­зать­ся так, что среди a₁, a₂, ..., a_3n боль­ше крат­ных 90, чем среди чисел a_3n + 1, a_3n + 2, ..., a_7n, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что раз­ность про­грес­сии равна 1?

а)  Урав­не­ния и имеют корни, ко­то­рые яв­ля­ют­ся це­лы­ми чис­ла­ми. Ко­эф­фи­ци­ен­ты урав­не­ний яв­ля­ют­ся на­ту­раль­ны­ми чис­ла­ми (не­обя­за­тель­но раз­лич­ны­ми). При­чем корни пер­во­го урав­не­ния равны кор­ням вто­ро­го. Ре­ши­те эти урав­не­ния.

б)  Най­ди­те квад­рат­ные урав­не­ния для ко­то­рых ко­эф­фи­ци­ен­ты a, b, c яв­ля­ют­ся кор­ня­ми.

в)  Три числа a, b, c от­лич­ны от нуля. Квад­рат­ные урав­не­ния

имеют общий ко­рень. Ре­ши­те эти урав­не­ния.

На­ту­раль­ное число на­зы­ва­ет­ся сво­бод­ным от квад­ра­тов, если оно не де­лит­ся ни на один квад­рат на­ту­раль­но­го числа, кроме 1. Со­ста­вим по­сле­до­ва­тель­ность {a_n}, со­сто­я­щую из чисел, сво­бод­ных от квад­ра­тов: пусть и для любых на­ту­раль­ных  n где a_i  — число, сво­бод­ное от квад­ра­тов.

а)  Может ли число, сво­бод­ное от квад­ра­тов, иметь 15 де­ли­те­лей?

б)  Чему равно n, если a_n  =  326?

в)  Чему равно a₁₀₀?

Трёхзнач­ное число А имеет k на­ту­раль­ных де­ли­те­лей (в том числе 1 и А).

а)  Может ли k быть равно 7?