Най­дем огра­ни­че­ния на Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что левая часть не­ра­вен­ства имеет смысл при одном усло­вии: оба вы­ра­же­ния и обя­за­ны быть по­ло­жи­тель­ны­ми. А это зна­чит, что каж­дое из вы­ра­же­ний: и долж­ны иметь оди­на­ко­вый знак: либо оба по­ло­жи­тель­ны, либо оба от­ри­ца­тель­ны. Такое усло­вие будет вы­пол­не­но, если будет вер­ным не­ра­вен­ство

Оце­ним Оче­вид­но, что т. е. для лю­бо­го

Сле­до­ва­тель­но, при любом зна­че­нии От­сю­да вывод: вы­ра­же­ние также обя­за­но быть от­ри­ца­тель­ным. По­след­нее усло­вие будет вы­пол­не­но, если имеет место не­ра­вен­ство Решим его:

Те­перь най­дем знак вы­ра­же­ния Выше было вы­яв­ле­но, что Это зна­чит, что

Ясно, что Сле­до­ва­тель­но,

Когда нам из­ве­стен знак каж­до­го из вы­ра­же­ний и мы впра­ве пе­ре­пи­сать за­дан­ное не­ра­вен­ство так:

Оно рав­но­силь­но це­поч­ке сле­ду­ю­щих не­ра­венств:

По­след­нее не­ра­вен­ство верно при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной x, так как

Итак, за­дан­ное не­ра­вен­ство верно при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях x, т. е при

Ответ:

Най­дем огра­ни­че­ния на

До­ка­жем, что при любом зна­че­нии

Если то

При функ­ция   — воз­рас­та­ю­щая как про­из­ве­де­ние двух воз­рас­та­ю­щих функ­ций, при­ни­ма­ю­щих толь­ко не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния. На этом про­ме­жут­ке не­пре­рыв­ная функ­ция при­мет наи­мень­шее зна­че­ние в точке 0, наи­боль­шее зна­че­ние  — в точке По­ка­жем, что упо­мя­ну­тое наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции будет мень­ше 4. Дей­стви­тель­но,

(оче­вид­ное не­ра­вен­ство).

Таким об­ра­зом,

За­ме­ча­ние: в целях устра­не­ния гро­мозд­ких за­пи­сей ре­ше­ние не­ра­вен­ства можно вести и так:

Решим две си­сте­мы:

1)  ##

2)  ##

Объ­еди­нив два по­лу­чен­ных ре­зуль­та­та, будем иметь:

Ответ:

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что при всех зна­че­ни­ях x, по­сколь­ку Сле­до­ва­тель­но,

Итак, ис­ко­мые зна­че­ния x:

Ответ:

Най­дем огра­ни­че­ния на x. Пре­жде за­ме­тим, что ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма по­ло­жи­тель­но при любом так как

По­ка­жем, что

(не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Итак, раз­ре­шен­ны­ми зна­че­ни­я­ми x яв­ля­ют­ся числа из про­ме­жут­ка Для таких x:

По­лу­чен­ное не­ра­вен­ство с уче­том огра­ни­че­ний на х решим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Ин­тер­ва­лы
Знак левой части не­ра­вен­ства с уче­том огра­ни­че­ний	+	−	+

Итак, ре­ше­ния ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

За­ме­тим, что при любом по­сколь­ку

Ана­ло­гич­но так как

Пе­ре­пи­шем за­дан­ное урав­не­ние так:

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную: пусть Тогда:

Так как то

Далее будем иметь:

Ре­ше­ни­я­ми не­ра­вен­ства яв­ля­ют­ся эле­мен­ты мно­же­ства

Ответ: