Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр BK из точки B к лучу Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KOB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем Ко­си­нус остро­го угла пря­мо­уголь­но­го равен от­но­ше­нию при­ле­жа­ще­го ка­те­та к ги­по­те­ну­зе. По­лу­ча­ем:

Ответ: 2.

При­ме­ча­ние.

На 2020 год это за­да­ние уда­ле­но из От­кры­то­го банка.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр BK из точки B к лучу OA. Тан­генс остро­го угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке равен от­но­ше­нию про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му. При­ни­мая во вни­ма­ние, что BK  =  OK, по­лу­чим:

Ответ: 1.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр BK из точки B к лучу OA. Из ра­вен­ства ка­те­тов по­стро­ен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KOB за­клю­ча­ем, что оба его ост­рых угла равны 45°. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый тан­генс равен 1.

При­ведём ещё одно ре­ше­ние.

Луч OB про­хо­дит ровно по диа­го­на­лям кле­ток квад­рат­ной ре­шет­ки. По­это­му он со­став­ля­ет с лучом ОА угол 45°. Тан­генс этого угла равен 1.

Про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр BK из точки B на про­дол­же­ние луча OA за точку А. Углы ВОА и ВОК смеж­ные, их си­ну­сы равны:

Тогда

Ответ: 1.

До­стро­им угол до тре­уголь­ни­ка OBA, OB  =  BA. BK делит ос­но­ва­ние OA по­по­лам, зна­чит, BK  — вы­со­та. Из ри­сун­ка на­хо­дим

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить и до­ка­зать, что рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABO яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тан­ген­сы равны 1.

Ещё один спо­соб: тан­генс ис­ко­мо­го угла можно найти по фор­му­ле тан­ген­са раз­но­сти через углы, тан­ген­сы ко­то­рых равны 3 и

Ответ: 1.

До­стро­им угол до тре­уголь­ни­ка Из ри­сун­ка на­хо­дим: Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой ко­си­ну­сов:

Тогда:

По­это­му угол равен 135°, а его тан­генс равен −1.

Ответ: −1.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пусть тогда и, сле­до­ва­тель­но,

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

От­ло­жим на про­дол­же­нии пря­мой BO за точку O от­ре­зок и про­ведём от­ре­зок За­ме­тим, что По­это­му тре­уголь­ник OKA  — пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны а тогда и