Аналитическое решение систем
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения a, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение системы может быть единственным в двух случаях.
1 случай. Единственное решение является граничной точкой для множества решений каждого из двух неравенств. В этом случае это единственное решение должно удовлетворять системе уравнений
Вычитая из второго уравнения первое, получаем:
Если 
то 
а значит, 
При этом значении a система принимает вид:
Единственное решение 
Если 
то 
и 
Система принимает вид:
При этом значении a система имеет бесконечно много решений.
2 случай. Одно из неравенств имеет единственное решение, удовлетворяющее другому неравенству.
Первое неравенство имеет единственное решение при
При этом первое неравенство имеет единственное решение 
которое удовлетворяет второму неравенству.
Второе неравенство имеет единственное решение при
При этом второе неравенство имеет единственное решение 
которое не удовлетворяет первому неравенству.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получены оба значения  но ответ содержит лишнее значение. | 3 |
С помощью верного рассуждения получено одно из значений  | 2 |
| Задача верно сведена к исследованию системы уравнений. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система
имеет ровно 
решений.
Запишем систему в виде
Полагая 
получим систему
имеющую то же количество решений. Кроме того, если пара чисел (u; y) — решение системы, то и пары чисел (u; −y), (−u; y), (−u; −y) также является решениями системы. Таким образом, если u ≠ 0 и y ≠ 0, то число решений кратно четырем. Значит, если система имеет ровно 6 решений, то либо 
либо 
Если u = 0, то 
следовательно, 
Система
имеет два решения: (0; 16), (0; −16), поэтому этот случай не подходит.
Если y = 0, то 
следовательно, 
Получаем систему:
Она имеет 6 решений, поскольку каждому значению y соответствует два разных значения u.
Ответ: 
Приведем идею графического решения.
Запишем систему в виде
Первое уравнение задает части двух парабол (см. рис.):
Второе уравнение задает окружность радиусом 
с центром 
На рисунке видно *, что шесть решений системы получаются, только если окружность проходит через точки 
и 
пересекая части параболы еще в четырех точках. При этом радиус окружности равен 
откуда 
или 
*) Докажем это. Рассмотрим на отрезке [–3; 5] функции:
и
Их графиками являются соответственно часть параболы и верхняя полуокружность с центром в точке (1; 0) радиусом |a|.
При любом значении параметра а справедливо следующее:
а) Графики функций симметричны относительно прямой x = 1, поскольку эта прямая является осью симметрии параболы, и центр окружности лежит на этой прямой.
б) Функции f и g не могут иметь больше четырех общих точек, поскольку уравнение 
имеет не больше четырех решений. Действительно,
а уравнение четвертой степени имеет не больше четырех корней.
в) Из пунктов а) и б) следует, что слева от прямой x = 1 графики функций имеют не более двух общих точек, и каждой общей точке графиков при 
соответствует симметричная относительно прямой x = 1 общая точка графиков.
При 
функции f и g обладают следующими свойствами:
г) Функции f и g в точке x = –3 принимают одно и то же значение, а потому точка (–3; 0) и симметричная ей точка (5; 0) являются общими точками графиков.
д) Правые касательные лучи к графикам в точке x = –3 составляют с осью абсцисс разные углы, поскольку касательный луч к окружности вертикален, а касательный луч к параболе — нет.
е) Из пунктов г) и д) следует, что на правой полуокрестности точки x = –3 график функции f лежит ниже графика функции g.
ё) В точке x = 1 график функции f лежит выше графика функции g (вершина параболы лежит над окружностью), поскольку 
ж) Из пунктов е) и ё) следует, что на интервале (–3; 1) графики функций f и g имеют общую точку, а потому имеют и симметричную ей относительно прямой x = 1 общую точку на интервале (1; 5).
з) Из пунктов б) и ж) следует, что графики функций f и g на отрезке [–3; 5] имеют четыре общие точки, а больше четырех общих точек быть не может.
и) Рассмотрим теперь функции −f и –g, их графики симметричны графикам функций f и g относительно оси абсцисс (на рисунке это парабола, вершина которой лежит ниже оси абсцисс, и нижняя полуокружность). Проводя аналогичные рассуждения получим, что при графики функций –f и –g имеют на отрезке [–3; 5] имеют ровно четыре общие точки.
к) Точки (–3; 0) и (5; 0) являются общими для графиков f и g и −f и –g, поэтому из пунктов з) и и) следует, что при система уравнений 
имеет ровно шесть решений.
Осталось показать, что прочие значения параметра не подходят. Оставим это читателю в качестве упражнения.
Примечание Дмитрия Гущина.
Обратим внимание читателя, что использовать графический способ решения задач можно только в том случае, когда «увиденные» на графиках свойства либо:
а) очевидны: например, окружность, заключающая вершину параболы, имеет с ней ровно две общие точки;
б) изучены в школьном курсе: например, прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, является касательной к ней;
в) напрямую следуют из изученного материала: квадратичная функция является выпуклой вверх или вниз (это доказывается путем устного взятия второй производной).
Если вы не можете в один-два шага устно объяснить какой-то снятый с рисунка факт, считать его доказанным нельзя. Скажем, невертикальную прямую, имеющую единственную общую точку с параболой, не следует без необходимости называть касательной: проверяющий ЕГЭ эксперт может посчитать это необоснованным. В таком случае на апелляции вам поможет, только если вы объясните, как быстро устно прийти к такому заключению или в каком учебнике упомянуто это свойство. Другой пример: на рисунке изображена окружность с центром, лежащим внутри параболы на ее оси, имеющая с параболой ровно две общие точки. По рисунку нельзя заключать, что эти точки являются точками касания. А потому и заключение, что при небольшом увеличении радиуса окружности точек пересечения станет четыре не будет обоснованным. Также из рисунка нельзя делать вывод о том, могут ли окружность и парабола иметь ровно три точки касания и т. д.
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
При каждом значении а решите систему 
Пары 
дающие решение системы, должны удовлетворять условиям
Из второго уравнения системы находим
Осталось заметить, что тогда
Уравнение 
при условиях 
и 
имеет при 
решение 
Тогда
и из полученной системы находим
Ответ: при 
решений нет, при 
| Критерии оценивания ответа на задание С5 | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
решений нет, при Определите все значения параметра а при каждом из которых система
имеет ровно два решения.
Для того чтобы данная система имела ровно два решения, уравнение 
(*) должно иметь корни, ровно два из которых удовлетворяют неравенству 
Положим 
Тогда уравнение (*) принимает вид 
Это уравнение имеет два различных положительных корня 
при 
Таким образом, 
откуда 
Поскольку 
а 
то 
а 
Неравенство 
при 
выполнено для всех 
поскольку левая часть неравенства больше 1, а правая — меньше 1. Таким образом, система имеет ровно два решения при 
откуда 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек. | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a. | 2 |
| Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет ровно четыре различных решения.
Решим второе уравнение системы.
При a = 0 исходная система имеет единственное решение — 
При 
при подстановке в первое уравнение системы 
получаются квадратные уравнения. Значит, исходная система уравнений имеет ровно 4 различных решения тогда и только тогда, когда каждое из этих уравнений имеет ровно два корня и пара чисел (1; 1) не является решением исходной системы.
При x = 1 получаем:
Это квадратное уравнение имеет ровно два корня при положительном дискриминанте:
При 
получаем:
Это квадратное уравнение имеет два корня при положительном дискриминанте:
получаем 
или 
Пара чисел (1;1) является решением исходной системы при 
то есть a = −3.
Таким образом, исходная система уравнений имеет ровно 4 решения при 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, возможно, отличающееся от искомого только включением точек  и/или  и при этом рассмотрен случай  | 3 |
С помощью верного рассуждения получены промежутки  и  возможно, c включением точек и/или  ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения. | 2 |
Верно рассмотрен хотя бы один и случаев решения и получен или промежуток  или два промежутка и  возможно, с включением граничных точек.ИЛИ Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения окружности и прямых (аналитически или графически). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх