Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 7 № 121193

 

Прямая y=3x минус 8 является касательной к графику функции 7x в степени 2 плюс bx минус 1. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.

Решение.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.


Прямая y= минус 5x плюс 8 является касательной к графику функции 28x в степени 2 плюс bx плюс 15. Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Условие касания графика функции y=f(x) и прямой y=kx плюс l задаётся системой требований:

\left \{ \begin{align} f'(x)=k, f(x)=kx плюс l. \end{alogn} .

В нашем случае имеем:

\left \{ \begin{align} 56x плюс b= минус 5, 28x в степени 2 плюс bx плюс 15= минус 5x плюс 8 \end{alogn} . равносильно \left \{ \begin{align} b= минус 5 минус 56x, 28x в степени 2 плюс ( минус 5 минус 56x)x плюс 15= минус 5x плюс 8 \end{alogn} . равносильно \left \{ \begin{align} b= минус 5 минус 56x, x в степени 2 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 . \end{alogn} .

 

По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x = 0,5, откуда b = −33.

 

Приведём другое решение.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение 28x в степени 2 плюс bx плюс 15= минус 5x плюс 8 должно иметь единственное решение, а значит, должен равняться нулю дискриминант уравнения 28x в степени 2 плюс (b плюс 5)x плюс 7=0. Найдем его:

D=(b плюс 5) в степени 2 минус 4 умножить на 7 умножить на 28 = (b плюс 5) в степени 2 минус 28 в степени 2 = (b плюс 5 плюс 28)(b плюс 5 минус 28)=(b плюс 33)(b минус 23).

Дискриминант обращается в нуль при b= минус 33 или b=23.

Проверим, положительны ли абсциссы точек касания при найденных значениях параметра. Для этого подставим их в уравнение 28x в степени 2 плюс (b плюс 5)x плюс 7=0. При b= минус 33 имеем:

28x в степени 2 минус 28x плюс 7=0 равносильно 4х в степени 2 минус 4x плюс 1=0 равносильно (2x минус 1) в степени 2 =0 равносильно x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

 

Аналогично при b=23 имеем:

28x в степени 2 плюс 28x плюс 7=0 равносильно 4х в степени 2 плюс 4x плюс 1=0 равносильно (2x плюс 1) в степени 2 =0 равносильно x= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 .

 

Точка касания имеет положительную абсциссу при b= минус 33.

 

Ответ: −33.


Аналоги к заданию № 119973: 120717 121211 121215 120719 120721 120723 120725 120727 120729 120731 ... Все