Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  дробь: чис­ли­тель: 5 ко­си­нус x плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 тан­генс x минус 3 конец дроби = 0.

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4 Пи , минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Дробь равна нулю, когда чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель от­ли­чен от нуля:

 дробь: чис­ли­тель: 5 ко­си­нус x плюс 4, зна­ме­на­тель: 4 тан­генс x минус 3 конец дроби = 0 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , тан­генс x не равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец си­сте­мы

Из урав­не­ния  ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби по­лу­ча­ем x = \pm арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k,k при­над­ле­жит Z .

За­ме­тим, что если  ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , то  синус x = \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та =\pm дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , тогда  тан­генс x = дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: ко­си­нус x конец дроби = \pm дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Сле­до­ва­тель­но, усло­вию  тан­генс x не равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби не удо­вле­тво­ря­ют зна­че­ния пе­ре­мен­ной, для ко­то­рых  ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби и  синус x = минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби од­но­вре­мен­но. По­это­му серия  минус арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k даёт по­сто­рон­ние корни, а серия  арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k даёт ре­ше­ния за­дан­но­го урав­не­ния (см. рис.). Таким об­ра­зом,

x = арк­ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k = Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2 Пи k,k при­над­ле­жит Z .

б)  При по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти отберём корни урав­не­ния, ле­жа­щие на от­рез­ке  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 4 Пи , минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­лу­чим x = минус 3 Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 2 Пи k:~k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус 3 Пи минус арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 505152: 505173 511396 513346 ... Все

Классификатор алгебры: Ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и его след­ствия
Методы алгебры: До­мно­же­ние на зна­ме­на­тель с учётом ОДЗ, Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния