Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 508500

Решите неравенство:  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим два случая.

Первый случай: x в квадрате больше 1.

 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше 2 минус x меньше или равно x в квадрате равносильно  система выражений  новая строка x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 0,  новая строка 2 минус x больше 0; конец системы . равносильно система выражений  новая строка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0,  новая строка x меньше 2. конец системы .

Откуда, учитывая условие x в квадрате больше 1, получаем: x меньше или равно минус 2 или 1 меньше x меньше 2.

Второй случай: 0 меньше x в квадрате меньше 1.

 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 2 минус x больше или равно x в квадрате равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно  минус 2 меньше или равно x меньше или равно 1.

Учитывая условие 0 меньше x в квадрате меньше 1, получаем:  минус 1 меньше x меньше 0 или 0 меньше x меньше 1.

Множество решений второго неравенства:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .

 

Приведём другое решение.

Перепишем правую часть неравенства:  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате .

Воспользуемся методом рационализации:

\begincases левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x минус x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно q1, 2 минус x больше 0. \endcases равносильно \begincases левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \geqslant0, x не равно q0, x не равно q\pm1, x меньше 2. \endcases равносильно совокупность выражений x\leqslant минус 2, минус 1 меньше x меньше 0,0 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше 2. конец совокупности .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · Прототип задания · · Видеокурс ЕГЭ 2023 · Курс Д. Д. Гущина ·
Николай Амелин 15.04.2017 17:38

А как же одз основания?

Если например вынести степень перед логарифмом, то основанием будет простo x.

Следовательно, x>0, x не равно 1, x<2.

Отсюда следует, что подходит только область от (0;1) и (1;2).

Александр Иванов

А с ним всё хорошо.

А Вы не выносите.

Не нужно делать неверные действия, а из них ошибочные выводы