Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 508506

Решите неравенство:  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка \dfrac1x плюс \dfrac2x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1.

Рассмотрим два случая. Первый случай: x в квадрате больше 1.

 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше x плюс 2 меньше или равно x в квадрате равносильно система выражений  новая строка x в квадрате минус x минус 2 больше или равно 0,  новая строка x плюс 2 больше 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка больше или равно 0,  новая строка x плюс 2 больше 0. конец системы .

 

Откуда, учитывая условие x в квадрате больше 1, получаем:  минус 2 меньше x меньше минус 1 или x больше или равно 2.

Второй случай: 0 меньше x в квадрате меньше 1.

 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно x плюс 2 больше или равно x в квадрате равносильно x в квадрате минус x минус 2 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2.

Итак, учитывая условие 0 меньше x в квадрате меньше 1, получаем:  минус 1 меньше x меньше 0 или 0 меньше x меньше 1.

Множество решений неравенства:  левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

 

Приведём другое решение.

Заметим, что исходное неравенство равносильно неравенству

 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби \leqslant0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате \leqslant0.

Применим метод рационализации к неравенству  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате :

 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка x в квадрате равносильно \begincases левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 минус x в квадрате правая круглая скобка \leqslant0, x в квадрате больше 0, x в квадрате не равно q1, x плюс 2 больше 0. \endcases равносильно \begincases левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка \leqslant0, x не равно q0, x не равно q\pm1, x больше минус 2. \endcases равносильно совокупность выражений минус 2 меньше x меньше минус 1, минус 1 меньше x меньше 0, 0 меньше x меньше 1, x\geqslant2. конец совокупности .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус 2; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2