Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 508508

Решите неравенство:  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: x конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: x в квадрате конец дроби правая круглая скобка меньше или равно 0.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка дробь: числитель: 2 минус x, знаменатель: x в квадрате конец дроби меньше или равно 0 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1.

Рассмотрим два случая.

а) x в квадрате больше 1.

 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 0 меньше 2 минус x меньше или равно x в квадрате равносильно система выражений  новая строка x в квадрате плюс x минус 2 больше или равно 0,  новая строка 2 минус x больше 0 конец системы . равносильно система выражений  новая строка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0,  новая строка x меньше 2. конец системы .

Откуда, учитывая условие x в квадрате больше 1, находим: x меньше или равно минус 2 или 1 меньше x меньше 2.

б) 0 меньше x в квадрате меньше 1.

 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка меньше или равно 1 равносильно 2 минус x больше или равно x в квадрате равносильно x в квадрате плюс x минус 2 меньше или равно 0 равносильно левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка меньше или равно 0 равносильно минус 2 меньше или равно x меньше или равно 1.

Учитывая условие 0 меньше x в квадрате меньше 1, получаем:  минус 1 меньше x меньше 0 или 0 меньше x меньше 1.

Множество решений неравенства:  левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1,2 правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность , минус 2 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка минус 1,0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0,1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1,2 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Методы алгебры: Метод интервалов