В школе 800 уче­ни­ков, из них 30%  — уче­ни­ки на­чаль­ной школы. Среди уче­ни­ков сред­ней и стар­шей школы 20% изу­ча­ют не­мец­кий язык. Сколь­ко уче­ни­ков в школе изу­ча­ют не­мец­кий язык, если в на­чаль­ной школе не­мец­кий язык не изу­ча­ет­ся?

При ра­бо­те фо­на­ри­ка ба­та­рей­ка по­сте­пен­но раз­ря­жа­ет­ся, и на­пря­же­ние в элек­три­че­ской цепи фо­на­ри­ка па­да­ет. На ри­сун­ке по­ка­за­на за­ви­си­мость на­пря­же­ния в цепи от вре­ме­ни ра­бо­ты фо­на­ри­ка. На го­ри­зон­таль­ной оси от­ме­ча­ет­ся время ра­бо­ты фо­на­ри­ка в часах, на вер­ти­каль­ной оси  — на­пря­же­ние в воль­тах.

Опре­де­ли­те по ри­сун­ку, какое на­пря­же­ние будет в цепи через 2 часа ра­бо­ты фо­на­ри­ка. Ответ дайте в воль­тах.

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке.

В клас­се 21 ше­сти­класс­ник, среди них два друга  — Митя и Петя. Класс слу­чай­ным об­ра­зом делят на три груп­пы, по 7 че­ло­век в каж­дой. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Митя и Петя ока­жут­ся в раз­ных груп­пах.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

В окруж­но­сти с цен­тром O AC и BD  — диа­мет­ры. Впи­сан­ный угол ACB равен 9°. Най­ди­те цен­траль­ный угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y  =  f(x). Пря­мая, про­хо­дя­щая через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, ка­са­ет­ся гра­фи­ка этой функ­ции в точке с абс­цис­сой 8. Най­ди­те

Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни υ  =  3 моль воз­ду­ха объeмом V₁  =  8 л, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха до ко­неч­но­го объeма V₂. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где α  =  5,75  — по­сто­ян­ная, а T  =  300 К  — тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха. Какой объeм V₂ (в лит­рах) ста­нет за­ни­мать воз­дух, если при сжа­тии газа была со­вер­ше­на ра­бо­та в 10 350 Дж?

Из го­ро­дов A и B, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 330 км, нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ля и встре­ти­лись через 3 часа на рас­сто­я­нии 180 км от го­ро­да B. Най­ди­те ско­рость ав­то­мо­би­ля, вы­ехав­ше­го из го­ро­да A. Ответ дайте в км/⁠ч.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В па­рал­ле­ле­пи­пе­де точка M се­ре­ди­на ребра C₁D₁, а точка K делит ребро AA₁ в от­но­ше­нии Через точки K и M про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мой BD и пе­ре­се­ка­ю­щая диа­го­наль A₁C в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит диа­го­наль A₁C в от­но­ше­нии

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью (АВС), если до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что ― куб.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На сто­ро­нах AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC вне тре­уголь­ни­ка по­стро­е­ны квад­ра­ты ACDE и BFKC. Точка M  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ния от точки M до цен­тров квад­ра­тов, если и

1 марта 2010 года Ар­ка­дий взял в банке кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 1 марта каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Ар­ка­дий пе­ре­во­дит в банк пла­теж. Весь долг Ар­ка­дий вы­пла­тил за 3 пла­те­жа, при­чем вто­рой пла­теж ока­зал­ся в два раза боль­ше пер­во­го, а тре­тий  — в три раза боль­ше пер­во­го. Сколь­ко руб­лей взял в кре­дит Ар­ка­дий, если за три года он вы­пла­тил банку 2 395 800 руб­лей?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

За­ду­ма­но не­сколь­ко на­ту­раль­ных чисел (не обя­за­тель­но раз­лич­ных). Эти числа и все их воз­мож­ные про­из­ве­де­ния (по 2 числа, по 3 числа и т. д.) вы­пи­сы­ва­ют на доску. Если какое-⁠то число n, вы­пи­сан­ное на доску, по­вто­ря­ет­ся не­сколь­ко раз, то на доске остав­ля­ют одно такое число n, а осталь­ные числа, рав­ные n, сти­ра­ют. На­при­мер, если за­ду­ма­ны числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет за­пи­сан набор 1, 3, 4, 9, 12, 36.

а)  При­ве­ди­те при­мер за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

б)  Су­ще­ству­ет ли при­мер таких за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор 2, 5, 10, 11, 22, 25, 55, 110, 275, 550?

в)  При­ве­ди­те все при­ме­ры пяти за­ду­ман­ных чисел, для ко­то­рых на доске будет за­пи­сан набор, наи­боль­шее число в ко­то­ром равно 91.