Хорда AB стя­ги­ва­ет дугу окруж­но­сти в 92°. Най­ди­те угол ABC между этой хор­дой и ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, про­ве­ден­ной через точку B. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Диа­го­на­ли ромба ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O и равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра

Через сред­нюю линию ос­но­ва­ния тре­уголь­ной приз­мы, объем ко­то­рой равен 32, про­ве­де­на плос­кость, па­рал­лель­ная бо­ко­во­му ребру. Най­ди­те объем от­се­чен­ной тре­уголь­ной приз­мы.

В слу­чай­ном экс­пе­ри­мен­те сим­мет­рич­ную мо­не­ту бро­са­ют три­жды. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что орел вы­па­дет ровно два раза.

Ве­ро­ят­ность того, что на те­сти­ро­ва­нии по био­ло­гии уча­щий­ся О. верно решит боль­ше 11 задач, равна 0,67. Ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит боль­ше 10 задач, равна 0,74. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те если

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x  — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t  — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). В какой мо­мент вре­ме­ни (в се­кун­дах) ее ско­рость была равна 2 м/⁠с?

Мо­то­цик­лист, дви­жу­щий­ся по го­ро­ду со ско­ро­стью υ₀  =  57 км/ч, вы­ез­жа­ет из него и сразу после вы­ез­да на­чи­на­ет раз­го­нять­ся с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем a  =  12 км/ч². Рас­сто­я­ние от мо­то­цик­ли­ста до го­ро­да, из­ме­ря­е­мое в ки­ло­мет­рах, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем где t  — время в часах. Опре­де­ли­те наи­боль­шее время, в те­че­ние ко­то­ро­го мо­то­цик­лист будет на­хо­дить­ся в зоне функ­ци­о­ни­ро­ва­ния со­то­вой связи, если опе­ра­тор га­ран­ти­ру­ет по­кры­тие на рас­сто­я­нии не далее чем в 30 км от го­ро­да. Ответ дайте в ми­ну­тах.

Два про­мыш­лен­ных филь­тра, ра­бо­тая од­но­вре­мен­но, очи­ща­ют ци­стер­ну воды за 30 минут. Опре­де­ли­те, за сколь­ко минут вто­рой фильтр очи­стит ци­стер­ну воды, ра­бо­тая от­дель­но, если из­вест­но, что он сде­ла­ет это на 25 минут быст­рее, чем пер­вый.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те зна­че­ние x, при ко­то­ром

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции   на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 9, а бо­ко­вое ребро SA  =  6. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём AK : KB  =  SM : MC  =  2 : 7. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на пря­мой SA.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро SB в от­но­ше­нии 2 : 7, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KM.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Миша и Маша по­ло­жи­ли в один и тот же банк оди­на­ко­вые суммы под 10% го­до­вых. Через год сразу после на­чис­ле­ния про­цен­тов Миша снял со сво­е­го счета 5000 руб­лей, а еще через год снова внес 5000 руб­лей. Маша, на­о­бо­рот, через год до­ло­жи­ла на свой счет 5000 руб­лей, а еще через год сразу после на­чис­ле­ния про­цен­тов сняла со счета 5000 руб­лей. Кто через три года со вре­ме­ни пер­во­на­чаль­но­го вло­же­ния по­лу­чит боль­шую сумму и на сколь­ко руб­лей?

В тре­уголь­ник ABC, в ко­то­ром длина сто­ро­ны AC мень­ше длины сто­ро­ны BC, впи­са­на окруж­ность с цен­тром O. Точка B₁ сим­мет­рич­на точке B от­но­си­тель­но CO.

а)  До­ка­жи­те, что A, B, O и B₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка AOBB₁, если AB  =  10, AC  =  6 и BC  =  8.

Най­ди­те все зна­че­ния а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень.

На доске на­пи­са­ны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход раз­ре­ша­ет­ся сте­реть про­из­воль­ные три числа, сумма ко­то­рых мень­ше 35 и от­лич­на от каж­дой из сумм троек чисел, стёртых на преды­ду­щих ходах.

а)  При­ве­ди­те при­мер по­сле­до­ва­тель­ных 5 ходов.

б)  Можно ли сде­лать 10 ходов?

в)  Какое наи­боль­шее число ходов можно сде­лать?