Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, равен  Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Век­тор  с кон­цом в точке B(5; 4) имеет ко­ор­ди­на­ты (3; 1). Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат точки

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Иг­раль­ный кубик бро­са­ют два­жды. Сколь­ко эле­мен­тар­ных ис­хо­дов опыта бла­го­при­ят­ству­ют со­бы­тию «А  =  сумма очков равна 5»?

В аэро­пор­ту два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют чай. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в пер­вом ав­то­ма­те за­кон­чит­ся чай, равна 0,3. Та­ко­ва же ве­ро­ят­ность, что чай за­кон­чит­ся во вто­ром ав­то­ма­те. Ве­ро­ят­ность того, что чай за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,13. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в одном из ав­то­ма­тов чай за­кон­чит­ся, а в дру­гом  — нет.

Ре­ши­те урав­не­ние

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции и ка­са­тель­ная к нему в точке с абс­цис­сой x₀. Най­ди­те зна­че­ние про­из­вод­ной функ­ции f(x) в точке x₀.

Скейт­бор­дист пры­га­ет на сто­я­щую на рель­сах плат­фор­му, со ско­ро­стью м/с под ост­рым углом к рель­сам. От толч­ка плат­фор­ма на­чи­на­ет ехать со ско­ро­стью (м/с), где кг  — масса скейт­бор­ди­ста со скей­том, а кг  — масса плат­фор­мы. Под каким мак­си­маль­ным углом (в гра­ду­сах) нужно пры­гать, чтобы разо­гнать плат­фор­му не менее чем до 0,25 м/⁠с?

Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Буб­ли­ков за 2003 год?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те a.

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BD₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ACB₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми AD₁C₁ и A₁D₁C.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Семья Ива­но­вых еже­ме­сяч­но вно­сит плату за ком­му­наль­ные услу­ги, те­ле­фон и элек­три­че­ство. Если бы ком­му­наль­ные услу­ги по­до­ро­жа­ли на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 35%. Если бы элек­три­че­ство по­до­ро­жа­ло на 50%, то общая сумма пла­те­жа уве­ли­чи­лась бы на 10%. Какой про­цент от общей суммы пла­те­жа при­хо­дит­ся на те­ле­фон?

Окруж­ность с цен­тром О₁ ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний ВС и AD и бо­ко­вой сто­ро­ны АВ тра­пе­ции ABCD. Окруж­ность с цен­тром O₂ ка­са­ет­ся сто­рон ВС, CD и AD. Из­вест­но, что АВ  =  10, ВС  =  9, CD  =  30, AD  =  39.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая О₁О₂ па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции АВСD.

б)  Най­ди­те О₁О₂.

При каких a урав­не­ние имеет ровно три корня?

Воз­рас­та­ю­щие ариф­ме­ти­че­ские про­грес­сии и со­сто­ят из на­ту­раль­ных чисел.

а)  Су­ще­ству­ют ли такие про­грес­сии, для ко­то­рых ?

б)  Су­ще­ству­ют ли такие про­грес­сии, для ко­то­рых ?

в)  Какое наи­боль­шее зна­че­ние может при­ни­мать про­из­ве­де­ние если ?