В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 15, а боковые ребра равны 16.
а) Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC.
Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8.
а) Докажите, что плоскость, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, делит ребро MC в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Отрезок BE пересекает плоскость MAC в точке 
В треугольнике MBD точка P является точкой пересечения медиан, следовательно, 
где O — центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен AC и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру 
— ребру MC), откуда 
Что и требовалось доказать.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 2. Точка N принадлежит ребру MC, причём MN : NC = 2 : 1.
а) Докажите, что прямые MC и BD перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B и N параллельно прямой AC.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 16.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, делит ребро MC в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Что и требовалось доказать.
В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной M стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 12.
а) Докажите, что плоскость, проходящей через точку С и середину ребра MA параллельно прямой BD, делит ребро MD в отношении 2 : 1, считая от вершины M.
б) Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
Отрезок CE пересекает плоскость 
в точке 
является точкой пересечения медиан, следовательно, 
где 
— центр основания пирамиды. Отрезок FG параллелен BD и проходит через точку P (точка F принадлежит ребру MB, G — ребру MD), откуда 
Что и требовалось знать.
— искомое сечение. Отрезок CE — медиана треугольника MAC, значит,
четырёхугольника CFEG перпендикулярны, следовательно,