1)Для того, чтобы построить сечение через прямую и перпендикулярно , нам необходимо опустить перпендикуляры из точек и на , их общая точка куда попадут перпендикуляры (из равенства боковых плоскостей следует, что высоты этих треугольников попадут в одну точку). Искомое сечение

2)Опустим в треугольнике высоту из вершины , она будет и медианой и биссектрисой, потому что треугольник равнобедренный (=)

3)Зная площадь сечения, найдем

4)По формуле медианы равностороннего треугольника, найдем

5)Треугольник прямоугольный с прямым углом (из построения). Найдем

6)По свойству медианы

7)По свойству прямоугольного треугольника :

Ответ:

Двугранный угол измеряется линейным углом, который находится, как угол между перпендикулярами, проведенными в каждой из плоскостей к общей линии пересечения. Построим в грани SCD апофему SL: так как пирамида SABCD правильная, то боковая грань является равнобедренным треугольником, поэтому апофема (являющаяся высотой) падает в середину стороны основания CD. В основании пирамиды проведем отрезок LK (K ∈ AB), перпендикулярный стороне CD (то есть параллельно сторонам AD и BC). Полученный угол ∠SLK является искомым линейным углом.

Из построения ясно, что стороны сечения DM и CN равны (отрезки, проведенные в равных треугольниках), полученное сечение является равнобедренной трапецией DMNC. Значит, чтобы найти ее площадь, удобнее всего найти ее основание MN и высоту PL.

Из формулы для объема пирамиды найдем высоту пирамиды:

Площадь основания S = 1² = 1.

Тогда из прямоугольного треугольника SOL по теореме Пифагора получим:

Из треугольника SKL по теореме косинусов получаем:

Далее, по свойству биссектрисы имеем SP : SL = KP : KL; обозначив SP за x, получим:

Значит SP = 0,9; PK = 0,6.

По теореме косинусов для треугольника SPL получаем, что , то есть

Теперь рассмотрим SAB: MN || AB, откуда (по 3-м углам).

Тогда , откуда

Итак, площадь сечения равна:

Ответ:

Для начала построим сечение PQR: проведем линию QP до пересечения с прямой AC (точка E). В плоскости грани ADC соединим точки E и R: линия ER пересечет сторону AD в точке S. Соединяя точки S, R, P и Q, получаем искомое сечение.

Предварительно найдем соотношения и длины некоторых сторон.

Рассмотрим плоскость ABC. В треугольнике BQP вычислим QP по теореме косинусов:

Теперь найдем угол BPQ (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Заметим, что как вертикальные, тогда можем найти угол AEP (на рисунке угол 2):

Вычислим синус угла 2:

По теореме синусов для треугольника APE:

Теперь рассмотрим плоскость ADC. Из треугольника CRE по теореме косинусов имеем:

Из этого же треугольника найдем угол CER (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Найдем синус угла ASE (на рисунке угол 2):

По теореме синусов для треугольника ASE:

Для дальнейшего решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы: Выразим векторы и через базисные:

где откуда,

Теперь найдем длины этих векторов (используя то, что , а также тот факт, что

Осталось вычислить скалярное произведение данных векторов:

Окончательно получаем:

Ответ:

Примечание Дмитрия Гущина.

Эту часть решения можно несколько сократить, применив теорему Менелая для тетраэдра: точки S, R, P и Q, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда В нашем случае: откуда то есть

Так как основание высоты падает в центр ромба основания, то мы получим два равнобедренных треугольника: ASC и BSD (так как отрезок SO является в них высотой и медианой).

Далее, построим искомое сечение: плоскость сечения пересекает плоскость (BSD) по линии, параллельной линии BD. Поэтому в треугольнике BSD через точку пересечения высоты SO и отрезка AM (точка P) проводим отрезок , точки N и K принадлежат сторонам SB и SD соответственно. Остается соединить точку K с точками A и M в плоскостях (ASD) и (SCD) соответственно; точку N с точками A и M в плоскостях (ASB) и (SBC) соответственно.

Покажем, что в полученном в сечении 4-угольнике диагонали AM и NK пересекаются под прямым углом. Рассмотрим наклонную прямую AM и ее проекцию AG на плоскость основания (ABC): так как ABCD — ромб, то , и по теореме о 3-х перпендикулярах А так как , то Значит, площадь данного сечения можно найти так:

Найдем стороны, необходимые для вычислений: ; по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABO найдем BO:

В равнобедренном треугольнике ASC медианы SO и AM делятся в отношении 2:1, считая от вершин S и A соответственно. Поэтому

В равнобедренном треугольнике BSD, отрезок NK отсекает подобный ему треугольник NSK (угол S — общий; , как соответственные). Поэтому , откуда

Рассмотрим далее выносной чертеж: треугольник ASC.

По условию , поэтому треугольник AMG — равнобедренный прямоугольный. Значит, AG = MG, тогда по теореме Пифагора Так как в треугольнике SOC отрезок MG параллелен SO и выходит из середины стороны SC, то MG является средней линией данного треугольника. Тогда , откуда получаем

Осталось посчитать площадь сечения:

Ответ:

Построение сечения.

Строим последовательно:

1. Отрезок KL,

2. Отрезок

3. Отрезок

4. Отрезок MN.

Докажем, что LMNK — искомое сечение.

Во-первых, LM || SA, KN || SA, следовательно, LM || KN. Поскольку через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость, то точки L, M, N, K принадлежат одной плоскости.

Во-вторых, SA || LM по построению, значит, SA || (LM); аналогично KL || BC (по построению), следовательно, BC || (LM).

Теперь докажем, что LMNK — прямоугольник.

Проведем биссектрису угла BAC. Очевидно, она пройдет через точку H, разделит отрезок BC на два равных отрезка (обозначим точку пересечения P), будет перпендикулярной к отрезку BC.

Соединим точки S и P отрезком.

Далее мы вправе утверждать, что при зеркальной симметрии относительно плоскости SA заданная пирамида перейдет сама на себя. Причем, вершины пирамиды A и S, точка P перейдут сами в себя, вершина В перейдет в вершину С и, наоборот, точка С перейдет в точку В. Так как KL || BC, то точки К и L перейдут друг в друга (по теореме Фалеса будет справедливым равенство АК : КС = АL : LB), кроме того, АС = АВ по условию. Аналогично и точки M и N перейдут друг в друга, поскольку при той же симметрии и перейдут друг на друга.

Тогда справедливы равенства: KN=LM, KM=LN.

Из равенства отрезков KN и LM, а также их параллельности (показано выше) следует, что четырехугольник LMNK — параллелограмм, А так как у него равны диагонали, то этот параллелограмм - прямоугольник.

Осталось вычислить площадь прямоугольника LMNK.

Так как — равносторонний, то

В где

Так как KL || BC, то Отсюда:

Из параллельности AS и ML следует, что

Ответ: