Многогранники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 1. Объем пирамиды равен Через сторону основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образованный боковой гранью SCD и основанием. Найдите площадь сечения.
Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC. Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45°. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и плоскостью основания равен сторона основания равна 1, SH — высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку H параллельно ребрам SA и BC.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной и углом А, равным
На ребрах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC, если высота призмы равна 4,5.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит квадрат со стороной 1. На плоскости основания имеется квадрат CDKM. В этот квадрат вписана окружность, которая является основанием цилиндра с высотой, равной длине отрезка AA1. Найдите расстояние от середины основания цилиндра до точки пересечения диагоналей параллелепипеда, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 2.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S на сторонах AB и AC выбраны точки M и K соответственно так, что треугольник AMK подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия На прямой MK выбрана точка E так, что ME : EK = 7 : 9. Найти расстояние от точки E до плоскости BSC, если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом А, равным 30°. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через меньший катет BC одного основания и середину гипотенузы
противоположного основания призмы, если расстояние между основаниями призмы равно расстоянию от вершины А до искомого сечения и равно 6.
В пирамиде объемом 18 в основании лежит равнобедренный треугольник
Боковая грань, проходящая через основание
равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости основания пирамиды. На ребре
отмечена точка
так, что прямая
образует угол
с плоскостью основания, а объем пирамиды
в два раза меньше объема пирамиды
Найти площадь сечения
если треугольник
равносторонний.
Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.
Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S, вдвое больше площади её основания.
а) Постройте это сечение;
б) Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.
В прямую призму ABCDA1B1C1D1, нижним основанием которой является ромб ABCD, а AA', BB', CC', DD' — боковые ребра, вписан шар радиуса 1.
а) Постройте плоскость, проходящую через вершины A, B, C'.
б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что
В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной, равной 3. Боковое ребро параллелепипеда равно 4. На ребре AA1 отмечена точка M так, что AM : A1M = 1 : 3.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMD1.
б) Найдите площадь полученного сечения.
На боковых ребрах правильной треугольной призмы
расположены точки
и М соответственно. Известно, что угол между прямыми
и АВ равен
а угол между прямым КМ и АС –
а) Постройте плоскость, проходящую через точки и М.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.
Плоскость пересекает боковые ребра SA и SB треугольной пирамиды SABC в точках K и L соответственно и делит объем пирамиды пополам
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если SK : SA = 2 : 3, SL : SB = 4 : 5.
б) В каком отношении эта плоскость делит медиану SN грани SBC?
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота PO равна а сторона основания равна 6. Из точки О на ребро PC опущен перпендикуляр ОН. Докажите, что прямая PC перпендикулярна прямой DH. Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани.
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра C1D1, точка P — середина ребра AD, точка M — середина ребра CC1.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M.
б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба рано 6.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD каждое ребро равно 12. На ребре PC отмечена точка K так, что PK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что линия пересечения плоскостей ABK и PCD параллельна плоскости ABC.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA = 6, а сторона основания Через вершину А перпендикулярно боковому ребру PC проведена плоскость.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.
а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна боковое ребро составляет с высотой угол
Плоскость
проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью
б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде SABC точка М — середина ребра SC, точка K — середина ребра AB.
а) Докажите, что прямая MK делит высоту SH пирамиды в отношении 1 : 3.
б) Найдите угол между прямой MK и плоскостью ABC, если известно, что AB = 6, SA = 5.
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро AA1 в такой точке M, что AM : A1M = 1 : 2.
б) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью основания призмы, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC = 8 и BD = 6.
а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми BD1 и AC, если известно, что боковое ребро призмы равно 12.
В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро равно 10, а сторона основания равна Через точки В и С перпендикулярно ребру проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит пирамиду PABC на два многогранника, объемы которых относятся как 2 : 3.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды PABC плоскостью α.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 8, BC = 6, AA1 = 12. Точка K — середина ребра AD, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 1 : 2.
а) Докажите, что прямая BD1 параллельна плоскости CKM.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью CKM.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 6, BC = 4, AA1 = 7. Точка P — середина ребра AB, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 2 : 5.
а) Докажите, что плоскость MPC делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 11.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости MPC.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC отмечена точка K.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ABK является трапецией.
б) Найдите угол, который образует плоскость ABK с плоскостью основания пирамиды, если известно, что PK : KC = 3 : 1.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре CC1 взята точка K так, что CK : KC1 = 1 : 4, а на ребре A1C1 взята точка M так, что A1M : MC1 = 1 : 2.
А) Определите, в каком отношении плоскость BKM делит ребро A1B1 призмы.
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью BKM.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка P — середина ребра СВ, точка K лежит на ребре CD так, что KD : KC = 1 : 2. Плоскость, проходящая через точки P, K и A1 пересекает ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что DM : D1M = 1 : 4.
б) Найдите угол между плоскостями PKA1 и ABC.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = BC = 8, BB1 = 6. Точка K — середина ребра BB1, точка P — середина ребра C1D1. Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD1;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.
Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку С и середину ребра АВ перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость α.
А) Докажите, что плоскость α делит ребро ВР в отношении 2 : 1, считая от точки В.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α если известно, что РА = 10, АС = 16.
В правильной треугольной пирамиде PABC (ABC — основание) M — точка пересечения медиан грани PBC.
а) Докажите, что прямая AM делит высоту РО пирамиды в отношении 3 : 1, считая от точки P.
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках А, В, M, P, ели известно, что AB = 12, PC = 10.
В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция с острым углом 45°. Боковые грани PABи PCD перпендикулярны основанию пирамиды.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что BC = 6, АD = 12, а объем пирамиды равен 27.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота РО в полтора раза больше, чем сторона основания.
а) Докажите, что через точку О можно провести такой отрезок KM с концами на сторонах AD и BC соответственно, что сечение PKM пирамиды будет равновелико основанию пирамиды.
б) Найдите отношение площади полной поверхности пирамиды PABMK к площади полной поверхности пирамиды PABCD.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Через центр верхнего основания призмы и середины двух ребер нижнего основания проведена плоскость β.
а) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью ABC.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью β, если известно, что ребро призмы равно 6.
Через ребро BC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 под углом 60° к плоскости ABC проведена плоскость α. Известно, что площадь сечения призмы плоскостью α равна а высота призмы равна 3.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро A1B1 в отношении 1 : 3, считая от точки B1.
б) Найдите объем меньшей части, отсекаемой от призмы ABCA1B1C1 плоскостью α.
В кубе АВСDA1B1C1D1 точка N — середина ребра BC, точка M лежит на ребре AB так, что MB = 2MA. Плоскость, проходящая через точки M и N параллельно прямой ВD1, пересекает ребро DD1 в точке K.
а) Докажите, что DK : D1K = 5 : 2.
б) Найдите расстояние от точки D1 до прямой MN, если известно, что ребро куба равно 12.
В правильной треугольной пирамиде PABC (P — вершина) точка K – середина AB, точка M — середина BC, точка N лежит на ребре АР, причем АN : NP = 1 : 3.
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки N, K, M, является равнобедренная трапеция.
б) Найдите угол между плоскостями NKM и ABC, если известно, что AB = 6, АР = 8.
В правильной треугольной пирамиде PABC к основанию ABC проведена высота РО. Точка K — середина СО.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки А, P и K делит ребро BC в отношении 1:4.
б) Найдите объем большей части пирамиды PABC, на которые ее делит плоскость APK, если известно, что
Треугольная призма ABCA1B1C1 с нижним основанием ABC и боковыми ребрами AA1, BB1, CC1 рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F, C, где точка E является серединой ребра AA1, точка F лежит на ребре BB1, причем BF : FB1 = 1 : 2.
а) Докажите, что объем части призмы ABCA1B1C 1, заключенный между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы составляет объема призмы.
б) Найдите угол между нижним основанием призмы и плоскостью сечения, если призма ABCA1B1C1 — правильная и все ее ребра равны между собой.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Найти площадь сечения, если расстояние от плоскости сечения до вершины A равно 1.
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и BC = 9. Высота пирамиды проходит через точку O пересечения диагоналей AC и BD основания и равна Точки E и F лежат на ребрах AB и AD соответственно, причем AE = 4, AF = 6. Найти площадь многогранника, полученного при пересечении пирамиды с плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной ребру AS.
В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами AB = AC = 5 и BC = 6. Ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды, если известно, что отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к ребру SA равно 2/7.
Треугольная пирамида ABCD пересекается с плоскостью P по четырехугольнику EFGH так, что вершины E и F лежат на ребрах AB и AC и длина отрезка EF равна 1. Известно, что плоскость P параллельна противоположным ребрам AD и BC, которые равны соответственно 4 и 2. Найти периметр четырехугольника.
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 6, ВС = 9. Высота пирамиды проходит через точку О пересечения диагоналей АС и BD основания и равна Точки Е и F лежат на ребрах АВ и AD соответственно, причем АЕ = 4, AF = 6.
а) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е и F параллельно ребру AS.
б) Найти площадь этого сечения.
На ребрах АА1, CC1, C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 расположены точки M, N и P так, что AM : AA1 = C1N : C1C = C1P : C1D1 = 4 : 5.
а) Постройте точку H пересечения плоскости MNP с прямой BC.
б) Найдите отношение BH : BC.
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды FABCD с основанием ABCD равны 7. Точки P, Q, R лежат на ребрах FA, AB и BC соответственно, причем FP = BR = 4, AQ = 3.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру FD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
В правильной четырехугольной пирамиде FABCD с основанием ABCD все ребра равны 5. Точки M, N лежат на ребрах BC и CD соответственно, причем СМ = 3, DN = 2.
Плоскость α проходит через точки M, N и параллельна прямой FC.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру AF.
б) Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью α.
В кубе ABCDAA1B1C1D1 на продолжении ребра BB1 отмечена точка P так, что PB : BB1 = 3 : 4. Через точки А и P параллельно прямой ВD1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DC в отношении 1 : 2.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если известно, что PB = 18.
В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — середина AB, точка K — середина BC. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC = 5, AC = 6.
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что каждая из плоскостей BDA1 и B1D1С перпендикулярна прямой AC1.
б) Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA1 и B1D1C, если известно, что отрезок диагонали AC1, заключенный между этими плоскостями, имеет длину
Через середину ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой ВD1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечением куба плоскостью α является правильный шестиугольник.
б) Найдите угол между плоскостями α и ABC.
Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 служит параллелограмм ABCD. Точка P — середина ребра AB.
а) Докажите, что отношение объёмов многогранников, на которые разбивает призму плоскость PCD1, равно 7 : 17.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью PCD1, если известно, что AB = 8, AD = 3, AA1 = 4, ∠BAD = 120°.
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка P — середина ребра A1B1, точка M — середина ребра A1C1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью BPM проходит через точку C.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость BPM разбивает данную призму, если известно, что AB = 6, AA1 = 4.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре DD1 отмечена точка O так, что
а) Докажите, что объём данной призмы в 4,5 раза больше, чем объём пирамиды OABB1A1.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды OABB1A1, если известно, что AB = 1, DD1=3.
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AA1 = 7, AB = 16, AD = 6. Точка K — середина ребра C1D1.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.
б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором
Расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит отрезок BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M — середина ребра AB, точка O — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.
В кубе ABCDA1B1C1D1точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ : В1М = 1 : 3. Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ = 12.
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 АВ = 2, АD = 1, АА1 = 3. Точка К лежит на ребре СС1 так, что СK : С1K = 5 : 4.
а) Докажите, что прямые DB1 и D1K перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости KА1D.
В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = 4, Известно, что боковая грань SBC перпендикулярна основанию АВС, SB = SC, а высота пирамиды, проведенная из точки S, равна 112 . На ребрах SB и SC отмечены соответственно точки К и Р так, что ВК : SK = CP : SP = 1 : 3.
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью АРК является прямоугольный треугольник.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды, на которые её делит плоскость АРК.
Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку В перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке К.
а) Докажите, что прямые ВК и АС перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.
В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна основанию, BD = DC.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ВС перпендикулярно ребру AD.
б) Найдите объём пирамиды BCМD, где М — точка пересечения ребра АD и плоскости
сечения, если сторона основания пирамиды ABCD равна а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под углом
Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB равен .
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребре С1D1 взята точка К так, что КС1 = 3КD1.
а) Докажите, что плоскость АСК делит диагональ BD1 в отношении 4 : 1, считая от точки В.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости АСК, если известно, что АВ = 4, ВС = 3, СС1 = 2.
В правильной пирамиде PABCD на ребрах АВ и РD взяты точки М и К соответственно, причем АМ : ВМ = 1 : 3, DK : РК = 4 : 3.
а) Докажите, что прямая ВР параллельна плоскости МСК.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью МСК, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.
В правильной треугольной пирамиде SABC точка К — середина ребра АВ. На ребре SC взята точка М так, что SM : СМ = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая МК пересекает высоту SО пирамиды в её середине.
б) Найдите расстояние между прямыми МК и АС, если известно, что АВ = 6, SA = 4.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС = 4, СС1 = 8. Точка К — середина ребра АВ, точка М — середина ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD1 так, что DP : PD1 = 3 : 5.
а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ1.
б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной — точка D.
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К — середина ребра АВ.
а) Докажите, что плоскость СКD1 делит объем параллелепипеда в отношении 7 : 17.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости СКD1, если известно, что ребра АВ, АD и АА1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.
На боковых ребрах EA, EB, EC правильной четырехугольной пирамиды ABCDE расположены точки M, N, K соответственно, причем EM : EA = 1 : 2, EN : EB = 2 : 3, EK : EC = 1 : 3 .
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка О1 — центр квадрата АВСD, точка О2 — центр квадрата СС1D1D.
а) Докажите, что прямые А1О1 и В1О2 — скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми А1О1 и В1О2, если ребро куба равно 2.
Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Высота пирамиды проходит через середину ребра AC, а боковая грань ACD — равносторонний треугольник.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC и произвольную точку M ребра AD, — прямоугольный треугольник.
б) Найдите расстояние от вершины D до этой плоскости, если M — середина ребра AD, а высота пирамиды равна 6.
На боковых ребрах DB и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки М и N так, что ВМ = MD и CN : ND = 2 : 3. Через вершину А основания пирамиды и точки М и N проведена плоскость α, пересекающая медианы боковых граней, проведенные из вершины D, в точках К, R и Т.
а) Докажите, что площадь треугольника KTR составляет 5/22 от площади сечения пирамиды плоскостью α.
б) Найти отношение объемов пирамид KRTC и ABCD.
В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD , в которой ВС||AD и AD : BC = 2. Через вершину Т пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке М такой, что АМ : MB = 2. Площадь получившегося сечения равна 10, а расстояние от ребра ВС до плоскости сечения равно 4.
а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7 : 20.
б) Найдите объем пирамиды.
В правильной шестиугольной пирамиде PABCDEF боковое ребро наклонено к основанию под углом
а) Докажите, что плоскости АРВ и DPE перпендикулярны.
б) Найдите отношение радиуса сферы, касающейся всех граней пирамиды, к радиусу сферы, проходящей через все вершины пирамиды.
Основанием пирамиды FABCD является квадрат ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды лежит на отрезке АС и делит его в отношении AO : OC = 4 : 1. Угол ADF равен 90°.
а) Докажите, что ребро FC перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
б) Найдите разность объемов пирамид FABCD и EABD, если известно, что АВ = 1.
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна а высота СС1 равна 7,5. На ребре B1C1 отмечена точка Р так, что B1P:PC1 = 1 : 3. Точки Q и М являются серединами сторон АВ и A1C1 соответственно. Плоскость α параллельна прямой АС и проходит через точки Р и Q.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра АВ = 6, AD = 12, AA1 = 10. Точка Е принадлежит отрезку BD, причем ВЕ : ED = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки А, Е и середину ребра ВВ1.
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите расстояние от точки В1 до плоскости сечения.
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со стороной АВ = 4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды. Плоскость α, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает ребро SA в точке М, причем SM : MA = 1 : 2.
а) Докажите, что SA перпендикулярно α.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.
В основании треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник АВС, где АВ = ВС = 5, АС = 6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом, синус которого равен
а) Постройте сечение, проходящее через центр описанной окружности основания и перпендикулярное прямой BD
б) Найдите расстояние от прямой BD до прямой АС.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD (ВС < АD), в которой АВ = 5, CD = 4, ВС = 6. Через точку С и середину ребра ВВ1 параллельно B1D проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро АА1 в такой точке Р, что А1Р = 3АР.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, основанием которой служит сечение призмы плоскостью β, если известно, что ВВ1 = 16.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD, причем AB = BD.
Точки М и N — середины ребер В1С1 и АВ соответственно.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью MND1 — многоугольник с прямым углом при вершине D1.
б) Найдите площадь указанного сечения, если AB = 8, AA1 =
На ребрах NN1 и KN куба KLMNK1L1M1N1 отмечены такие точки P и Q, что Через точки M1, P, Q проведена плоскость.
а) Докажите, что плоскость делит объем куба в отношении 61 : 89
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости сечения, если ребро куба равно 3.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 5, AD = 6, AA1 = 8, точка К — середина ребра DD1.
а) Докажите, что прямые ВС и КС1 перпендикулярны.
б) Найдите отношение объемов, на которые делится прямоугольный параллелепипед плоскостью ВКС1.
В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D.
а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD.
б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что
В основании SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.
б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.
Пройти тестирование по этим заданиям
Здравствуйте, объясните пожалуйста откуда взялась точка O?
Добрый день, О - точка пересечения медиан.