СДАМ ГИА






Каталог заданий. Многогранники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1

В  пра­виль­ной  тре­уголь­ной  пи­ра­ми­де  с  вер­ши­ной  сто­ро­на  ос­но­ва­ния равна .  Через  пря­мую    про­ве­де­но  се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­ное ребру , пло­щадь ко­то­ро­го равна 18. Найти длину бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 505330
Показать решение

2

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1. Объем пи­ра­ми­ды равен Через сто­ро­ну ос­но­ва­ния CD про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое делит по­по­лам дву­гран­ный угол, об­ра­зо­ван­ный бо­ко­вой гра­нью SCD и ос­но­ва­ни­ем. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

За­да­ние 0 № 505587


Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 40.
3

Каж­дое из ребер тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что Плос­кость PQR пе­ре­се­ка­ет пря­мую AD в точке S. Найти ве­ли­чи­ну угла между пря­мы­ми SP и SQ.

За­да­ние 0 № 505599


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.
4

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит ромб ABCD со сто­ро­ной 1. Длина диа­го­на­ли AC ромба равна 1,5. Ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с цен­тром ромба и ее длина в 1,5 раза боль­ше длины AC. Через точку A и се­ре­ди­ну ребра SC про­ве­де­на се­ку­щая плос­кость, об­ра­зу­ю­щая с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды угол 45°. Ка­ко­ва пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью?

За­да­ние 0 № 505605


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.
5

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S угол между бо­ко­вым реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 1, SH — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку H па­рал­лель­но реб­рам SA и BC.

За­да­ние 0 № 505617


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 45.
6

В кубе ABCDA1B1C1D1 плос­кость про­хо­дит через пря­мую A1B1 и се­ре­ди­ну ребра DD1. Найти рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ребра DC до плос­ко­сти, если ребро куба равно 4.

За­да­ние 0 № 505683


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 55.
7

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со сто­ро­ной и углом А, рав­ным На реб­рах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми EFG и ABC, если вы­со­та приз­мы равна 4,5.

За­да­ние 0 № 505689


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 56.
8

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD точка M — се­ре­ди­на ребра PA, точка K — се­ре­ди­на ребра PB. Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны A до плос­ко­сти CMK, если PC = 6, AB = 4.

За­да­ние 0 № 505701


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 58.
9

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме все ребра ко­то­рой равны, точка — се­ре­ди­на Най­ди­те угол между плос­ко­стью и плос­ко­стью где — се­ре­ди­на

За­да­ние 0 № 505839


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 1.
10

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма , сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны . Най­ди­те угол между пря­мы­ми и , если сумма длин всех сто­рон обеих ос­но­ва­ний равна .

 

За­да­ние 0 № 505845


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 2.
11

Дан куб c реб­ром, рав­ным 4. Пусть точка лежит на сто­ро­не так, что Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти , где — се­ре­ди­на

За­да­ние 0 № 505859


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 3.
Показать решение

12

Дан еди­нич­ный куб Пусть точка — се­ре­ди­на Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки до пря­мой

За­да­ние 0 № 505865


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.
13

Сфера с цен­тром в точке впи­са­на в пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед Най­ди­те угол между пря­мы­ми и где — се­ре­ди­на

За­да­ние 0 № 505871


Раздел: Алгебра
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 5.
14

Дан пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA1B1C1D1, в ос­но­ва­нии ко­то­ро­го лежит квад­рат со сто­ро­ной 1. На плос­ко­сти ос­но­ва­ния име­ет­ся квад­рат CDKM. В этот квад­рат впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая яв­ля­ет­ся ос­но­ва­ни­ем ци­лин­дра с вы­со­той, рав­ной длине от­рез­ка AA1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от се­ре­ди­ны ос­но­ва­ния ци­лин­дра до точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ле­пи­пе­да, если рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и B1D1 равно 2.

За­да­ние 0 № 505877


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.
15

Дан куб c реб­ром 5 см. Точка дви­жет­ся по сто­ро­нам квад­ра­та со ско­ро­стью 1см/с, стар­туя из точки . Дви­га­ясь в на­прав­ле­нии точка через 7 се­кунд оста­но­ви­лась. Найти угол между плос­ко­стью и плос­ко­стью где — се­ре­ди­на

За­да­ние 0 № 505883


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 7.
16

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Найти рас­сто­я­ние между пря­мы­ми и

За­да­ние 0 № 505895


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 9.
17

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с пря­мым углом и ги­по­те­ну­зой Найти рас­сто­я­ние от точки до пря­мой если точка — се­ре­ди­на ребра ко­то­рое равно

За­да­ние 0 № 505907


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 11.
18

В кубе с реб­ром 1 на ребре и вы­бра­ны точки и со­от­вет­ствен­но так, что а Найти рас­сто­я­ние между пря­мы­ми и

За­да­ние 0 № 505913


Раздел:
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 12.
19

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми и

За­да­ние 0 № 505919


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 13.
20

К диа­го­на­ли куба про­ве­ли пер­пен­ди­ку­ля­ры из се­ре­дин ребер AB и AD. Най­ди­те угол между этими пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми.

За­да­ние 0 № 505925


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 14.
21

Диа­го­наль куба слу­жит реб­ром дву­гран­но­го угла, грани ко­то­ро­го про­хо­дят через вер­ши­ны и Най­ди­те ве­ли­чи­ну этого угла.

За­да­ние 0 № 505931


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 15.
22

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной на сто­ро­нах и вы­бра­ны точки и со­от­вет­ствен­но так, что тре­уголь­ник по­до­бен тре­уголь­ни­ку с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия На пря­мой вы­бра­на точка так, что Найти рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 6, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна

За­да­ние 0 № 505937


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.
23

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де с вер­ши­ной , со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной и бо­ко­вым реб­ром 5 найти угол между пря­мой и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны и и вер­ши­ну .

За­да­ние 0 № 505943


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 17.
24

Точки — се­ре­ди­ны ребер и со­от­вет­ствен­но куба Найти угол между пря­мой и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой .

За­да­ние 0 № 505949


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 18.
25

В пра­виль­ной приз­ме со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной и вы­со­той, рав­ной 2, про­ве­де­но се­че­ние через пря­мую ко­то­рое делит приз­му на 2 мно­го­гран­ни­ка рав­ных объ­е­мов. Найти пло­щадь се­че­ния.

За­да­ние 0 № 505961


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 20.
26

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ост­рым углом , рав­ным 30 гра­ду­сам. Найти пло­щадь се­че­ния приз­мы, про­хо­дя­ще­го через мень­ший катет ниж­не­го ос­но­ва­ния и се­ре­ди­ну ги­по­те­ну­зы верх­не­го ос­но­ва­ния, если рас­сто­я­ние между ос­но­ва­ни­я­ми приз­мы равно рас­сто­я­нию от вер­ши­ны до ис­ко­мо­го се­че­ния и равно 6.

За­да­ние 0 № 505967


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 21.
27

В пи­ра­ми­де объ­е­мом 18 в ос­но­ва­нии лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник Бо­ко­вая грань, про­хо­дя­щая через ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. На ребре от­ме­че­на точка так, что пря­мая об­ра­зу­ет угол с плос­ко­стью ос­но­ва­ния, а объем пи­ра­ми­ды в два раза мень­ше объ­е­ма пи­ра­ми­ды Найти пло­щадь се­че­ния если тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний.

За­да­ние 0 № 505979


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 23.
28

Точка — се­ре­ди­на сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы Бо­ко­вое ребро приз­мы равно а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 12. Най­ди­те синус угла между пря­мой и плос­ко­стью бо­ко­вой грани

За­да­ние 0 № 505991


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 25.
29

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де от­но­ше­ние бо­ко­во­го ребра к вы­со­те пи­ра­ми­ды равно 2. Най­ди­те от­но­ше­ние ра­ди­у­са впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара к сто­ро­не ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 506009


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 28.
30

Пра­виль­ную че­ты­рех­уголь­ную пи­ра­ми­ду пе­ре­се­ка­ет плос­кость, про­хо­дя­щая через вер­ши­ну ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но про­ти­во­по­лож­но­му бо­ко­во­му ребру. Пло­щадь по­лу­чив­ше­го­ся се­че­ния в два раза мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Най­ди­те от­но­ше­ние длины вы­со­ты пи­ра­ми­ды к длине бо­ко­во­го ребра.

За­да­ние 0 № 506033


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 32.
31

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся квад­рат а вы­со­та пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с реб­ром Найти вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если ра­ди­ус впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду шара равен 3, а сто­ро­на квад­ра­та равна 15.

За­да­ние 0 № 506075


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 39.
32

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем из­вест­ны ребра Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны ребер и

За­да­ние 0 № 506081


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 4*.
33

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го диа­го­наль­ным се­че­ни­ем пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с вер­ши­ной S, вдвое боль­ше пло­ща­ди её ос­но­ва­ния.

а) По­строй­те это се­че­ние;

б) Най­ди­те ко­си­нус плос­ко­го угла при вер­ши­не пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 508096


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 83.
34

В пря­мую приз­му ABCDA1B1C1D1, ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ко­то­рой яв­ля­ет­ся ромб ABCD, а AA', BB', CC', DD' — бо­ко­вые ребра, впи­сан шар ра­ди­у­са 1.

а) По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую через вер­ши­ны A, B, C'.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы этой плос­ко­стью, если из­вест­но, что

За­да­ние 0 № 508102


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 86.
35

В ос­но­ва­нии пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной, рав­ной 3. Бо­ко­вое ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да равно 4. На ребре AA1 от­ме­че­на точка M так, что AM : A1M = 1 : 3.

а) По­строй­те се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью BMD1.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния.

За­да­ние 0 № 508114


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 90.
36

На бо­ко­вых реб­рах пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы рас­по­ло­же­ны точки и М со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что угол между пря­мы­ми и АВ равен а угол между пря­мым КМ и АС –

а) По­строй­те плос­кость, про­хо­дя­щую через точки и М.

б) Най­ди­те угол между этой плос­ко­стью и плос­ко­стью ос­но­ва­ния АВС.

За­да­ние 0 № 508122


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 91.
37

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD вы­со­та PO равна а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6. Из точки О на ребро PC опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр ОН. До­ка­жи­те, что пря­мая PC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой DH. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми, со­дер­жа­щи­ми две со­сед­ние бо­ко­вые грани.

За­да­ние 0 № 508149


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 95.
38

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — се­ре­ди­на ребра C1D1, точка P — се­ре­ди­на ребра AD, точка M — се­ре­ди­на ребра CC1.

а) По­строй­те се­че­ние куба плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки K, P и M.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния, если ребро куба рано 6.

За­да­ние 0 № 508161


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 97.
39

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD бо­ко­вое ребро PA = 6, а сто­ро­на ос­но­ва­ния Через вер­ши­ну А пер­пен­ди­ку­ляр­но бо­ко­во­му ребру PC про­ве­де­на плос­кость.

а) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

б) Най­ди­те пло­щадь по­лу­чен­но­го се­че­ния.

За­да­ние 0 № 508173


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 99.
40

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC из­вест­ны ребра и SC = 17. Най­ди­те угол, об­ра­зо­ван­ный плос­ко­стью ос­но­ва­ния и пря­мой AM, где M — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани SBC.

За­да­ние 0 № 508191


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 105.
41

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме ABCDA1B1C1D1 сто­ро­на ос­но­ва­ния равна а бо­ко­вое ребро равно 2. Точка M — се­ре­ди­на ребра AA1. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти DA1C1.

За­да­ние 0 № 508197


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 106.
42

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де два ребра, ис­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны по а все осталь­ные ребра равны по 2. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 508203


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 107.
43

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC (AB = BC) про­ве­де­ны бис­сек­три­сы AK, BM, CP.

а) До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник KMP — рав­но­бед­рен­ный.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KMP, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 64, а ко­си­нус угла ВАС равен 0,3.

За­да­ние 0 № 508612


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108.
44

Цен­тры впи­сан­но­го и опи­сан­но­го шаров пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды сов­па­да­ют. Най­ди­те дву­гран­ный угол при сто­ро­не ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 508619


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 109.
45

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 все ребра равны 1. Точка E — се­ре­ди­на ребра АС.

а) По­строй­те се­че­ние приз­мы плос­ко­стью A1B1E;

б) Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

За­да­ние 0 № 508632


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 81.
46

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна бо­ко­вое ребро со­став­ля­ет с вы­со­той угол  Плос­кость про­хо­дя­щая через вер­ши­ну ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, пер­пен­ди­ку­ляр­на про­ти­во­ле­жа­ще­му бо­ко­во­му ребру и раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду на две части.

а) По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью

б) Опре­де­ли­те объем при­ле­га­ю­щей к вер­ши­не части пи­ра­ми­ды.

За­да­ние 0 № 508639


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 84.
47

ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка N — се­ре­ди­на СВ, а точка M лежит на ребре AA1, при­чем AM : MA1 = 3 : 1. Опре­де­ли­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми MN и BC1.

За­да­ние 0 № 508951


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 110.
48

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка М — се­ре­ди­на ребра SC, точка K — се­ре­ди­на ребра AB.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая MK делит вы­со­ту SH пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 1 : 3.

б) Най­ди­те угол между пря­мой MK и плос­ко­стью ABC, если из­вест­но, что AB = 6, SA = 5.

За­да­ние 0 № 511210


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 121.
49

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 про­ве­де­на плос­кость β.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость β пе­ре­се­ка­ет ребро AA1 в такой точке M, что AM : A1M = 1 : 2.

б) Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость β с плос­ко­стью ос­но­ва­ния приз­мы, если из­вест­но, что AB = 1, AA1 = 3.

За­да­ние 0 № 511217


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.
50

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 про­ве­де­на плос­кость .

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти DCC1.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α, если из­вест­но, что AB = 1, AA1 = 3.

За­да­ние 0 № 511224


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 123.
51

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диа­го­на­ля­ми AC = 8 и BD = 6.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые BD1 и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми BD1 и AC, если из­вест­но, что бо­ко­вое ребро приз­мы равно 12.

За­да­ние 0 № 511231


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.
52

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC бо­ко­вое ребро равно 10, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна Через точки В и С пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру про­ве­де­на плос­кость α.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит пи­ра­ми­ду PABC на два мно­го­гран­ни­ка, объ­е­мы ко­то­рых от­но­сят­ся как 2 : 3.

Б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды PABC плос­ко­стью α.

За­да­ние 0 № 511238


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 125.
53

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 AB = 8, BC = 6, AA1 = 12. Точка K — се­ре­ди­на ребра AD, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 1 : 2.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая BD1 па­рал­лель­на плос­ко­сти CKM.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью CKM.

За­да­ние 0 № 511245


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.
54

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 AB = 6, BC = 4, AA1 = 7. Точка P — се­ре­ди­на ребра AB, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 2 : 5.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость MPC делит объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да в от­но­ше­нии 1 : 11.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D до плос­ко­сти MPC.

За­да­ние 0 № 511252


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 127.
55

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC от­ме­че­на точка K.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ABK яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б) Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость ABK с плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что PK : KC = 3 : 1.

За­да­ние 0 № 511259


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 128.
56

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро равно 5. На ребре CC1 взята точка K так, что CK : KC1 = 1 : 4, а на ребре A1C1 взята точка M так, что A1M : MC1 = 1 : 2.

А) Опре­де­ли­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость BKM делит ребро A1B1 приз­мы.

Б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью BKM.

За­да­ние 0 № 511862


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 114.
57

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка P — се­ре­ди­на ребра СВ, точка K лежит на ребре CD так, что KD : KC = 1 : 2. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки P, K и A1 пе­ре­се­ка­ет ребро DD1 в точке M.

а) До­ка­жи­те, что DM : D1M = 1 : 4.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми PKA1 и ABC.

За­да­ние 0 № 511877


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 115.
58

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA1B1C1D1 AB = BC = 8, BB1 = 6. Точка K — се­ре­ди­на ребра BB1, точка P — се­ре­ди­на ребра C1D1. Най­ди­те:

а) пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки K и P па­рал­лель­но пря­мой BD1;

б) объем боль­шей части па­рал­ле­ле­пи­пе­да, от­се­ка­е­мой от него этой плос­ко­стью.

За­да­ние 0 № 511884


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 116.
59

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 AB = 2, AA1 = 3.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AC1 и BE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC1 и BE.

За­да­ние 0 № 511898


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.
60

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да PABCD с вер­ши­ной в точке Р. Через точку С и се­ре­ди­ну ребра АВ пер­пен­ди­ку­ляр­но к ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость α.

А) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро ВР в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от точки В.

Б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α если из­вест­но, что РА = 10, АС = 16.

За­да­ние 0 № 511916


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 119.
61

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC (ABC — ос­но­ва­ние) M — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан грани PBC.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая AM делит вы­со­ту РО пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от точки P.

б) Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках А, В, M, P, ели из­вест­но, что AB = 12, PC = 10.

За­да­ние 0 № 512002


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.
62

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды PABCD лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ост­рым углом 45°. Бо­ко­вые грани PABи PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. 

а) До­ка­жи­те, что плос­ко­сти PAB и PCD пер­пен­ди­ку­ляр­ны. 

б) Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды, если из­вест­но, что BC = 6, АD = 12, а объем пи­ра­ми­ды равен 27.     

За­да­ние 0 № 512649


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 139.
63

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD вы­со­та РО в пол­то­ра раза боль­ше, чем сто­ро­на ос­но­ва­ния. 

а) До­ка­жи­те, что через точку О можно про­ве­сти такой от­ре­зок KM с кон­ца­ми на сто­ро­нах AD и BC со­от­вет­ствен­но, что  се­че­ние PKM пи­ра­ми­ды будет рав­но­ве­ли­ко ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды. 

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды PABMK к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды PABCD.

За­да­ние 0 № 512662


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 140.
64

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Через центр верх­не­го ос­но­ва­ния приз­мы и се­ре­ди­ны двух ребер ниж­не­го ос­но­ва­ния про­ве­де­на плос­кость β.

а) Най­ди­те угол, ко­то­рый об­ра­зу­ет плос­кость β с плос­ко­стью ABC.             

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA1B1C1 плос­ко­стью β, если из­вест­но, что ребро приз­мы равно 6.

За­да­ние 0 № 512670


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 141.
65

Через ребро BC пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 под углом 60° к плос­ко­сти ABC про­ве­де­на плос­кость α. Из­вест­но, что пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью α равна а вы­со­та приз­мы равна 3.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро A1B1 в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от точки B1.

б) Най­ди­те объем мень­шей части, от­се­ка­е­мой от приз­мы ABCA1B1C1 плос­ко­стью α.

За­да­ние 0 № 513205


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.
66

В  кубе АВСDA1B1C1D1 точка  N — се­ре­ди­на  ребра BC,  точка M лежит на ребре AB так, что MB = 2MA. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки M и N па­рал­лель­но пря­мой ВD1, пе­ре­се­ка­ет ребро DD1 в точке K

а) До­ка­жи­те, что DK : D1K = 5 : 2. 

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D1 до пря­мой MN, если из­вест­но, что ребро куба равно 12. 

За­да­ние 0 № 513212


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 143.
67

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC (P — вер­ши­на) точка K – се­ре­ди­на AB, точка M — се­ре­ди­на BC, точка N лежит на ребре АР, при­чем АN : NP = 1 : 3. 

а) До­ка­жи­те, что  се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки NKM, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция. 

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми NKM и ABC, если из­вест­но, что AB = 6, АР = 8.

За­да­ние 0 № 513219


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.
68

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де PABC к ос­но­ва­нию ABC про­ве­де­на вы­со­та РО. Точка K — се­ре­ди­на СО.  

а) До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки А, P и K делит ребро BC в от­но­ше­нии 1:4. 

б) Най­ди­те объем боль­шей части пи­ра­ми­ды PABC, на ко­то­рые ее делит плос­кость APK, если из­вест­но, что

За­да­ние 0 № 513226


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 145.
69

Тре­уголь­ная приз­ма ABCA1B1C1 с ниж­ним ос­но­ва­ни­ем ABC и бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA1, BB1, CC1 рас­се­че­на плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, F, C, где точка E яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AA1, точка F лежит на ребре BB1, при­чем BF : FB1 = 1 : 2. 

а) До­ка­жи­те, что объем части приз­мы ABCA1B1C 1, за­клю­чен­ный между се­ку­щей плос­ко­стью и ниж­ним ос­но­ва­ни­ем этой приз­мы со­став­ля­ет  объ­е­ма приз­мы.

б) Най­ди­те угол между ниж­ним ос­но­ва­ни­ем приз­мы и плос­ко­стью се­че­ния, если приз­ма ABCA1B1C1 — пра­виль­ная и все ее ребра равны между собой.

За­да­ние 0 № 513233


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 146.
70

На реб­рах АА1, CC1, C1D1 па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 рас­по­ло­же­ны точки  M, N и  P так, что AM : AA1 = C1N : C1C = C1P : C1D1 = 4 : 5.

а) По­строй­те точку H пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNP с пря­мой BC.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние BH : BC.

За­да­ние 0 № 513764


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 147.
71

Все ребра пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды FABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равны 7. Точки P, Q, R лежат на реб­рах FA, AB и BC со­от­вет­ствен­но, при­чем FP = BR = 4, AQ = 3.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость PQR пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру FD.

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны D до плос­ко­сти PQR.

За­да­ние 0 № 513771


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 148.
72

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де FABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD все ребра равны 5. Точки M, N лежат на реб­рах BC и CD со­от­вет­ствен­но, при­чем СМ = 3, DN = 2. 

Плос­кость α про­хо­дит через точки M, N и па­рал­лель­на пря­мой FC.

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру AF

б) Вы­чис­ли­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α.

За­да­ние 0 № 513778


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 149.
73

В кубе ABCDAA1B1C1D1 на про­дол­же­нии ребра BB1 от­ме­че­на точка P так, что PB : BB1 = 3 : 4. Через точки А и P па­рал­лель­но пря­мой ВD1 про­ве­де­на плос­кость α. 

а) До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро DC в от­но­ше­нии 1 : 2.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния куба плос­ко­стью α, если из­вест­но, что PB = 18. 

За­да­ние 0 № 513792


Источник: Нерешенные задания
74

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка P — се­ре­ди­на AB, точка K — се­ре­ди­на BC. Через точки P и K па­рал­лель­но SB про­ве­де­на плос­кость Ω. 

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью Ω яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком. 

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти Ω, если из­вест­но, что SC = 5, AC = 6. 

За­да­ние 0 № 514059


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 153.
75

Дан куб ABCDA1B1C1D1.  

а) До­ка­жи­те, что каж­дая из плос­ко­стей BDA1 и B1D1С пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC1

б) Най­ди­те объем части куба, за­клю­чен­ной между плос­ко­стя­ми BDA1 и B1D1C, если из­вест­но, что от­ре­зок диа­го­на­ли AC1, за­клю­чен­ный между этими плос­ко­стя­ми, имеет длину

За­да­ние 0 № 514066


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 154.
76

Через се­ре­ди­ну ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой ВD1 про­ве­де­на плос­кость α. 

а) До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем куба плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пра­виль­ный ше­сти­уголь­ник.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и ABC.    

За­да­ние 0 № 514073


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 155.
77

Ос­но­ва­ние пря­мой приз­мы ABCDA1B1C1D1 слу­жит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. Точка P — се­ре­ди­на ребра AB.

а) До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые раз­би­ва­ет приз­му плос­кость PCD1, равно 7 : 17.

б) Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью PCD1, если из­вест­но, что AB = 8, AD = 3, AA1 = 4, ∠BAD = 120°.

За­да­ние 0 № 514568


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 156.
78

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 точка P — се­ре­ди­на ребра A1B1, точка M — се­ре­ди­на ребра A1C1.

а) До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы плос­ко­стью BPM про­хо­дит через точку C.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость BPM раз­би­ва­ет дан­ную приз­му, если из­вест­но, что AB = 6, AA1 = 4.

За­да­ние 0 № 514575


Источник: Нерешенные задания
79

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре DD1 от­ме­че­на точка O так, что

а) До­ка­жи­те, что объём дан­ной приз­мы в 4,5 раза боль­ше, чем объём пи­ра­ми­ды OABB1A1.

б) Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды OABB1A1, если из­вест­но, что AB = 1, DD1=3.

За­да­ние 0 № 514582


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 158.
80

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) До­ка­жи­те, что объём пи­ра­ми­ды с ос­но­ва­ни­ем A1BCD1 и вер­ши­ной в точке B1 со­став­ля­ет тре­тью часть объёма куба.

б) Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми B1A1B и B1D1C.

За­да­ние 0 № 514596


Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!
общее/сайт/предмет


Рейтинг@Mail.ru
Яндекс.Метрика