Многогранники
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
В правильной треугольной пирамиде 
с вершиной 
сторона основания равна 
Через прямую 
проведено сечение перпендикулярное ребру 
, площадь которого равна 18. Найти длину бокового ребра пирамиды.
и 
=
)
прямоугольный с прямым углом 
: 
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 1. Объем пирамиды равен 
Через сторону основания CD проведено сечение, которое делит пополам двугранный угол, образованный боковой гранью SCD и основанием. Найдите площадь сечения.
, то есть
(по 3-м углам).
, откуда 
Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что 
Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S. Найти величину угла между прямыми SP и SQ.
как вертикальные, тогда можем найти угол AEP (на рисунке угол 2):
*) см. примечание.
Выразим векторы 
и 
через базисные:
где 
откуда, 
где 
откуда
, а также тот факт, что 
В нашем случае: 
откуда 
то есть 
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD со стороной 1. Длина диагонали AC ромба равна 1,5. Основание высоты пирамиды совпадает с центром ромба и ее длина в 1,5 раза больше длины AC. Через точку A и середину ребра SC проведена секущая плоскость, образующая с плоскостью основания пирамиды угол 45°. Какова площадь сечения пирамиды этой плоскостью?
, точки N и K принадлежат сторонам SB и SD соответственно. Остается соединить точку K с точками A и M в плоскостях (ASD) и (SCD) соответственно; точку N с точками A и M в плоскостях (ASB) и (SBC) соответственно.
, и по теореме о 3-х перпендикулярах 
А так как 
Значит, площадь данного сечения можно найти так: 
; по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABO найдем BO:
, как соответственные). Поэтому 
, откуда 
, поэтому треугольник AMG — равнобедренный прямоугольный. Значит, AG = MG, тогда по теореме Пифагора 
Так как в треугольнике SOC отрезок MG параллелен SO и выходит из середины стороны SC, то MG является средней линией данного треугольника. Тогда 
, откуда получаем 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 
сторона основания равна 1, SH — высота пирамиды. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку H параллельно ребрам SA и BC.
и 
перейдут друг на друга. 
— равносторонний, то 
где 
Отсюда: 
В кубе ABCDA1B1C1D1 плоскость проходит через прямую A1B1 и середину ребра DD1. Найти расстояние от середины ребра DC до плоскости, если ребро куба равно 4.
Подставив полученные результаты в третье уравнение, получим значение b: 
где x0, y0, z0 — координаты точки K (2; 4; 0):
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD со стороной 
и углом А, равным 
На ребрах AB, B1C1 и CD взяты точки E, F и G так, что AE = BE, B1F = FC1 и DG = 3GC. Найдите косинус угла между плоскостями EFG и ABC, если высота призмы равна 4,5.
равнобедренный, 
то 
Значит, 
или
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с основанием ABCD точка M — середина ребра PA, точка K — середина ребра PB. Найдите расстояние от вершины A до плоскости CMK, если PC = 6, AB = 4.
Из третьего уравнения: 
Подставляя найденные значения a и b в первое уравнение, найдем c. 
Далее:
Отсюда 
Это — с одной стороны. А с другой же стороны, 
где 
— искомое расстояние.
К этой формуле можно прийти методом удвоения медианы. Если она забыта, ее можно восстановить легко и просто. И вот каким образом.
Достроим треугольник до параллелограмма, удвоив медиану. Очевидно, одна из диагоналей параллелограмма будет с, другая 
а его сторонами будут стороны треугольника длиной a и b. Как известно, сумма квадратов сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Поскольку противолежащие стороны параллелограмма равны, то будет выполнено равенство: 
Отсюда: 
; 
В правильной треугольной призме 
все ребра которой равны, точка 
— середина 
Найдите угол между плоскостью 
и плоскостью 
где 
— середина 
Ось 
направим по 
ось 
— по 
ось 
— по 
; 
— середина 
При выбранной системе координат и длине ребра призмы найдем координаты нужных точек:
, а плоскость 
пройдет через точку 
, т.е. совпадет с плоскостью 
будем искать в виде 
Пусть 
Найдем значения 
и 
методом неопределенных коэффициентов.
или 
и 
соответственно. 
Для отыскания угла 
(так обозначим искомый угол) воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов. 
Дана правильная треугольная призма 
, стороны основания которой равны 
Найдите угол между прямыми 
и 
, если сумма длин всех сторон обеих оснований равна
Соединим отрезками точки 
, 
и 
|| 
— искомый. 
Очевидно также, что также 
также по теореме косинусов. 
— искомый угол. Тогда 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
в координатах: 
, 
Дан куб 
c ребром, равным 4. Пусть точка лежит на стороне так, что 
Найдите расстояние от точки до плоскости 
, где — середина
, 
, 
; 
; 
Найдем значения 
при 
или 
от точки 
где 
— координаты точки 
Дан единичный куб 
Пусть точка — середина 
Найдите расстояние от точки 
до прямой 
основание которого обозначим 
(ось 
ось 
— по 
ось 
) найдем координаты некоторых точек: 
= 
Тогда 
а это значит, что 
так как 
Значит,
(по теореме Пифагора).
А это значит, что 
Сфера с центром в точке 
вписана в прямоугольный параллелепипед Найдите угол между прямыми 
и 
где — середина 
Он равен углу между прямыми 
и 
ось 
ось 
Найдем координаты векторов 
и 
на отрезок 
При этом 
Тогда 
— искомый.
— равнобедренный: 
В таком случае 
— медиана и высота этого треугольника. В прямоугольном треугольнике 
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в основании которого лежит квадрат со стороной 1. На плоскости основания имеется квадрат CDKM. В этот квадрат вписана окружность, которая является основанием цилиндра с высотой, равной длине отрезка AA1. Найдите расстояние от середины основания цилиндра до точки пересечения диагоналей параллелепипеда, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 2.
Катеты равны PN = 1,
, а от нижнего теперь другое: 
Дан куб c ребром 5 см. Точка 
движется по сторонам квадрата 
со скоростью 1см/с, стартуя из точки 
Двигаясь в направлении точка через 7 секунд остановилась. Найти угол между плоскостью 
и плоскостью 
где 
— середина 
вершине куба. Оси координат направим по прямым, как показано на рисунке. 
Координаты ее нормального вектора: 
будем искать в виде: 
Нормальный вектор этой плоскости имеет координаты: 
В правильной шестиугольной призме 
все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми 
и 
отрезками. Четырехугольник 
— параллелограмм, поскольку 
Отсюда 
Следовательно, расстояние 
равно расстоянию между прямой 
где 
ось 
(
будем искать в виде 
обязаны удовлетворить уравнению этой плоскости. Пусть 
или 
где 
— координаты любой точки прямой 
В основании прямой призмы лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом 
и гипотенузой 
Найти расстояние от точки 
до прямой 
если точка 
— середина ребра 
которое равно 
Для этого вычислим высоту этого треугольника 
опущенную на основание 
В кубе 
с ребром 1 на ребре 
и 
выбраны точки и соответственно так, что 
а 
Найти расстояние между прямыми 
и 
Оси координат направлены, как показано на рисунке. 
и проходящей через 
Для этого в плоскости 
из точки 
поскольку 
Соединим 
или 
В правильной шестиугольной призме все ребра равны 
Найдите угол между плоскостями 
и 
Координаты необходимых точек: 
или 
Нормальный вектор этой плоскости имеет вид: 
равен углу между векторами 
и 
К диагонали 
куба провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.
О — центр куба, точки К и N — середины рёбер AD и AВ соответственно. 
треугольник A1NC равнобедренный, его медиана NO является высотой, поэтому NО — перпендикуляр к AС. Аналогично KO перпендикуляр к АС. 
Диагональ 
куба служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины 
и 
Найдите величину этого угла.
и 
При пересечении двух плоскостей образуется четыре двугранного угла, по сути две пары равных между собой двугранных углов.
будет вычислен как угол между нормальными векторами этих плоскостей 
и 
Обозначим его 
А угол между двумя векторами заведомо не больше чем 
и 
— соответствующие координаты нормальных векторов плоскостей.
в нашем случае получится положительным. Однако с учетом конкретной ситуации мы будем должны взять этот косинус с отрицательным знаком, поскольку искомый угол тупой.
или 
Координаты нормального вектора этой плоскости: 
или 
Координаты нормального вектора этой плоскости: 
Пусть 
— линейный угол упомянутого двугранного угла, 
И пусть ребро куба равно 1. Тогда 
поскольку 
подобны, так как они прямоугольные, 
как углы, заключенные между взаимно перпендикулярными прямыми. Следовательно, 
Аналогично 
по теореме косинусов имеем: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S на сторонах AB и AC выбраны точки M и K соответственно так, что треугольник AMK подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 
На прямой MK выбрана точка E так, что ME : EK = 7 : 9. Найти расстояние от точки E до плоскости BSC, если сторона основания пирамиды равна 6, а высота пирамиды равна 
— её апофема, 
— высота основания, D — середина BC. В соответствии с условием задачи O лежит на отрезке MK.
равновелики: 
Тогда
то 
Найдем координаты нужных точек: 
в декартовой системе координат.
или 
=
Тогда
В правильной четырехугольной пирамиде 
с вершиной , со стороной основания, равной 
и боковым ребром 5 найти угол между прямой и плоскостью, проходящей через середины 
и 
и вершину 
Найдем координаты нужных точек. Для вычисления аппликаты точки 
Ясно, что 
будет иметь вид: 
или 
А нормальный вектор 
то 
, очевидно, равен углу между отрезком 
(При этом можно воспользоваться методом объемов).
Это и будет синусом искомого угла.
Это с одной стороны. 
Точки 
— середины ребер 
и 
соответственно куба Найти угол между прямой 
и плоскостью, проходящей через точку перпендикулярно прямой 
будет равен углу между прямой 
, перпендикулярной к плоскости, и прямой PE, перпендикулярной к ребру 
— прямоугольный, к тому же равнобедренный. Следовательно, 
В правильной призме 
со стороной основания, равной 
и высотой, равной 2, проведено сечение через прямую 
которое делит призму на 2 многогранника равных объемов. Найти площадь сечения.
с основаниями: 
тогда объем призмы 
(здесь 2 — высота призмы, следовательно, и усеченной пирамиды). 
— объем названной усеченной пирамиды. Тогда 
где 2 — высота усеченной пирамиды, S — площадь его верхнего основания. Очевидно, что 
или 
то найденный корень 
не подойдет. Следовательно, 
~ 
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом 
, равным 30 градусам. Найти площадь сечения призмы, проходящего через меньший катет нижнего основания и середину гипотенузы верхнего основания, если расстояние между основаниями призмы равно расстоянию от вершины до искомого сечения и равно 6.
— середина гипотенузы 
), 
Поскольку сечение проходит через начало координат, значение 
в уравнении 
будет равно нулю. Сторона 
, это значит, что в уравнении плоскости значение коэффициента а рано нулю. Итак, искомое уравнение будет иметь вид: 
Пусть 
Тогда 
Разделим обе части уравнения на 
Получим: 
или 
используем формулу расстояния от точки до плоскости. 
(не подходит по смыслу задачи).
(по свойству средней линии треугольника). 
=
— трапеция по способу построения и с учетом условия задачи.
— наклонная к (
— проекция наклонной 
следовательно, 
по теореме о трех перпендикулярах.
В пирамиде объемом 18 в основании лежит равнобедренный треугольник 
Боковая грань, проходящая через основание равнобедренного треугольника, перпендикулярна плоскости основания пирамиды. На ребре отмечена точка 
так, что прямая 
образует угол 
с плоскостью основания, а объем пирамиды 
в два раза меньше объема пирамиды 
Найти площадь сечения 
если треугольник 
равносторонний.
и 
( по свойству медианы равнобедренного треугольника). 
по трем сторонам. (По условию 
— общая сторона). Отсюда 
и 
У них: 
— общая сторона. Следовательно, 
— медиана по способу построения, следовательно, и высота. 
так как основания у них общие.
как два перпендикуляра к одной и той же плоскости, кроме того 
Значит, 
Отсюда 
Значит, 
Тогда 
Точка — середина стороны основания 
правильной треугольной призмы 
Боковое ребро призмы равно 
а сторона основания равна 12. Найдите синус угла между прямой 
и плоскостью боковой грани 
оно имеет вид 
или 
Её нормальный вектор 
а потому, если искомый угол 
В правильной треугольной пирамиде отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно 2. Найдите отношение радиуса вписанного в пирамиду шара к стороне основания пирамиды.
— высота заданной правильной пирамиды, 
— ее апофема, 
— медианы основания, 
а это значит, что 
т. е. 
Тогда 
где 
— искомый радиус.
(а это надо бы доказать!). Кроме того, центр вписанного шара есть точка пересечения биссектрис линейных углов двугранных углов, образуемых боковыми гранями и основанием заданной пирамиды. Таким образом, центр шара лежит на пересечении высоты пирамиды 
Если это — точка 
то 
и есть искомый радиус. 
и 
Тогда по формуле тангенса половинного угла сможем вычислить и значение тангенса угла 
Тогда 
по теореме Пифагора имеем:
Обозначим эту точку 
к грани 
Ясно, что 
где 
и 
Тогда радиус шара (сферы) равен 
на то же расстояние, что и от основания 
имея в виду, что в этой же плоскости лежит также точка 
второе — принадлежность точки 
или 
до плоскости 
то 
где 
и 
Будем иметь в виду, что 
В таком случае: 
Правильную четырехугольную пирамиду пересекает плоскость, проходящая через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру. Площадь получившегося сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найдите отношение длины высоты пирамиды к длине бокового ребра.
— сечение, удовлетворяющее условию задачи. 
лежат в одной плоскости, так как эта плоскость проходит через две пересекающиеся прямые 
по способу построения. 
так как 
— наклонная к плоскости основания пирамиды, 
— ее проекция, 
по свойству квадрата; 
по теореме о трех перпендикулярах.
то 
и 
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости 
Тогда в равнобедренном треугольнике 
Искомое отношение 
и 
как вертикальные. Отсюда: 
Пусть 
тогда 
Поскольку 
то эти треугольники подобны. Отсюда: 
т. е. 
значит, 
— наклонная к (
), 
— ее проекция, из перпендикулярности 
по теореме о трех перпендикулярах следует, что 
В таком случае: 
потому не удовлетворяет смыслу задачи, 
Найденное значение 
и есть искомое отношение.
» следует читать так:
Основанием четырехугольной пирамиды является квадрат 
а высота пирамиды совпадает с ребром 
Найти высоту пирамиды, если радиус вписанного в пирамиду шара равен 3, а сторона квадрата 
равна 15.
равна 
Тогда объем пирамиды 
Это с одной стороны.
где 
поскольку 
как два равных прямоугольных треугольника (по двум катетам: 
— общий катет, 
как стороны одного и того же квадрата).
прямоугольный. 
— наклонная к плоскости 
также окажется прямоугольным. 
(по общей гипотенузе и равным катетам 
). По теореме Пифагора будем иметь: 
;
(не подходит по смыслу задачи), 
В правильной треугольной пирамиде с основанием известны ребра 
Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середины ребер 
и 
Площадь треугольника, образованного диагональным сечением правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с вершиной S, вдвое больше площади её основания.
а) Постройте это сечение;
б) Найдите косинус плоского угла при вершине пирамиды.
по теореме косинусов будем иметь: 
В прямую призму ABCDA1B1C1D1, нижним основанием которой является ромб ABCD, а AA', BB', CC', DD' — боковые ребра, вписан шар радиуса 1.
а) Постройте плоскость, проходящую через вершины A, B, C'.
б) Найдите площадь сечения призмы этой плоскостью, если известно, что 
(по построению). В таком случае 
по теореме о трех перпендикулярах.
В основании прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 лежит квадрат ABCD со стороной, равной 3. Боковое ребро параллелепипеда равно 4. На ребре AA1 отмечена точка M так, что AM : A1M = 1 : 3.
а) Постройте сечение параллелепипеда плоскостью BMD1.
б) Найдите площадь полученного сечения.
Значит, D1K = BM. Аналогично 
Следовательно, MD1KB — параллелограмм по признаку параллелограмма. В соответствии с определением параллелограмма получим: MD1 || BK. А через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. Отсюда: 
по теореме косинусов: 
На боковых ребрах 
правильной треугольной призмы 
расположены точки 
и М соответственно. Известно, что угол между прямыми 
и АВ равен 
а угол между прямым КМ и АС – 
а) Постройте плоскость, проходящую через точки 
и М.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания АВС.
— искомое сечение.
Плоскость пересекает боковые ребра SA и SB треугольной пирамиды SABC в точках K и L соответственно и делит объем пирамиды пополам
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, если SK : SA = 2 : 3, SL : SB = 4 : 5.
б) В каком отношении эта плоскость делит медиану SN грани SBC?
В самом деле, 
и проводим отрезки KL, LN, NK. Треугольник KLN — искомое сечение.
откуда 
и поэтому 
откуда 
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота PO равна 
а сторона основания равна 6. Из точки О на ребро PC опущен перпендикуляр ОН. Докажите, что прямая PC перпендикулярна прямой DH. Найдите угол между плоскостями, содержащими две соседние боковые грани.
Вычислим боковое ребро пирамиды. 
выполняется условие теоремы Пифагора. 
Аналогично можно доказать, что 
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
— линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями, содержащими боковые грани PBC и PCD. 
А как известно, за угол между плоскостями, содержащими боковые грани PBC и PCD, принимается наименьший из углов, которые они образуют при взаимном пересечении, поэтому искомым углом будет 
В кубе ABCDA1B1C1D1 точка K — середина ребра C1D1, точка P — середина ребра AD, точка M — середина ребра CC1.
а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки K, P и M.
б) Найдите площадь полученного сечения, если ребро куба рано 6.
Далее, b = −4 − c = −6. Искомое уравнение имеет вид: −2x − 6y + 2z + 6 = 0 или x + 3y − z − 3 = 0. Нормальный вектор плоскости: 
Косинус угла между нижним основанием куба и секущей плоскостью (обозначим этот угол через 
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD каждое ребро равно 12. На ребре PC отмечена точка K так, что PK : KC = 1 : 3.
а) Докажите, что линия пересечения плоскостей ABK и PCD параллельна плоскости ABC.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью ABK.
то и 
Поэтому точки A, B, K, T лежат в одной плоскости и искомое переечение плоскостей — прямая KT. Она параллельна плоскости основания пирамиды, поскольку параллельна CD.
Очевидно, что треугольник PKT равносторонний, поэтому 
и по теореме Пифагора для треугольника BKH получаем 
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD боковое ребро PA = 6, а сторона основания 
Через вершину А перпендикулярно боковому ребру PC проведена плоскость.
а) Постройте сечение пирамиды этой плоскостью.
б) Найдите площадь полученного сечения.
— точка пересечения 
и 
— проходит через две пересекающиеся прямые AN и ML, лежащие на плоскости 
Отсюда: 
— равносторонний. В нем AN — медиана (по построению), следовательно, и его высота, то есть 
(по свойству квадрата), в таком случае по теореме о трех перпендикулярах 
Поскольку 
(по построению), 
Таким образом, оказалось, что прямая 
лежащим на плоскости 
Значит, 
— по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Значит, 
Заметим, теперь, что треугольники ALM и MLN — равнобедренные, следовательно 
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра 
и SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой AM, где M — точка пересечения медиан грани SBC.
SD — апофему пирамиды 
Пусть О — центр основания пирамиды, E — проекция точки M на основание пирамиды. Соединим отрезком точки А и M, M и E.
как два перпендикуляра к одной и той же прямой OD. Следовательно, 
Отсюда: 
по способу построения и определению угла между плоскостью и прямой — искомый угол.
0), B(-4; 
0), C(8; 0; 0), S(0; 0; 15). D (2; 
0).
Но 
следовательно, 
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 
а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра AA1. Найдите расстояние от точки M до плоскости DA1C1.
а высотой — отрезок C1D1.
где 
Высоту h этого треугольника, проведенную к стороне A1C1, получим по теореме Пифагора: 
Будем искать уравнение плоскости A1DC1 в виде ax + by + cz + d = 0. Поскольку плоскость проходит через начало координат, заведомо d = 0. Подставим координаты точек A1 и C1 в уравнение плоскости.
; Пусть c = 1, тогда 
или 
В треугольной пирамиде два ребра, исходящие из одной вершины, равны по 
а все остальные ребра равны по 2. Найдите объем пирамиды.
В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AK, BM, CP.
а) Докажите, что треугольник KMP — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника KMP, если известно, что площадь треугольника ABC равна 64, а косинус угла ВАС равен 0,3.
и 
У них: 
— общий, AB = CB, 
как половины равных углов при основании равнобедренного треугольника. Значит, 
по второму признаку равенства треугольников. Отсюда: AK = CP.
MH — ось симметрии 
(H — точка пересечения BM и PK).
Это — с одной стороны. С другой же стороны, 
Если 
, то 
как два прямоугольных треугольника с общим острым углом.
то:
Центры вписанного и описанного шаров правильной четырехугольной пирамиды совпадают. Найдите двугранный угол при стороне основания пирамиды.
— искомый.
В прямоугольном 
так как они прямоугольные, у них OM — общий катет, OS = OD как радиусы описанного шара. Следовательно, 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны 1. Точка E — середина ребра АС.
а) Постройте сечение призмы плоскостью A1B1E;
б) Найдите площадь этого сечения.
— искомое сечение. Докажем это.
по условию, 
по построению, следовательно, 
— по свойству транзитивности отношения параллельности.
Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 
боковое ребро составляет с высотой угол 
Плоскость 
проходящая через вершину основания пирамиды, перпендикулярна противолежащему боковому ребру и разбивает пирамиду на две части.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью 
б) Определите объем прилегающей к вершине части пирамиды.
Из перпендикулярности SO и (ABC) следует 
SO и AC — две пересекающиеся прямые плоскости ASC. Значит, 
В таком случае прямая BD перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ASC, в том числе и к прямой SC. Но KE || BD по построению. Отсюда: 
Следовательно, SO — высота, медиана и биссектриса 
AT — его медиана, т. е. 
так как KE || BD, то 
— равносторонний, причем SP — его биссектриса, следовательно, и медиана KP = PE; P — точка пересечения медиан 
а из параллельности PK и OD по теореме Фалеса следует: 
т. е. 
по этой же теореме: 
В таком случае KT = ET как проекции равных наклонных SK и SE к (ETK), 
т. е. 
В пирамиде SAETK с основанием AETK отрезок ST — высота пирамиды. 
ABCDA1B1C1D1 равно 4. Точка N — середина СВ, а точка M лежит на ребре AA1, причем AM : MA1 = 3 : 1. Определите расстояние между прямыми MN и BC1.
и 
перпендикулярного как к вектору 
так и к вектору 
Пусть его координаты будут равны x, y, z. Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, то: 
Заменим этот вектор ему коллинеарным деля полученные координаты на z. 
и проходящей через точку N. Искомое уравнение будет иметь вид: 
где a, b, c — соответствующие координаты вектора 
x0, y0, z0 — координаты любой точки прямой BC1. Пусть такой точкой будет В. Тогда:
В правильной треугольной пирамиде SABC точка М — середина ребра SC, точка K — середина ребра AB.
а) Докажите, что прямая MK делит высоту SH пирамиды в отношении 1 : 3.
б) Найдите угол между прямой MK и плоскостью ABC, если известно, что AB = 6, SA = 5.
; где 
следовательно, 
что и требовалось доказать.
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро AA1 в такой точке M, что AM : A1M = 1 : 2.
б) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью основания призмы, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.
подставим в уравнение (2):
То есть: 
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1. Через точки B, D1, F1 проведена плоскость 
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости DCC1.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью α, если известно, что AB = 1, AA1 = 3.
Зная, что точки B, D1, F1 лежат в плоскости β, будем искать уравнение секущей плоскости α:
или 
или 
откуда: 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD с диагоналями AC = 8 и BD = 6.
а) Докажите, что прямые BD1 и AC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми BD1 и AC, если известно, что боковое ребро призмы равно 12.
и 
Отсюда: 
что и требовалось доказать.
Найдем координаты вектора 
который перпендикулярен как к вектору 
так и к вектору 
т.е. 
Заменим этот вектор ему коллинеарным 
и проходящей через любую точку прямой 
Искомое уравнение будет иметь вид: 
— соответствующие координаты вектора 
— координаты любой точки прямой 
Тогда: 
и 
вычислим как расстояние между любой точкой прямой 
В правильной треугольной пирамиде PABC боковое ребро равно 10, а сторона основания равна 
Через точки В и С перпендикулярно ребру проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит пирамиду PABC на два многогранника, объемы которых относятся как 2 : 3.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды PABC плоскостью α.
то 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 8, BC = 6, AA1 = 12. Точка K — середина ребра AD, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 1 : 2.
а) Докажите, что прямая BD1 параллельна плоскости CKM.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью CKM.
а это значит, что 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 6, BC = 4, AA1 = 7. Точка P — середина ребра AB, точка M лежит на ребре DD1 так, что DM : D1M = 2 : 5.
а) Докажите, что плоскость MPC делит объем параллелепипеда в отношении 1 : 11.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости MPC.
= 
что и требовалось доказать. 
Пусть ha — высота треугольника, опущенного на основание a = 5, ca — проекция с на основание а, ca = x, ba — проекция b на основание а, тогда ba = 5 − x, h2 = a2 − x2, h2 = b2 − (5 − x)2, 40 − x2 = 29 − 25 + 10x − x2; 10x = 36; 
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD все ребра равны между собой. На ребре PC отмечена точка K.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью ABK является трапецией.
б) Найдите угол, который образует плоскость ABK с плоскостью основания пирамиды, если известно, что PK : KC = 3 : 1.
по теореме Менелая: 
; 
; 
Итак, PM = 6OM. А это значит, что 
искомый угол. 
аппликата точки К будет равна 
т.е. 
Итак, уравнение плоскости АВК имеет вид: 
или 
Нормальный вектор этой плоскости 
Искомый угол — угол между векторами 
и 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 5. На ребре CC1 взята точка K так, что CK : KC1 = 1 : 4, а на ребре A1C1 взята точка M так, что A1M : MC1 = 1 : 2.
А) Определите, в каком отношении плоскость BKM делит ребро A1B1 призмы.
Б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью BKM.
Будем искать уравнение плоскости BKM.
или 
и 
Тогда
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 12. Точка P — середина ребра СВ, точка K лежит на ребре CD так, что KD : KC = 1 : 2. Плоскость, проходящая через точки P, K и A1 пересекает ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что DM : D1M = 1 : 4.
б) Найдите угол между плоскостями PKA1 и ABC.
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = BC = 8, BB1 = 6. Точка K — середина ребра BB1, точка P — середина ребра C1D1. Найдите:
а) площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки K и P параллельно прямой BD1;
б) объем большей части параллелепипеда, отсекаемой от него этой плоскостью.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 AB = 2, AA1 = 3.
а) Докажите, что прямые AC1 и BE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AC1 и BE.
(использована известная формула 
; в нашем случае a = 2).
А это значит, что прямые AC1 и BE перпендикулярны.
так и к вектору 
Пусть его координаты будут равны 
Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю, 
Заменим этот вектор ему коллинеарным, поделив полученные координаты на 
— координаты любой точки прямой AC1. Пусть такой точкой будет А. Тогда:
Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку С и середину ребра АВ перпендикулярно к основанию пирамиды проведена плоскость α.
А) Докажите, что плоскость α делит ребро ВР в отношении 2 : 1, считая от точки В.
Б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью α если известно, что РА = 10, АС = 16.
пусть K — их общая точка. 
; 
— по признаку перпендикулярности двух плоскостей.
Значит, K — точка пересечения медиан 
Следовательно, 
тогда по теореме о пропорциональных отрезках по обобщенной теореме Фалеса) : 
что и требовалось доказать.
~
где 
; 
где 
В правильной треугольной пирамиде PABC (ABC — основание) M — точка пересечения медиан грани PBC.
а) Докажите, что прямая AM делит высоту РО пирамиды в отношении 3 : 1, считая от точки P.
б) Найдите объем многогранника с вершинами в точках А, В, M, P, ели известно, что AB = 12, PC = 10.
ME = h. 
Следовательно, 
В основании пирамиды PABCD лежит равнобедренная трапеция с острым углом 45°. Боковые грани PABи PCD перпендикулярны основанию пирамиды.
а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что BC = 6, АD = 12, а объем пирамиды равен 27.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD высота РО в полтора раза больше, чем сторона основания.
а) Докажите, что через точку О можно провести такой отрезок KM с концами на сторонах AD и BC соответственно, что сечение PKM пирамиды будет равновелико основанию пирамиды.
б) Найдите отношение площади полной поверхности пирамиды PABMK к площади полной поверхности пирамиды PABCD.
В основании пирамиды лежит квадрат. Выберем произвольную точку К отрезка AD. Поскольку точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром его симметрии, на стороне BC этого же квадрата найдется точка M, симметричная точке K относительно O. В зависимости от расположения точки M на отрезке AD длина отрезка KM будет меняться. Очевидно, наименьшее значение KM будет а, когда OK совпадет с высотой ΔAOD, наибольшее значение — 
в случае, когда точка K совпадает либо с А, либо с D. Точка K при этом совпадет либо с C, либо с B — соответственно. То есть 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра равны между собой. Через центр верхнего основания призмы и середины двух ребер нижнего основания проведена плоскость β.
а) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью ABC.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1 плоскостью β, если известно, что ребро призмы равно 6.
б) 
Через ребро BC правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 под углом 60° к плоскости ABC проведена плоскость α. Известно, что площадь сечения призмы плоскостью α равна 
а высота призмы равна 3.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро A1B1 в отношении 1 : 3, считая от точки B1.
б) Найдите объем меньшей части, отсекаемой от призмы ABCA1B1C1 плоскостью α.
Пусть A1B1 = A1C1 = B1C1 = a, Тогда 
В кубе АВСDA1B1C1D1 точка N — середина ребра BC, точка M лежит на ребре AB так, что MB = 2MA. Плоскость, проходящая через точки M и N параллельно прямой ВD1, пересекает ребро DD1 в точке K.
а) Докажите, что DK : D1K = 5 : 2.
б) Найдите расстояние от точки D1 до прямой MN, если известно, что ребро куба равно 12.
тогда 
Тогда 
откуда 
Кроме того, 
Проведем в нем через точку F прямую, параллельную 
(очевидно, она лежит в данной плоскости). Пусть она пересечет сторону 
в точке K. Тогда 
Найдем DT. Очевидно,
В правильной треугольной пирамиде PABC (P — вершина) точка K – середина AB, точка M — середина BC, точка N лежит на ребре АР, причем АN : NP = 1 : 3.
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью, проходящей через точки N, K, M, является равнобедренная трапеция.
б) Найдите угол между плоскостями NKM и ABC, если известно, что AB = 6, АР = 8.
Тогда 
откуда KMTN — трапеция. Заметим далее, что 
поэтому треугольники CTM и ANK равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, 
и трапеция равнобедренная.
так что это не параллелограмм).
Обозначим за O центр основания пирамиды, за E и F пересечение KM и NT с плоскостью PHB соответственно, за G — проекцию точки F на плоскость ABC (очевидно, она лежит на BH). Тогда FE, 
(поскольку лежат в плоскости BHP) и линейный угол искомого двугранного угла это 
Теперь проведем некоторые вычисления.
(поскольку 
В правильной треугольной пирамиде PABC к основанию ABC проведена высота РО. Точка K — середина СО.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки А, P и K делит ребро BC в отношении 1:4.
б) Найдите объем большей части пирамиды PABC, на которые ее делит плоскость APK, если известно, что 
и прямой AKF.
откуда 
что и требовалось доказать.
откуда 
и
Треугольная призма ABCA1B1C1 с нижним основанием ABC и боковыми ребрами AA1, BB1, CC1 рассечена плоскостью, проходящей через точки E, F, C, где точка E является серединой ребра AA1, точка F лежит на ребре BB1, причем BF : FB1 = 1 : 2.
а) Докажите, что объем части призмы ABCA1B1C 1, заключенный между секущей плоскостью и нижним основанием этой призмы составляет 
объема призмы.
б) Найдите угол между нижним основанием призмы и плоскостью сечения, если призма ABCA1B1C1 — правильная и все ее ребра равны между собой.
поэтому 
по теореме о трех перпендикулярах. Значит, 
— линейный угол двугранного угла между плоскостями ABC и ECF.
Тогда 
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 3 : 1, считая от вершины S.
б) Найдите отношение, в котором плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.
Таким образом, треугольники MM'K и PBK равны, следовательно, 
Значит, SK : KB = 3 : 1.
Треугольники GRW и GFC — подобны с коэффициентом 
Значит
откуда 
откуда 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведена секущая плоскость, содержащая диагональ AC1, так, что сечение — ромб. Найдите площадь сечения, если AB = 3, BC = 2 и AA1 = 5.
то диагонали ромба равны 
и 
откуда его площадь 
и 
до одной из них не меньше 
а до другой — не больше 
поэтому сечение не может быть ромбом. Аналогично разбирается случай ребер 
Объем пирамиды ABCD равен 5. Через середины ребер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M. При этом DM : MC = 2 : 3. Найти площадь сечения, если расстояние от плоскости сечения до вершины A равно 1.
за 
соответственно. Продолжим прямую 
до пересечения с прямой 
в точке 
откуда 
откуда 
поскольку середина 
:
и 
На продолжении ребра ST за точку T правильной четырехугольной пирамиды SPQRT с вершиной S взята точка B так, что расстояние от этой точки до плоскости SPQ равно 
Найти длину отрезка BT, если QR = 12, SR = 10.
и 
— середины 
и 
соответственно. Заметим сразу, что 
Тогда 
(так как высота треугольника 
будет перпендикулярна 
по теореме о трех перпендикулярах). 
и 
на плоскость 
Треугольники 
и 
будут подобны, откуда 
, значит, 
и 
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и BC = 9. Высота пирамиды проходит через точку O пересечения диагоналей AC и BD основания и равна 
Точки E и F лежат на ребрах AB и AD соответственно, причем AE = 4, AF = 6. Найти площадь многогранника, полученного при пересечении пирамиды с плоскостью, проходящей через точки E и F и параллельной ребру AS.
Проведем в гранях 
и 
отрезки 
и 
параллельные 
для которой 
Докажем, что она лежит в плоскости сечения. Тогда искомое сечение - пятиугольник 
и 
и 
поэтому их медианы относятся так же. Значит, 
откуда треугольники 
подобны (по двум сторонам) и, значит, 
откуда и следует нужное утверждение. (
действительно медиана, поскольку 
), то есть 
Отметим середину 
Тогда 
как средняя линия. Заметим, что треугольник 
равносторонний, поэтому 
— параллелограмм, поскольку 
и 
Найдем его угол.
лежит на 
(поскольку расстояние точки от пересечения этих отрезков до плоскости основания будет равно трети высоты пирамиды, как и на всем отрезке 
и 
В основании пирамиды SABC лежит треугольник со сторонами AB = AC = 5 и BC = 6. Ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды. Найти радиус сферы, описанной около пирамиды, если известно, что отношение радиуса вписанной в пирамиду сферы к ребру SA равно 2/7.
равна 
, откуда 
, где 
, где 
— объем тетраэдра, 
(других корней нет из-за монотонности левой части).
Поскольку центр сферы равноудален от 
над плоскостью основания. Поэтому радиус сферы (расстояние от центра до точки 
В треугольной пирамиде ABCD угол между гранями ABC и ACD равен 
плоский угол BAC равен 
а рёбра AC и AD перпендикулярны. Найти длину ребра AD, если AB = 5, 
, тогда
и напишем теорему косинусов для треугольника 
Треугольная пирамида ABCD пересекается с плоскостью P по четырехугольнику EFGH так, что вершины E и F лежат на ребрах AB и AC и длина отрезка EF равна 1. Известно, что плоскость P параллельна противоположным ребрам AD и BC, которые равны соответственно 4 и 2. Найти периметр четырехугольника.
и 
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 4. Через середины ребер AB и BC параллельно прямой ВD1 проведена плоскость.
А) Постройте сечение куба этой плоскостью.
Б) Найдите площадь полученного сечения.
до пересечения с 
и 
, 
и 
Прямые, соединяющие их с точками 
,
), поэтому эти точки лежат в плоскости сечения. Соединим их с точками 
Образовавшиеся точки пересечения с ребрами
назовем 
,
, а точку пересечения с ребром 
Тогда 
— искомое сечение.
за 
, 
Очевидно треугольники 
, 
, 
подобны, причем 
, откуда 
,
Тогда
Значит, высота равнобедренной трапеции 
равна 
, аналогично высота треугольника 
равна 
, поэтому
В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 6, ВС = 9. Высота пирамиды проходит через точку О пересечения диагоналей АС и BD основания и равна Точки Е и F лежат на ребрах АВ и AD соответственно, причем АЕ = 4, AF = 6.
а) Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е и F параллельно ребру AS.
б) Найти площадь этого сечения.
На ребрах АА1, CC1, C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 расположены точки M, N и P так, что AM : AA1 = C1N : C1C = C1P : C1D1 = 4 : 5.
а) Постройте точку H пересечения плоскости MNP с прямой BC.
б) Найдите отношение BH : BC.
прямые PN и D1C параллельны. Значит, 
). Она будет лежать в плоскости MNP. Пусть она пересекает ребро AB в точке K, тогда 
и в частности 
— параллелограмм, поэтому 
и стороне 
и 
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды FABCD с основанием ABCD равны 7. Точки P, Q, R лежат на ребрах FA, AB и BC соответственно, причем FP = BR = 4, AQ = 3.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру FD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
по теореме о трех перпендикулярах. Кроме того, 
поэтому 
Итак, 
и 
C другой стороны, 
поэтому 
Итак, 
Значит, 
равен треугольнику 
по трем сторонам, поэтому он тоже прямоугольный. Поскольку 
, то 
Поэтому 
(как линия пересечения плоскостей 
и 
Следовательно, 
В правильной четырехугольной пирамиде FABCD с основанием ABCD все ребра равны 5. Точки M, N лежат на ребрах BC и CD соответственно, причем СМ = 3, DN = 2.
Плоскость α проходит через точки M, N и параллельна прямой FC.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру AF.
б) Вычислите площадь сечения пирамиды плоскостью α.
Заметим, что 
поскольку проекция FC на плоскость ABCD совпадает с прямой AC, а 
Кроме того, треугольники AFC и ABC равны по трем сторонам, следовательно, 
Итак, плоскость сечения параллельна двум непараллельным прямым (DB и FC), которые перпендикулярны AF. Значит, и плоскость перпендикулярна AF. 
откуда 
тогда и 
Поэтому MNPS — прямоугольник (стороны MS и PN равны и параллельны, есть прямой угол) и его площадь составляет 
Пусть KQ пересекает PS в точке T, тогда 
и 
В кубе ABCDAA1B1C1D1 на продолжении ребра BB1 отмечена точка P так, что PB : BB1 = 3 : 4. Через точки А и P параллельно прямой ВD1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DC в отношении 1 : 2.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью α, если известно, что PB = 18.
и 
Тогда 
параллелен данной плоскости. Поскольку точка A в ней лежит, то и точка M в ней лежит.
Тогда 
— параллелограмм (поскольку PB = 
, 
), значит, точка K тоже лежит в плоскости сечения и сечение — треугольник AMK. Опустим из K перпендикуляр KH на AM. Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
Теперь проведем вычисления.
В правильной треугольной пирамиде SABC точка P — середина AB, точка K — середина BC. Через точки P и K параллельно SB проведена плоскость Ω.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью Ω является прямоугольником.
б) Найдите расстояние от точки S до плоскости Ω, если известно, что SC = 5, AC = 6.
(средняя линия треугольника параллельна его стороне) и, значит, точки P, K, L, M лежат в одной плоскости. Поскольку также 
это и есть описанная в условии плоскость 
А сечение пирамиды — четырехугольник PKLM. Он параллелограмм, поскольку 
Вычислим его угол.
Поэтому любая прямая в этой плоскости перпендикулярна ML. Значит, если опустить перпендикуляр из B на TQ — это и будет искомое расстояние. Очевидно также, что T и Q — середины SH и BH соответственна, поэтому TQ — средняя линия треугольника SHB и 
Если провести в нем высоту из вершины S, она упадет в ценр треугольника ABC, то есть в точку, делящую BH в отношении 
откуда длина этой высоты равна 
Теперь можно найти нужное расстояние.
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что каждая из плоскостей BDA1 и B1D1С перпендикулярна прямой AC1.
б) Найдите объем части куба, заключенной между плоскостями BDA1 и B1D1C, если известно, что отрезок диагонали AC1, заключенный между этими плоскостями, имеет длину 
поскольку проекция 
Поэтому и 
по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
откуда 
Ясно, что и 
При этом 
поэтому отрезок диагонали, заключенный между плоскостями, равен 
откуда 
и 
равны 
откуда объем части куба между плоскостями равен 
Через середину ребра AA1 куба ABCDA1B1C1D1 перпендикулярно прямой ВD1 проведена плоскость α.
а) Докажите, что сечением куба плоскостью α является правильный шестиугольник.
б) Найдите угол между плоскостями α и ABC.
(назовем их 
соответственно) и докажем, что они все лежат в одной плоскости, перпендикулярной 
и образуют правильный шестиугольник.
а проекцией 
является 
то 
Аналогично доказывается перпендикулярность других ребер диагонали 
Поэтому все они лежат в одной плоскости — перпендикулярной к 
а 
поэтому угол шестиугольника равен 120°. Аналогично остальные углы шестиугольника равны 120°.
поскольку 
поскольку в шестиугольнике меньшая диагональ перпендикулярна стороне. Значит,
поэтому 
Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 служит параллелограмм ABCD. Точка P — середина ребра AB.
а) Докажите, что отношение объёмов многогранников, на которые разбивает призму плоскость PCD1, равно 7 : 17.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью PCD1, если известно, что AB = 8, AD = 3, AA1 = 4, ∠BAD = 120°.
Очевидно, K — середина 
имеем 
имеем 
равнобедренный, а его высота к основанию равна 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка P — середина ребра A1B1, точка M — середина ребра A1C1.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью BPM проходит через точку C.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость BPM разбивает данную призму, если известно, что AB = 6, AA1 = 4.
то 
поэтому точки P, M, B, C лежат в одной плоскости.
поскольку 
то 
— средняя линия EAC и 
баллы аналогично со второй прямой)
Числовые данные в этой задаче не нужны.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 на ребре DD1 отмечена точка O так, что 
а) Докажите, что объём данной призмы в 4,5 раза больше, чем объём пирамиды OABB1A1.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды OABB1A1, если известно, что AB = 1, DD1=3.
Перпендикуляр из O на AB и из D на AB падают в одну точку. Тогда
Дан куб ABCDA1B1C1D1.
а) Докажите, что объём пирамиды с основанием A1BCD1 и вершиной в точке B1 составляет третью часть объёма куба.
б) Найдите угол между плоскостями B1A1B и B1D1C.
Эти плоскости пересекаются по прямой 
Они упадут в середину K отрезка 
поскольку треугольники 
и 
равнобедренные. Тогда в треугольнике 
имеем
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S сторона основания равна 4. Точка L — середина ребра SC. Тангенс угла между прямыми BL и SA равен 
а) Пусть O — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые BO и LO перпендикулярны.
б) Найдите площадь поверхности пирамиды.
). Тогда координаты точек будут 
и 
Найдем угол между ними по формуле
с точностью до знака.
поэтому апофема равна 
и площадь поверхности равна 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AA1 = 7, AB = 16, AD = 6. Точка K — середина ребра C1D1.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку B перпендикулярно прямой AK, пересекает отрезок A1K.
б) Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью ABC.
Тогда координаты вершин будут 
Уравнение прямой 
тогда имеет вид 
(последнее означает, что у всех точек на прямой аппликата равна 7.
поэтому перпендикулярная к ней плоскость имеет уравнение 
причем нужно выбрать 
чтобы точка B лежала в этой плоскости.
Мы знаем, что 
поэтому 
поэтому точка лежит между точками 
и K.
и плоскостью 
и 
Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором 
Расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 5.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD1, делит отрезок BD1 в отношении 1 : 7, считая от вершины D1.
б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD1, и плоскостью основания призмы.
Значит, прямая 
а перпендикулярная ей плоскость — уравнение 
Для того, чтобы плоскость проходила через точку 
нужно взять 
имеет координаты 
Подставляя ее в уравнение плоскости, получаем 
то есть эта точка лежит и в плоскости, что и требовалось.
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 2, точка M — середина ребра AB, точка O — центр основания пирамиды, точка F делит отрезок SO в отношении 3 : 1, считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что прямая MF перпендикулярна прямой SC.
б) Найдите угол между плоскостью MBF и плоскостью ABC.
где a — высота пирамиды. Найдем ее: 
откуда 
и 
Значит, их скалярное произведение равно 
поэтому 
Подставляя туда координаты точек, находим 
(откуда 
) и 
то есть 
Пусть 
Итак, уравнение этой плоскости 
Найдем по формуле угол между ней и плоскостью 
На ребре прямоугольного параллелепипеда взята точка так, что 
, на ребре 
— точка 
так, что 
, а точка 
— середина ребра Известно, что 
, 
, 
а) Докажите, что плоскость 
проходит через вершину 
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью 
и 
по параллельным отрезкам. Имеем 
и 
Значит, треугольники 
и 
подобны, причём прямые 
и 
параллельны, прямые 
и 
тоже параллельны. Значит, прямая 
лежит в плоскости 
, опустим перпендикуляр 
из точки 
будет искомым. Найдём 
Для этого проведём в трапеции 
высоту 
(
— середина 
). Вычисляя двумя способами площадь треугольника 
, найдём 
, то есть 
Тогда тангенс искомого угла равен 6: 
В кубе ABCDA1B1C1D1точка М лежит на ребре ВВ1 так, что ВМ : В1М = 1 : 3. Через точки М и С1 параллельно BD1 проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β проходит через середину ребра АА1.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью β, если известно, что АВ = 12.
такова, что 
тогда 
и точка 
Обозначим за 
и 
на 
и 
будут подобны с коэффициентом 
откуда 
и 
точку пересечения 
на 
и 
будут подобны с коэффициентом 
откуда 
что и требовалось доказать.
точку пересечения 
Тогда 
— искомое сечение. Это трапеция. Найдем ее стороны.
площади трапеции (основание 
против суммы оснований 
при одинаковой высоте). Найдем теперь площадь треугольника со сторонами 
по формуле Герона
откуда площадь трапеции 
.В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 АВ = 2, АD = 1, АА1 = 3. Точка К лежит на ребре СС1 так, что СK : С1K = 5 : 4.
а) Докажите, что прямые DB1 и D1K перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки D1 до плоскости KА1D.
вдоль ребер 
соответственно. Тогда координаты точек будут такими
Поскольку их скалярное произведение равно нулю, они перпендикулярны.
это 
Взяв 
находим 
Тогда расстояние равно 
.В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = 4, 
Известно, что боковая грань SBC перпендикулярна основанию АВС, SB = SC, а высота пирамиды, проведенная из точки S, равна 112 . На ребрах SB и SC отмечены соответственно точки К и Р так, что ВК : SK = CP : SP = 1 : 3.
а) Докажите, что сечением пирамиды плоскостью АРК является прямоугольный треугольник.
б) Найдите объем меньшей части пирамиды, на которые её делит плоскость АРК.
(поскольку 
, 
. Тогда
Значит, 
. Поскольку 
, треугольник 
— прямоугольный. б) Эти части — пирамиды с вершиой 
, меньший объем имеет нижняя часть.
Дана правильная пирамида PABCD с вершиной в точке Р. Через точку В перпендикулярно прямой DP проведена плоскость Ω, которая пересекает DP в точке К.
а) Докажите, что прямые ВК и АС перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью Ω, если известно, что сторона основания пирамиды равна 6 и высота пирамиды равна 6.
по теореме о трех перпендикулярах.
на 
и 
Боковое ребро пирамиды равно 
Точка 
Далее, 
то есть 
имеем 
откуда 
поэтому 
и 
— середина 
имеем: 
и 
В основании треугольной пирамиды ABCD лежит правильный треугольник АВС. Боковая грань пирамиды BCD перпендикулярна основанию, BD = DC.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро ВС перпендикулярно ребру AD.
б) Найдите объём пирамиды BCМD, где М — точка пересечения ребра АD и плоскости
сечения, если сторона основания пирамиды ABCD равна 
а боковое ребро AD наклонено к плоскости основания под углом
Они упадут в одну точку — точку 
— искомое сечение.
При этом 
Значит, 
Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна 
. Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB равен 
.
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.
Опустим из M — середины BC — перпендикуляр 
на 
и 
или смежному с ним. По теореме косинусов имеем
откуда 
и 
откуда и следует утверждение.
откуда 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на ребре С1D1 взята точка К так, что КС1 = 3КD1.
а) Докажите, что плоскость АСК делит диагональ BD1 в отношении 4 : 1, считая от точки В.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости АСК, если известно, что АВ = 4, ВС = 3, СС1 = 2.
тогда 
поэтому точка 
Отмети также середину 
). Очевидно 
то есть 
делятся в том же отношении, в котором находятся ее основания, откуда и следует утверждение задачи.
Тогда по формуле Герона
откуда
В правильной пирамиде PABCD на ребрах АВ и РD взяты точки М и К соответственно, причем АМ : ВМ = 1 : 3, DK : РК = 4 : 3.
а) Докажите, что прямая ВР параллельна плоскости МСК.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью МСК, если известно, что все ребра пирамиды равны 4.
тогда 
а в трапеции 
имеем 
где 
Следовательно, 
откуда и следует утверждение задачи.
прямую 
Тогда 
и 
— искомое сечение. Вычислим длины его сторон и одной диагонали.
по трем сторонам, 
и 
В правильной треугольной пирамиде SABC точка К — середина ребра АВ. На ребре SC взята точка М так, что SM : СМ = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая МК пересекает высоту SО пирамиды в её середине.
б) Найдите расстояние между прямыми МК и АС, если известно, что АВ = 6, SA = 4.
, откуда 
что и требовалось доказать.
и следовательно 
Пусть также Q — середина 
— середина 
поскольку перпендикуляр из 
имеет проекцией на плоскость основания прямую 
то 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = ВС = 4, СС1 = 8. Точка К — середина ребра АВ, точка М — середина ребра ВС. Точка Р лежит на ребре DD1 так, что DP : PD1 = 3 : 5.
а) Докажите, что плоскость КМР перпендикулярна прямой DВ1.
б) Найдите объем пирамиды, основанием которой является сечение параллелепипеда плоскостью КМР, а вершиной — точка D.
направленными вдоль прямых 
соответственно. Тогда координаты точек будут такими: 
Допустим уравнение плоскости 
имеет вид 
тогда
Пусть 
тогда 
и получаем уравнение 
имеет координаты 
он перпендикулярен данной плоскости (ее вектор нормали 
).
и еще двумя на ребрах 
площади 
Кроме того, 
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точка К — середина ребра АВ.
а) Докажите, что плоскость СКD1 делит объем параллелепипеда в отношении 7 : 17.
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости СКD1, если известно, что ребра АВ, АD и АА1 попарно перпендикулярны и равны соответственно 6, 4 и 6.
тогда 
Значит, точка 
и сечение — трапеция 
Вычислим теперь объем одной из частей (за 
соответственно. Тогда координаты точек будут такими: 
Написав уравнение плоскости, проходящей через них, получим 
Тогда расстояние от точки 
до этой плоскости составит 
На боковых ребрах EA, EB, EC правильной четырехугольной пирамиды ABCDE расположены точки M, N, K соответственно, причем EM : EA = 1 : 2, EN : EB = 2 : 3, EK : EC = 1 : 3 .
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки M, N, K.
б) В каком отношении плоскость (MNK) делит объем пирамиды?
Пусть 
в точке 
Тогда 
— искомое сечение.
до пересечения с 
в точке 
откуда 
то есть 
Поскольку треугольники 
и 
равны по стороне и двум углам, то 
и 
подобны по двум углам с коэффициентом 
то 
откуда 
Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.
а) Докажите, что угол между плоскостью SAC и плоскостью, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания, равен 45°.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.
то 
Поскольку площадь одной боковой грани равна 
то высота ее 
и высота пирамиды равна 
Значит, 
Основание и высота правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равны AB=6, AA1=4.
а) Найдите угол между прямыми A1B и B1C.
б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1C.
(и 
). Тогда 
поскольку 
— средняя линия 
Поэтому 
Найдем его из теоремы косинусов.
откуда 
(в треугольнике получается тупой угол, но угол между прямыми должен быть острым).
б) В кубе ABCDA1B1C1D1 точка О1 — центр квадрата АВСD, точка О2 — центр квадрата СС1D1D.
а) Докажите, что прямые А1О1 и В1О2 — скрещивающиеся.
б) Найдите расстояние между прямыми А1О1 и В1О2, если ребро куба равно 2.
лежат в одной плоскости. Тогда в ней же лежат прямые, проходящие через 
параллельные 
Они вместе с 
в которой не лежит 
соответственно. Тогда координаты точек будут такими: 
Если отложить вектор 
от точки 
то его конец 
Написав уравнение плоскости, проходящей через 
получим 
Тогда расстояние от точки 
до этой плоскости составит Основание пирамиды DABC — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Высота пирамиды проходит через середину ребра AC, а боковая грань ACD — равносторонний треугольник.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро BC и произвольную точку M ребра AD, — прямоугольный треугольник.
б) Найдите расстояние от вершины D до этой плоскости, если M — середина ребра AD, а высота пирамиды равна 6.
это тоже 
поскольку 
(медиана равностороннего треугольника совпадает с высотой) и 
(поскольку ее проекция — прямая 
поэтому искомое расстояние равно 
На боковых ребрах DB и DC треугольной пирамиды ABCD расположены точки М и N так, что ВМ = MD и CN : ND = 2 : 3. Через вершину А основания пирамиды и точки М и N проведена плоскость α, пересекающая медианы боковых граней, проведенные из вершины D, в точках К, R и Т.
а) Докажите, что площадь треугольника KTR составляет 5/22 от площади сечения пирамиды плоскостью α.
б) Найти отношение объемов пирамид KRTC и ABCD.
стороны треугольника 
Тогдаэто точка пересечения медиан грани 
откуда 
в точке 
Тогда 
и 
откуда 
В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD , в которой ВС||AD и AD : BC = 2. Через вершину Т пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке М такой, что АМ : MB = 2. Площадь получившегося сечения равна 10, а расстояние от ребра ВС до плоскости сечения равно 4.
а) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7 : 20.
б) Найдите объем пирамиды.
Тогда 
поэтому лежит в плоскости сечения. Значит, сечение — треугольник 
Она делит пирамиду на две пирамиды с общей высотой, поэтому отношение их объемов равно 
В правильной шестиугольной пирамиде PABCDEF боковое ребро наклонено к основанию под углом 
а) Докажите, что плоскости АРВ и DPE перпендикулярны.
б) Найдите отношение радиуса сферы, касающейся всех граней пирамиды, к радиусу сферы, проходящей через все вершины пирамиды.
тогда 
Поскольку 
треугольник 
— прямоугольный. Значит, и плоскости содержащих их граней перпендикулярныы,поскольку грани пересекаются по некоторой прямой, проходящей через 
перпендикулярны прямой пересечения этих плоскостей.
а радиус описанной сферы — радиусу описанной окружности 
Теперь вычислим.
Основанием пирамиды FABCD является квадрат ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды лежит на отрезке АС и делит его в отношении AO : OC = 4 : 1. Угол ADF равен 90°.
а) Докажите, что ребро FC перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
б) Найдите разность объемов пирамид FABCD и EABD, если известно, что АВ = 1.
на плоскость основания пирамиды это 
перпендикулярна 
проекция точки 
то есть 
Осталось найти 
Как известно, в прямоугольном треугольнике 
выполнено равенство 
откуда 
и окончательный ответ 
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 
а высота СС1 равна 7,5. На ребре B1C1 отмечена точка Р так, что B1P:PC1 = 1 : 3. Точки Q и М являются серединами сторон АВ и A1C1 соответственно. Плоскость α параллельна прямой АС и проходит через точки Р и Q.
а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости α.
б) Найдите расстояние от точки М до плоскости α.
и 
параллельные 
Пусть 
— середина ребра 
- проекция 
основания, поэтому и 
такая, что 
Тогда 
и Значит, 
— проекция 
Если мы докажем, что 
то и 
и тогда 
поэтому 
— параллелограмм и 
Осталось проверить, что треугольник 
— прямоугольный. 
Доказано.
Опустим перпендикуляр из 
Поскольку он лежит в плоскости 
он будет заодно перпендикулрен и прямой 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны ребра АВ = 6, AD = 12, AA1 = 10. Точка Е принадлежит отрезку BD, причем ВЕ : ED = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки А, Е и середину ребра ВВ1.
а) Докажите, что сечение параллелепипеда плоскостью α является равнобедренным треугольником.
б) Найдите расстояние от точки В1 до плоскости сечения.
Тогда сечение — треугольник 
Треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
Значит, 
тогда 
и треугольник равнобедренный.
где 
поскольку перпендикуляр из 
перпендикулярен и к 
— перпендикулярна к 
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со стороной АВ = 4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды. Плоскость α, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает ребро SA в точке М, причем SM : MA = 1 : 2.
а) Докажите, что SA перпендикулярно α.
б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α.
Тогда указанная плоскость — это плоскость 
которая перпендикулярна главной диагонали куба. 
а также 
и 
Назовем из 
Тогда сечение — четырехугольник 
с перпендикулярными диагоналями (поскольку 
и 
). Тогда
В основании треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник АВС, где АВ = ВС = 5, АС = 6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом, синус которого равен 
а) Постройте сечение, проходящее через центр описанной окружности основания и перпендикулярное прямой BD
б) Найдите расстояние от прямой BD до прямой АС.
Построим на 
тогда 
Значит, 
поэтому треугольник BCO — остроугольный.
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит прямоугольная трапеция АВСD с основаниями ВС и АD (ВС < АD), в которой АВ = 5, CD = 4, ВС = 6. Через точку С и середину ребра ВВ1 параллельно B1D проведена плоскость β.
а) Докажите, что плоскость β пересекает ребро АА1 в такой точке Р, что А1Р = 3АР.
б) Найдите объем пирамиды с вершиной в точке В, основанием которой служит сечение призмы плоскостью β, если известно, что ВВ1 = 16.
Обозначим середину 
тогда 
и Значит, точка 
до пересечения с 
тогда 
— параллелограмм (
) и даже прямоугольник, Значит, 
и 
из-за параллельности граней 
и 
Тогда треугольники 
и 
подобны с коэффициентом 
откуда 
что и требовалось. 
В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1 лежит ромб ABCD, причем AB = BD.
Точки М и N — середины ребер В1С1 и АВ соответственно.
а) Докажите, что сечение призмы плоскостью MND1 — многоугольник с прямым углом при вершине D1.
б) Найдите площадь указанного сечения, если AB = 8, AA1 = 
— равносторонний, как и треугольник 
поэтому 
то есть 
Ясно, что 
поэтому 
поскольку проекция 
на плоскость верхнего основания — прямая 
Проведем в грани 
и обозначим ее точку пересечения с ребром 
Тогда сечение — пятиугольник 
Рассмотрим его проекцию на нижнее основание — пятиугольник 
По известной формуле имеем 
поскольку плоскости пересекаются по прямой 
и прямые 
и 
НА ребрах NN1 и KN куба KLMNK1L1M1N1 отмечены такие точки P и Q, что 
Через точки M1, P, Q проведена плоскость.
а) Докажите, что плоскость делит объем куба в отношении 61 : 89
б) Найдите расстояние от точки K до плоскости сечения, если ребро куба равно 3.
поэтому сечение — трапеция 
Пусть ребро куба равно 
Вычислим объем одной из частей.
по формуле объема усеченной пирамиды. Значит,
откуда и следует нужный ответ.
высота равна 
Это заодно равно высоте треугольника 
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 АВ = 5, AD = 6, AA1 = 8, точка К — середина ребра DD1.
а) Докажите, что прямые ВС и КС1 перпендикулярны.
б) Найдите отношение объемов, на которые делится прямоугольный параллелепипед плоскостью ВКС1.
на плоскость нижнего основания — прямая 
что и требовалось.
тогда 
поэтому 
— сечение. Вычислим объем одной из частей по формуле для объема усеченной пирамиды.
Размеры параллелепипеда в этой задаче неважны.
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания равны 4, а боковые ребра 5.
а) Докажите, что плоскость A1C1E1 перпендикулярна плоскости BB1E1.
б) Найдите угол между плоскостями A1C1E1 и ABC.
и 
Значит, 
а тогда и 
Тогда
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Пусть l — линия пересечения плоскостей АСD1 и ВDC1.
а) Докажите, что прямые DB1 и l перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми DB1 и l, если ребро куба равно 2.
и 
поэтому прямая, проходящая через них, и есть прямая 
Очевидно, она является средней линией треугольника 
поэтому параллельна 
Наконец, 
поскольку проекция 
на грань 
Она перпендикулярна прямой 
до прямой 
Назовем эту точку 
проекция поделит 
в отношении 
а если на 
В треугольной пирамиде ABCD длины всех рёбер равны. Точка Р равноудалена от вершин А и D, причём известно, что PB = PC и прямая РВ перпендикулярна высоте треугольника АСD, опущенной из вершины D.
а) Докажите, что точка Р лежит на пересечении высот пирамиды ABCD.
б) Вычислите объем пирамиды ABCD, если известно, что 
Итак, 
перпендикулярно двум пересекающимся прямым в плоскости 
поэтому 
Итак, точка 
и сама высота по теореме Пифагора 
находим 
Тогда
В основании SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 
все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS — точка F так, что SF = BE = 3.
а) Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.
б) Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.
а высота пирамиды равна 
поскольку высота падает в точку пересечения диагоналей основания (из-за равенства боковых ребер). Проведем 
и будем доказывать, что 
и 
пересекают высоту 
пирамиды в одной точке. Тогда прямые лежат в одной плоскости.
, откуда 
Тогда 
, откуда 
Значит, 
имеем 
поэтому 
Пройти тестирование по этим заданиям
Здравствуйте, объясните пожалуйста откуда взялась точка O?
Добрый день, О - точка пересечения медиан.