СДАМ ГИА






Каталог заданий. Окружности
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
1
Задания Д10 C4 № 505595

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C — другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает отрезок AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.

а) Доказать, что площади треугольников ABC и ABF равны.

б) Найти отношение AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 41.

2
Задания Д10 C4 № 505601

Точки A, B, C лежат на окружности радиуса 2 с центром O, а точка K — на прямой, касающейся этой окружности в точке B, причем угол AKC равен 46°, а длины отрезков AK, BK, CK образуют возрастающую геометрическую прогрессию ( в указанном порядке).

а) Докажите, что углы ACK и AOK равны.

б) Найдите расстояние между точками A и C.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 42.

3
Задания Д10 C4 № 505607

В четырехугольнике ABCD,вписанном в окружность, биссектрисы углов A и B пересекаются в точке E, лежащей на стороне CD. Известно, что CD : BC = 3 : 2.

а) Доказать, что расстояния от точки E до прямых AD и BC равны.

б) Найти отношение площадей треугольников ADE и BCE.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 43.

4
Задания Д10 C4 № 505637

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Прямая, проходящая через точку A, пересекает первую окружность в точке B, а вторую — в точке C. Касательная к первой окружности, проходящая через точку B, пересекает вторую окружность в точках D и E (D лежит между B и E). Известно, что AB = 5, AC = 4. Точка O — центр окружности, касающейся отрезка AD и продолжений отрезков ED и EA за точки D и A соответственно.

а) Докажите, что

б) Найдите длину отрезка CE.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 47.

5
Задания Д10 C4 № 505643

Через вершины B и C треугольника ABC проходит окружность, пересекающая стороны AB и AC соответственно в точках K и M.

а) Доказать, что треугольники ABC и AMK подобны.

б) Найти MK и AM, если AB = 2, BC = 4, CA = 5, AK = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 48.

6
Задания Д10 C4 № 505661

В треугольнике KLM угол L тупой, а сторона KM равна 6. Центр O окружности, проходящей через вершины K, M и точку пересечения высот треугольника KLM лежит на окружности, описанной около треугольника KLM.

а) Докажите, что угол KOM равен 120°.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KLM.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 51.

7
Задания Д10 C4 № 505667

Две окружности с центрами O и Q пересекаются друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причем площади треугольников OAE и QAE равны соответственно 18 и 42.

а) Докажите, что треугольники AQO и BDC подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника OAQD.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 52.

8
Задания Д10 C4 № 505679

В окружности проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке E, причем касательная к окружности, проходящая через точку A, параллельна BD. Известно, что CD : ED = 3 : 2, а площадь треугольника ABE равна 8.

а) Докажите, что треугольник ABD — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 54.

9
Задания Д10 C4 № 505781

Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причём CE = DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M.

а) Докажите подобие треугольников ACE и OKB, где O — центр данной окружности.

б) Найдите площадь треугольника CKM, если AB = 10, AE = 1.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 71.

10
Задания Д10 C4 № 505799

Окружность касается сторон угла с вершиной O в точках A и B. На этой окружности внутри треугольника AOB взята точка С. Из точки С на прямые OA, OB и AB опущены перпендикуляры соответственно CK, CL и CM.

а) Докажите подобие треугольников AKC и BMC, AMC и BLC.

б) Найдите CM, если CK = 4, CL = 9.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 74.

11
Задания Д10 C4 № 505867

Две окружности касаются в точке O, причем радиус окружности с центром в точке O' больше, чем радиус окружности с центром в точке O''. Прямая O'O'' пересекает меньшую окружность в точке K (K отлично от O). Отрезок O'K = a. Прямая t касается большей окружности в точке P так, что угол O''O'P — прямой. Отрезок PK = b. Найдите площадь треугольника OO'P.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 4.

12
Задания Д10 C4 № 505879

В системе координат задана точка M (x; y), x > 0, y > 0. Дана окружность с центром в точке M радиуса r, причем любая точка окружности имеет положительные координаты. Прямая, проходящая через точку O (0; 0) и через точку M, пересекает окружность в точках K и P, причем ордината точки K меньше, чем ордината точки P. Прямая, которая касается окружности в точке K, пересекает прямые x = 0 и y = 0 в точках A и B.

Найдите площадь треугольника OKB.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 6.

13
Задания Д10 C4 № 505939

В окружности проведены хорды KL, MN, PS. Хорды KL, PS пересекаются в точке С, хорды KL, MN пересекаются в точке А, хорды MN и PS пересекаются в точке В, причем AL = CK, AM = BN, BS = 5, BC = 4. Найдите радиус окружности, если величина угла ВАС равна 45 градусам.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 16.

14
Задания Д10 C4 № 505975

Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и прямой, проходящей через центры данных.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 22.

15
Задания Д10 C4 № 505987

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности равен 25, а вписанной в него окружности — 12. Найдите стороны треугольника.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 24.

16
Задания Д10 C4 № 506041

Окружности радиусов 3 и 8 касаются друг друга. Через центр одной из них проведены две прямые, каждая из которых касается другой окружности (точки A и B — точки касания). Найдите расстояние между точками A и B.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 33.

17
Задания Д10 C4 № 508133

Биссектрисы AN и BMтреугольника ABC пересекаются в точке О, причем В четырехугольник ONCM вписана окружность.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92.

18
Задания Д10 C4 № 508603

CA и СВ — касательные к окружности в точках А и В соответственно, АD — её диаметр. Прямые ВD и АС пересекаются в точке E.

А) Докажите, что точка С – середина отрезка АЕ.

Б) Найдите сумму радиусов окружностей, вписанных в  треугольники ABEABD и AED, если известно, что ВA = 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102.

19
Задания Д10 C4 № 511233

К двум окружностям с центрами O1 и O2 и радиусами 6 и 3 проведены три общие касательные: одна внутренняя и две внешних. Пусть A и B — точки пересечения общей внутренней касательной с общими внешними.

а) Докажите, что около четырехугольника O1AO2B можно описать окружность.

б) Найдите расстояние между точками касания окружностей с их общей внутренней касательной, если известно, что O1O2 = 15.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 124.

20
Задания Д10 C4 № 511247

Точка M лежит на диаметре AB окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от AB, причем ∠CMA = ∠DMB.

а) Докажите, что ∠OCM = ∠ODM.

б) Найдите площадь четырехугольника COMD, если известно, что OM = 4, BM = 2, ∠CMA = ∠DMB = 45°.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 126.

21
Задания Д10 C4 № 511832

Окружность проходит через вершину С прямоугольника ABCD, касается стороны AB, пересекает сторону CD в точке M и касается стороны AD в точке K.

А) Докажите, что угол CKD равен углу KMD.

Б) Найдите сторону AB, зная, что AD = 18, DM = 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 112.

22
Задания Д10 C4 № 511900

Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены диаметры АС и АD этих окружностей.

а) Докажите, что точки DВ и С лежат на одной прямой.

б) Найдите произведение  АD ∙ АС, если известно, что АВ = 8, а диаметр окружности, описанной около треугольника АDС, равен 10.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 118.

23
Задания Д10 C4 № 512004

Окружность ω1 с центром O1 и окружность ω2 с центром O2 касаются внешним образом. Из точки O1 к ω2 проведена касательная O1A, а из точки O2 к ω1 проведена касательная O1B (А и В — точки касания).

А) Докажите, что углы O1AB и O1O2B равны.

Б) Найдите площадь четырехугольника O1O2AB, если известно, что точки касания А и В лежат по одну сторону от прямой O1O2, а радиусы окружностей равны соответственно 2 и 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 120.

24
Задания Д10 C4 № 513207

В окружности проведены хорды АС и ВD, пересекающиеся в точке О, причем касательная к окружности, проходящая через точку С, параллельна ВD.

а) Докажите, что DC2 = АС ∙ СО.

б) Найдите площадь треугольника СDО, если известно, что AB : ВО = 3 : 1, а площадь треугольника АСD равна 36.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 142.

25
Задания Д10 C4 № 513221

Две окружности касаются внутренним образом в точке А так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке K. Прямые AB и АС вторично пересекают меньшую окружность в точках P и M соответственно.

а) Докажите, что PM || BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если PM = 12, а радиус большей окружности равен 20. 

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 144.

26
Задания Д10 C4 № 505715

Продолжение общей хорды AB двух пересекающихся окружностей радиусов 8 и 2 пересекает их общую касательную в точке C, точка A лежит между B и C, а M и N — точки касания.

а) Докажите, что отношение расстояний от точки C до прямых AM и AN равно

б) Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, M и N.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 60.

27
Задания Д10 C4 № 505823

На диаметре AB полукруга взята точка С и в полукруге на отрезках AC и CB как на диаметрах построены два полукруга. Из точки C восставлен препендикуляр к AB и с обеих сторон от него построены два круга, касающиеся как этого перпендикуляра, так и обоих полукругов.

а) Докажите, что радиусы построенных кругов равны.

б) Найдите их радиусы, если AB = 12 и AC : CD = 1 : 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 78.

28
Задания Д10 C4 № 505951

Две окружности касаются внешним образом. Прямая касается первой окружности в точке M и пересекает вторую окружность в точках A и B. Найдите радиус первой окружности, если известно, что AB = 12, MB = 6, а радиус второй окружности равен 10.


29
Задания Д10 C4 № 506047

Две окружности касаются внутренним образом. Хорда AB большей окружности касается меньшей окружности в точке M. Найдите радиус меньшей окружности, если известно, что длины отрезков AM = 28, MB = 4, а радиус большей окружности равен 20.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 34.

30
Задания Д10 C4 № 513794

Окружности ω1 и ω2 касаются внешним образом. A1A2 и B1B2 — их общие внешние касательные (A1 и B1 — точки касания с ω1, A2 и B2 — точки касания с ω2).

а) Докажите, что расстояние между хордами A1B1 и A2B2 равно среднему гармоническому диаметров окружностей. (средним  гармоническим двух положительных чисел а и b называется значение выражения 

б) Найдите площадь четырехугольника A1А2B2В1, если радиусы окружностей равны соответственно 9 и 4.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 151.

31
Задания Д10 C4 № 514591

Точка O — середина отрезка AC. На отрезках AC и AO, как на диаметрах, построены две окружности. Хорда CK одной из них касается другой окружности в точке P.

а) Докажите, что

б) Найдите площадь треугольника AKC, если известно. что OC = 3.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 159.

32
Задания Д10 C4 № 514598

Три окружности, две из которых одинакового радиуса, попарно касаются друг друга внешним образом в точках A, B и C.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите радиус круга, вписанного в четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, O, если известно, что радиусы окружностей 6; 6 и 4, а точка O — центр меньшей из них.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 160.

Пройти тестирование по этим заданиям



     О проекте · Редакция

© Гущин Д. Д., 2011—2017


СПб ГУТ! С! Ф! У!