Через вер­ши­ны A и B тре­уголь­ни­ка ABC про­ве­де­на окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой BC, а через вер­ши­ны B и C  — дру­гая окруж­ность, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой AB. Про­дол­же­ние общей хорды BD этих окруж­но­стей пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок AC в точке E, а про­дол­же­ние хорды AD одной окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ет дру­гую окруж­ность в точке F.

а)  До­ка­зать, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков ABC и ABF равны.

б)  Найти от­но­ше­ние AE : EC, если AB = 5 и BC = 9.

Точки A, B, C лежат на окруж­но­сти ра­ди­у­са 2 с цен­тром O, а точка K  — на пря­мой, ка­са­ю­щей­ся этой окруж­но­сти в точке B, при­чем угол AKC равен 46°, а длины от­рез­ков AK, BK, CK об­ра­зу­ют воз­рас­та­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию ( в ука­зан­ном по­ряд­ке).

а)  До­ка­жи­те, что углы ACK и AOK равны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и C.

В че­ты­рех­уголь­ни­ке ABCD, впи­сан­ном в окруж­ность, бис­сек­три­сы углов A и B пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, ле­жа­щей на сто­ро­не CD. Из­вест­но, что CD : BC = 3 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ния от точки E до пря­мых AD и BC равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков ADE и BCE.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точке A. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке B, а вто­рую  — в точке C. Ка­са­тель­ная к пер­вой окруж­но­сти, про­хо­дя­щая через точку B, пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точ­ках D и E (D лежит между B и E). Из­вест­но, что AB = 5, AC = 4. Точка O  — центр окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся от­рез­ка AD и про­дол­же­ний от­рез­ков ED и EA за точки D и A со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка CE.

Через вер­ши­ны B и C тре­уголь­ни­ка ABC про­хо­дит окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AC со­от­вет­ствен­но в точ­ках K и M.

а)  До­ка­зать, что тре­уголь­ни­ки ABC и AMK по­доб­ны.

б)  Найти MK и AM, если AB = 2, BC = 4, CA = 5, AK = 1.

В тре­уголь­ни­ке KLM угол L тупой, а сто­ро­на KM равна 6. Центр O окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через вер­ши­ны K, M и точку пе­ре­се­че­ния высот тре­уголь­ни­ка KLM лежит на окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM.

а)  До­ка­жи­те, что угол KOM равен 120°.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка KLM.

Две окруж­но­сти с цен­тра­ми O и Q пе­ре­се­ка­ют­ся друг с дру­гом в точ­ках A и B, пе­ре­се­ка­ют бис­сек­три­су угла OAQ в точ­ках C и D со­от­вет­ствен­но. От­рез­ки OQ и AD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, при­чем пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков OAE и QAE равны со­от­вет­ствен­но 18 и 42.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AQO и BDC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка OAQD.

В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды AC и BD, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке E, при­чем ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­хо­дя­щая через точку A, па­рал­лель­на BD. Из­вест­но, что CD : ED = 3 : 2, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABE равна 8.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABD  — рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Диа­метр AB и хорда CD окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E, причём CE  =  DE. Ка­са­тель­ные к окруж­но­сти в точ­ках B и C пе­ре­се­ка­ют­ся в точке K. От­рез­ки AK и CE пе­ре­се­ка­ют­ся в точке M.

а)  До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков ACE и OKB, где O  — центр дан­ной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка CKM, если AB  =  10, AE  =  1.

Окруж­ность ка­са­ет­ся сто­рон угла с вер­ши­ной O в точ­ках A и B. На этой окруж­но­сти внут­ри тре­уголь­ни­ка AOB взята точка С. Из точки С на пря­мые OA, OB и AB опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры со­от­вет­ствен­но CK, CL и CM.

а)  До­ка­жи­те по­до­бие тре­уголь­ни­ков AKC и BMC, AMC и BLC.

б)  Най­ди­те CM, если CK = 4, CL = 9.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся в точке O, при­чем ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O' боль­ше, чем ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O''. Пря­мая O'O'' пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке K (K от­лич­но от O). От­ре­зок O'K = a. Пря­мая t ка­са­ет­ся боль­шей окруж­но­сти в точке P так, что угол O''O'P  — пря­мой. От­ре­зок PK = b. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка OO'P.

В си­сте­ме ко­ор­ди­нат за­да­на точка M (x; y), x > 0, y > 0. Дана окруж­ность с цен­тром в точке M ра­ди­у­са r, при­чем любая точка окруж­но­сти имеет по­ло­жи­тель­ные ко­ор­ди­на­ты. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку O (0; 0) и через точку M, пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точ­ках K и P, при­чем ор­ди­на­та точки K мень­ше, чем ор­ди­на­та точки P. Пря­мая, ко­то­рая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке K, пе­ре­се­ка­ет пря­мые x = 0 и y = 0 в точ­ках A и B.

Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка OKB.

В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды KL, MN, PS. Хорды KL, PS пе­ре­се­ка­ют­ся в точке С, хорды KL, MN пе­ре­се­ка­ют­ся в точке А, хорды MN и PS пе­ре­се­ка­ют­ся в точке В, при­чем AL = CK, AM = BN, BS = 5, BC = 4. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если ве­ли­чи­на угла ВАС равна 45 гра­ду­сам.

Две окруж­но­сти ра­ди­у­сов R и r (R > r) ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Най­ди­те ра­ди­у­сы окруж­но­стей, ка­са­ю­щих­ся обеих дан­ных окруж­но­стей и пря­мой, про­хо­дя­щей через цен­тры дан­ных.

Ра­ди­ус опи­сан­ной около рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти равен 25, а впи­сан­ной в него окруж­но­сти  — 12. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка.

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 3 и 8 ка­са­ют­ся друг друга. Через центр одной из них про­ве­де­ны две пря­мые, каж­дая из ко­то­рых ка­са­ет­ся дру­гой окруж­но­сти (точки A и B  — точки ка­са­ния). Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B.

Бис­сек­три­сы AN и BMтре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О, при­чем В че­ты­рех­уголь­ник ONCM впи­са­на окруж­ность.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

CA и СВ  — ка­са­тель­ные к окруж­но­сти в точ­ках А и В со­от­вет­ствен­но, АD  — её диа­метр. Пря­мые ВD и АС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

А)  До­ка­жи­те, что точка С – се­ре­ди­на от­рез­ка АЕ.

Б)  Най­ди­те сумму ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в  тре­уголь­ни­ки ABE, ABD и AED, если из­вест­но, что ВA  =  12.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом. Тре­тья окруж­ность ка­са­ет­ся пер­вых двух и их линии цен­тров.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в цен­трах трёх окруж­но­стей равен диа­мет­ру наи­боль­шей их этих окруж­но­стей.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус тре­тьей окруж­но­сти, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы пер­вых двух равны 6 и 2.

К двум окруж­но­стям с цен­тра­ми O₁ и O₂ и ра­ди­у­са­ми 6 и 3 про­ве­де­ны три общие ка­са­тель­ные: одна внут­рен­няя и две внеш­них. Пусть A и B  — точки пе­ре­се­че­ния общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной с об­щи­ми внеш­ни­ми.

а)  До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка O₁AO₂B можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния окруж­но­стей с их общей внут­рен­ней ка­са­тель­ной, если из­вест­но, что O₁O₂  =  15.

Точка M лежит на диа­мет­ре AB окруж­но­сти с цен­тром О. С и D  — точки окруж­но­сти, рас­по­ло­жен­ные по одну сто­ро­ну от AB, при­чем ∠CMA = ∠DMB.

а)  До­ка­жи­те, что ∠OCM = ∠ODM.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка COMD, если из­вест­но, что OM  =  4, BM  =  2, ∠CMA = ∠DMB  =  45°.

Окруж­ность про­хо­дит через вер­ши­ну С пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, ка­са­ет­ся сто­ро­ны AB, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке M и ка­са­ет­ся сто­ро­ны AD в точке K.

А)  До­ка­жи­те, что угол CKD равен углу KMD.

Б)  Най­ди­те сто­ро­ну AB, зная, что AD = 18, DM = 4.

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках А и В. Через точку А про­ве­де­ны диа­мет­ры АС и АD этих окруж­но­стей.

а)  До­ка­жи­те, что точки D, В и С лежат на одной пря­мой.

б)  Най­ди­те про­из­ве­де­ние  АD ∙ АС, если из­вест­но, что АВ = 8, а диа­метр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АDС, равен 10.

Окруж­ность ω₁ с цен­тром O₁ и окруж­ность ω₂ с цен­тром O₂ ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. Из точки O₁ к ω₂ про­ве­де­на ка­са­тель­ная O₁A, а из точки O₂ к ω₁ про­ве­де­на ка­са­тель­ная O₁B (А и В  — точки ка­са­ния).

А)  До­ка­жи­те, что углы O₁AB и O₁O₂B равны.

Б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка O₁O₂AB, если из­вест­но, что точки ка­са­ния А и В лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой O₁O₂, а ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 2 и 3.

В окруж­но­сти про­ве­де­ны хорды АС и ВD, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке О, при­чем ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­хо­дя­щая через точку С, па­рал­лель­на ВD.

а)  До­ка­жи­те, что DC²  =  АС ∙ СО.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка СDО, если из­вест­но, что AB : ВО  =  3 : 1, а пло­щадь тре­уголь­ни­ка АСD равна 36.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке А так, что мень­шая окруж­ность про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке K. Пря­мые AB и АС вто­рич­но пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках P и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что PM || BC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если PM  =  12, а ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 20. 

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках P и Q. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке A, а вто­рую  — в точке D. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку Q па­рал­лель­но AD, вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке B, а вто­рую  — в точке C.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник ABCD  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние BP : PC, если ра­ди­ус пер­вой окруж­но­сти вдвое боль­ше ра­ди­у­са вто­рой.

Про­дол­же­ние общей хорды AB двух пе­ре­се­ка­ю­щих­ся окруж­но­стей ра­ди­у­сов 8 и 2 пе­ре­се­ка­ет их общую ка­са­тель­ную в точке C, точка A лежит между B и C, а M и N  — точки ка­са­ния.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние рас­сто­я­ний от точки C до пря­мых AM и AN равно

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точки A, M и N.

На диа­мет­ре AB по­лу­кру­га взята точка С и в по­лу­кру­ге на от­рез­ках AC и CB как на диа­мет­рах по­стро­е­ны два по­лу­кру­га. Из точки C вос­став­лен пре­пен­ди­ку­ляр к AB и с обеих сто­рон от него по­стро­е­ны два круга, ка­са­ю­щи­е­ся как этого пер­пен­ди­ку­ля­ра, так и обоих по­лу­кру­гов.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­у­сы по­стро­ен­ных кру­гов равны.

б)  Най­ди­те их ра­ди­у­сы, если AB = 12 и AC : CD  =  1 : 3.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом. Хорда AB боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей окруж­но­сти в точке M. Най­ди­те ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти, если из­вест­но, что длины от­рез­ков AM = 28, MB = 4, а ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 20.

Окруж­но­сти ω₁ и ω₂ ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом. A₁A₂ и B₁B₂  — их общие внеш­ние ка­са­тель­ные (A₁ и B₁  — точки ка­са­ния с ω₁, A₂ и B₂  — точки ка­са­ния с ω₂).

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между хор­да­ми A₁B₁ и A₂B₂ равно сред­не­му гар­мо­ни­че­ско­му диа­мет­ров окруж­но­стей. (сред­ним  гар­мо­ни­че­ским двух по­ло­жи­тель­ных чисел а и b на­зы­ва­ет­ся зна­че­ние вы­ра­же­ния 

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка A₁А₂B₂В₁, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 9 и 4.

Точка O  — се­ре­ди­на от­рез­ка AC. На от­рез­ках AC и AO, как на диа­мет­рах, по­стро­е­ны две окруж­но­сти. Хорда CK одной из них ка­са­ет­ся дру­гой окруж­но­сти в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKC, если из­вест­но. что OC  =  3.

Три окруж­но­сти, две из ко­то­рых оди­на­ко­во­го ра­ди­у­са, по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точ­ках A, B и C.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус круга, впи­сан­но­го в четырёхуголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A, B, C, O, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей 6; 6 и 4, а точка O  — центр мень­шей из них.

Дана окруж­ность. Про­дол­же­ния диа­мет­ра АВ и хорды РК пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 30° в точке С. Из­вест­но, что СВ : АВ  =  1 : 4; АК пе­ре­се­ка­ет ВР в точке Т.

а)  До­ка­жи­те, что АР : АТ  =  3 : 4.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках А, В, Р и К, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 4.

Окруж­но­сти с цен­тра­ми в точ­ках А, В и С и ра­ди­у­са­ми, рав­ны­ми а, b и с со­от­вет­ствен­но, по­пар­но ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точка К, М, Р.

а)   До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка КМР к пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АВС равно

б)   Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка КМР, если из­вест­но, что а  =  6, b  =  7, с  =  1.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке K. Пусть AB  — хорда боль­шей окруж­но­сти, ка­са­ю­ща­я­ся мень­шей окруж­но­сти в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что KL  — бис­сек­три­са угла AKB.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка KL, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы боль­шей и мень­шей окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 6 и 2, а угол АKB равен 90°.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точке К. Пря­мая р ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке М, а вто­рой  — в точке N.

а)  До­ка­жи­те что рас­сто­я­ние от точки К до пря­мой р равно

б)   Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNK, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны со­от­вет­ствен­но 12 и 3.

Ги­по­те­ну­за AB пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC яв­ля­ет­ся хор­дой окруж­но­сти ω ра­ди­у­са 10. Вер­ши­на C лежит на диа­мет­ре окруж­но­сти ω, ко­то­рый па­рал­ле­лен ги­по­те­ну­зе. Угол CAB равен 75°.

а)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­сти ω и окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B. Через точку B про­ве­де­на пря­мая, пе­ре­се­ка­ю­щая окруж­но­сти в точ­ках C и D, ле­жа­щих по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой AB. Ка­са­тель­ные к этим окруж­но­стям в точ­ках C и D пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка ACED можно опи­сать окруж­ность

б)  Най­ди­те AE, если AB  =  10, AC  =  16, AD  =  15.

В тре­уголь­ни­ке ABC угол B равен 60°. Через точки A и B про­ве­де­на окруж­ность ра­ди­у­са 3, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой AC в точке A. Через точки В и С про­ве­де­на окруж­ность ра­ди­у­са 4, ка­са­ю­ща­я­ся пря­мой AC в точке C.

а)  Най­ди­те длину сто­ро­ны АС.

б)  Най­ди­те длину общей хорды этих окруж­но­стей.

Окруж­ность, впи­сан­ная в рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, ка­са­ет­ся ос­но­ва­ния AC в точке D и бо­ко­вой сто­ро­ны AB в точке E. Точка F  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, а точка G  — точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­сти и от­рез­ка FD, от­лич­ная от D. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­хо­дя­щая через точку G, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке H. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те

В тре­уголь­ни­ке ABC про­ве­ли вы­со­ты AA₁ и BB₁. Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка ANA₁, где точка N  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AB, пе­ре­сек­ла пря­мую A₁B₁ в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AK ка­са­ет­ся окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей че­ты­рех­уголь­ни­ка ABA₁B₁ и тре­уголь­ни­ка CA₁B₁, если ∠ABC  =  45°, AB₁  =  BN  =  1.

Окруж­но­сти, по­стро­ен­ные на сто­ро­нах AB и CD па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD, как на диа­мет­рах, ка­са­ют­ся в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что ABCD  — ромб.

б)  Пусть P и Q  — точки пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма за точки A и D с общей ка­са­тель­ной к окруж­но­стям. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка PQC, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 2, а синус угла BAD равен

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся друг друга внеш­ним об­ра­зом в точке G. Пер­вая окруж­ность с цен­тром в точке Q ка­са­ет­ся двух па­рал­лель­ных пря­мых a и b. Вто­рая  — имеет центр в точке О, ка­са­ет­ся пря­мой a, а общая ка­са­тель­ная окруж­но­стей, про­хо­дя­щая через точку G, пе­ре­се­ка­ет пря­мую a в точке D, а пря­мую b  — в точке А. Пря­мая АО пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым a и b.

а)  До­ка­жи­те, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей от­но­сят­ся как 1 : 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка AODQ, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 8.

Около окруж­но­сти ра­ди­у­са 1 опи­са­ны ромб и тре­уголь­ник, две сто­ро­ны ко­то­ро­го па­рал­лель­ны диа­го­на­лям ромба, а тре­тья па­рал­лель­на одной из сто­рон ромба и равна 5.

а)  Най­ди­те сто­ро­ну ромба.

б)  Най­ди­те часть пло­ща­ди ромба, на­хо­дя­щу­ю­ся внут­ри тре­уголь­ни­ка.

Три точки А, В и С раз­би­ва­ют окруж­ность на три дуги. Каж­дая из дуг раз­би­ва­ет­ся на три рав­ные части так, что на окруж­но­сти по­сле­до­ва­тель­но стоят точки А, А₁, А₂, В, В₁, В₂, С, С₁, С₂.

А)   До­ка­жи­те, что точки пе­ре­се­че­ния пря­мых А₁В₂, В₁С₂ и С₁А₂ об­ра­зу­ют рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

Б)  Най­ди­те сто­ро­ны этого тре­уголь­ни­ка, если АС  =  1, ВС  =  2,