Неравенства с параметром
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства 
образуют отрезок длины 1.
Перенесем единицу: 
Построим схематично графики функций 
и 
На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при 
или 
1. 
Решения образуют отрезок длины 1, если 
откуда 
2. 
Решения образуют отрезок длины 1, если 
откуда 
Ответ: 
Приведем другое решение (автор Александр Соколов).
Изобразим решение неравенства в системе координат 
Прямые 
и 
разбивают плоскость на четыре части, в каждой из которых знаки выражений 
и 
остаются постоянными.
| знак выражения
|  |  | | |
| знак выражения
| | | | |
| соответствующее неравенство |  |  |  |  |
Множество точек, являющееся решением неравенства, на рисунке выделены зелёным цветом.
Очевидно, что решения неравенства образуют отрезок длины 1 ровно два раза.
1 случай: отрезок ограничен прямыми 
(слева) и 
(справа).
Найдём соответствующее значение параметра
откуда 
и 
2 случай: отрезок ограничен прямыми 
(слева) и 
(справа).
Найдём соответствующее значение параметра
откуда 
и 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Либо получен верный ответ, но при его обосновании допущены ошибки, либо обоснованно получен ответ, отличный от верного только из-за потери одного из значений параметра | 3 |
| Ответ неверен, но в решении представлена правильная графическая интерпретация или правильная аналитика | 2 |
| Ответ, возможно, отсутствует или неверен, но в решении с помощью верного рассуждения найдены промежутки, содержащие правильные значения параметра | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства 
образуют отрезок длины 1.
Перенесем двойку: 
Построим схематично графики функций 
и 
На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при 
или 
1. 
Решения образуют отрезок длины 1, если 
откуда 
2. 
Решения образуют отрезок длины 1, если 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Либо получен верный ответ, но при его обосновании допущены ошибки, либо обоснованно получен ответ, отличный от верного только из-за потери одного из значений параметра | 3 |
| Ответ неверен, но в решении представлена правильная графическая интерпретация или правильная аналитика | 2 |
| Ответ, возможно, отсутствует или неверен, но в решении с помощью верного рассуждения найдены промежутки, содержащие правильные значения параметра | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения a, при каждом из которых множеством решений неравенства
является отрезок.
Запишем неравенство в виде
и нарисуем эскизы графиков левой и правой частей неравенства. Графиком функции 
является часть параболы, она выделена на рисунке цветом океанской воды. График функции 
при различных значениях параметра получается сдвигом графика функции 
на |а| единиц влево или вправо.
Из рисунка видно, что при 
график правой части неравенства лежит ниже графика левой части, а значит, неравенство не имеет решений. При 
графики имеют единственную общую точку (изображено пурпурным) и неравенство имеет единственное решение. При 
решением неравенства является отрезок. При 
кроме отрезка решением является еще и точка 
(изображено кумачовым), что не подходит по условию. При 
где 
— 
(выделено древесным цветом) решение снова превратится в один отрезок. При 
решение остается отрезком, пока, при 
решением не станет точка (изображено цветом травы). При 
для любых значений переменной из области определения неравенства график модуля лежит ниже графика корня, и неравенство не имеет решений.
Найдем :
в точке касания 
равно угловому коэффициенту касательной, откуда получаем уравнение:
Таким образом, 
или 
Ответ: 
Примечание.
Точка касания может быть найдена и без производной. Действительно, парабола имеет с касательной к ней единственную общую точку, поэтому полупарабола, являющаяся графиком функции 
и прямая 
являющаяся правым лучом графика функции 
имеют ровно одну общую точку. Абсцисса x0 этой точки определяется из уравнения:
Полученное уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант
равен нулю, откуда 
Найденному значению параметра соответствует уравнение 
то есть 
откуда определяем абсциссу точки касания 
При возведении в квадрат уравнения 
могли появиться посторонние корни, поэтому необходима проверка. Подставляя найденные значения и x0, находим:
Полученное числовое равенство верно, поэтому при найденном значении параметра действительно происходит касание.
Приведем идею другого решения.
Положим, 
тогда задача сводится к исследованию неравенства
при 
Для решения полученной системы можно применить метод областей.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное, но либо имеет пробелы (например, не описаны необходимые свойства функции), либо содержит вычислительные ошибки | 3 |
| Верно рассмотрены все случаи раскрытия модулей. При составлении или решении условий на параметр допущены ошибки, в результате которых в ответе либо приобретены посторонние значения, либо часть верных ответов потеряна | 2 |
| Хотя бы в одном из случаев раскрытия модуля составлено верное условие на параметр либо построен верный эскиз графика функции в целом | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
выполняется для всех x из отрезка 
Пусть 
тогда 
то есть 
Проявив опыт и смекалку, запишем полученное неравенство в виде
Полученное неравенство имеет вид 
для 
Поскольку 
для всех y, функция f возрастающая. Следовательно, неравенство относительно значений функции можно заменить равносильным неравенством на аргументы. Тогда 
откуда 
Возвращаясь к исходной переменной, получаем неравенство 
то есть 
которое должно быть выполнено для всех х из отрезка Старший коэффициент квадратного трехчлена 
положителен, поэтому если значения g на концах отрезка отрицательны, то и на всем отрезке отрицательны. Получаем систему:
Ответ: 
Приведем другое решение.
Введя замену 
получим неравенство 
Запишем это неравенство в виде 
Этим задача сведена к неравенству 
для возрастающей функции 
Таким образом, 
откуда 
Теперь заметим, что старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, а 
Тогда если 
то 
на всем отрезке Таким образом, 
откуда
Укажем иной путь.
Пусть тогда Преобразуем правую часть:
получаем
Если 
то 
Все такие числа t являются решениями, поскольку правая часть не меньше −2.
Если 
то левая часть отрицательна, а правая положительна. Неравенство верно.
Если 
то обе части неравенства равны 0. Неравенство неверно.
Если 
то левая часть положительна, а правая отрицательна. Решений нет.
Если 
то в силу неравенства 
справедливого для положительных α, получаем:
а значит, правая часть меньше левой и неравенство не имеет решений.
Если 
то 
В этом случае решений нет, поскольку правая часть не больше 2.
Таким образом, искомыми являются значения 
Следовательно, 
и далее как ранее.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Найдите все значения параметра а из отрезка 
при которых неравенство 
выполняется при любых 
Изобразим решение неравенства в плоскости 
Для этого найдём решения уравнения, соответствующего этому неравенству:
Графиком уравнения 
является вертикальная прямая, графиком уравнения 
является гипербола с асимптотами 
Для построения гиперболы дополнительно составим таблицу:
| a | −6 | −4,5 | −4 | −2 | 1 |
| x | −4 | 5 | 2 | 0 | −0,5 |
Найденные прямая и гипербола (на рис. изображены синим пунктиром) разбивают плоскость aOx на пять частей (обозначены римскими цифрами), в каждой из которых левая часть исходного неравенства сохраняет знак. Проверим для каждого участка, выполняется ли исходное неравенство, подставив координаты одной из точек.
Участок I: точка 
— 
— верно.
Участок II: точка 
— 
— неверно.
Участок III: точка 
— 
— верно.
Участок IV: точка 
— 
— неверно.
Участок V: точка 
— 
— неверно.
Множество точек, являющихся решением исходного неравенства, изображено на рисунке голубым цветом. Неравенство выполняется при любых 
если 
или 
Учитывая, что по условию 
получаем ответ (выделено красным).
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной | 2 |
| Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Пройти тестирование по этим заданиям
Наверх