а)  Пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 144 − 108  =  36, по­это­му AB  =  6. Пло­щадь бо­ко­вой грани равна Пусть SM  — вы­со­та грани SAB. Тогда по­это­му SM = 9. Пусть SH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Имеем

Од­на­ко диа­го­наль квад­ра­та ABCD тоже равна

б)  Из пунк­та а) по­лу­ча­ем:

Ответ: 36.

а)  Сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 8. Тогда диа­го­наль ос­но­ва­ния AC равна Пусть SH  — вы­со­та пи­ра­ми­ды. Тогда пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через S и диа­го­наль AC, равна от­ку­да

Пусть SM  — вы­со­та грани SAB. Тогда

Тогда Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Все под­го­то­ви­тель­ные вы­чис­ле­ния сде­ла­ны в пунк­те а), те­перь можно найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти:

По­это­му

Ответ: б)  192.

а)  Рас­смот­рим тре­уголь­ник ASC. Он рав­но­бед­рен­ный, и Зна­чит,

Рас­смот­рим те­перь тре­уголь­ник CAM. Сумма его углов 180°, зна­чит, Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ник CAM рав­но­бед­рен­ный, и по­это­му AC  =  AM  =  AB.

б)  Нуж­ное се­че­ние  — тре­уголь­ник AMB. Ана­ло­гич­но пунк­ту а) на­хо­дим, что BM  =  BC. Таким об­ра­зом, тре­уголь­ник AMB рав­но­сто­рон­ний, и его сто­ро­на AB од­но­вре­мен­но яв­ля­ет­ся сто­ро­ной ос­но­ва­ния. По усло­вию со­ста­вим урав­не­ние от­ку­да AB  =  10.

Ответ: б) 10.

а)  В плос­ко­сти ABP через точку K про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой PB до пе­ре­се­че­ния ее с пря­мой AB в точке L  — се­ре­ди­не AB. В ос­но­ва­нии ABCD через точку L про­ве­дем пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой BC до пе­ре­се­че­ния ее с реб­ром СD в точке M  — его се­ре­ди­не. По при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти плос­кость KLM па­рал­лель­на пря­мым PB и BC. Пря­мая LM па­рал­лель­на пря­мой AD, сле­до­ва­тель­но, она па­рал­лель­на плос­ко­сти APD, а зна­чит, плос­кость KLM пе­ре­се­ка­ет плос­кость APD по пря­мой, па­рал­лель­ной LM, и пе­ре­се­ка­ет ребро PD в его се­ре­ди­не N.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мое се­че­ние  ― тра­пе­ция KLMN.

б)  От­рез­ки KL и MN равны, как сред­ние линии рав­ных пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков ABP и DCP, а от­ре­зок LM  ― сред­няя линия квад­ра­та ABCD, сле­до­ва­тель­но, по­стро­ен­ное се­че­ние  ― рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция, в ко­то­рой LM  =  4, KL  =  KN  =  MN  =  2. Про­ве­дем вы­со­ту KF этой тра­пе­ции. Тогда и из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка KLF на­хо­дим

Окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем

Ответ:

а)  Пря­мая MN па­рал­лель­на плос­ко­сти ABC, по­это­му се­че­ние пе­ре­се­ка­ет плос­кость ABC по пря­мой PQ, па­рал­лель­ной MN. Рас­смот­рим плос­кость SCE. Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния этой плос­ко­сти и пря­мой MN, L  — точка пе­ре­се­че­ния этой плос­ко­сти и пря­мой PQ, O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Плос­ко­сти SCE и MNQ пер­пен­ди­ку­ляр­ны плос­ко­сти ABC, по­это­му пря­мая KL пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC, а зна­чит, па­рал­лель­на пря­мой SO. По­сколь­ку MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ASB, точка K яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ES. Зна­чит, L  — се­ре­ди­на EO. Ме­ди­а­на CE тре­уголь­ни­ка ABC де­лит­ся точ­кой O в от­но­ше­нии 2 : 1. Зна­чит, CL : LE  =  5 : 1.

б)  В тра­пе­ции MNQP имеем:

Зна­чит, пло­щадь тра­пе­ции MNPQ равна

Ответ: б) 44.