Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равна 108, а пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды равна 144.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­та этой пи­ра­ми­ды равна диа­го­на­ли её ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды и через диа­го­наль её ос­но­ва­ния.

Пло­щадь ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равна 64, и пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды и через диа­го­наль её ос­но­ва­ния, тоже равна 64.

а)  До­ка­жи­те, что бо­ко­вое ребро этой пи­ра­ми­ды боль­ше, чем сто­ро­на ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC угол ASB равен 36°. На ребре SC взята точка M так, что AM  — бис­сек­три­са угла SAC.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды, про­хо­дя­ще­го через точки A, M и B, равна Най­ди­те сто­ро­ну ос­но­ва­ния.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD, все ребра ко­то­рой равны 4, точка K  ― се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра AP.

а)  По­строй­те се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку K и па­рал­лель­ной пря­мым PB и BC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 12, а бо­ко­вое ребро SA равно 13. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер SA и SB со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую MN и пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ме­ди­а­ну CE ос­но­ва­ния в от­но­ше­нии 5 : 1, счи­тая от точки C.

б)  Най­ди­те пло­щадь мно­го­уголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны а бо­ко­вые рёбра На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM  — точка L. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды LADE со­став­ля­ет от объ­е­ма пи­ра­ми­ды MABC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки и

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые рёбра 8. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM  — точка L. Из­вест­но, что СD  =  BE  =  LM  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды LADE со­став­ля­ет от объ­е­ма пи­ра­ми­ды MABC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SBCD с вер­ши­ной S равны 9.

Ос­но­ва­ние O вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS₁, M  — се­ре­ди­на ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD  =  7 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SBCD плос­ко­стью S₁LM  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой тра­пе­ции.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с вер­ши­ной M вы­со­та равна 9, а бо­ко­вые рёбра равны 15.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние этой пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны сто­рон AB и BC па­рал­лель­но пря­мой MB, яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCDEF с вер­ши­ной S.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SD и вер­ши­ну C, делит апо­фе­му грани ASB в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SD и вер­ши­ну C, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 15, а бо­ко­вые ребра равны 16.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де MABCD с вер­ши­ной M сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а бо­ко­вые рёбра равны 8.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щей через точку B и се­ре­ди­ну ребра MD па­рал­лель­но пря­мой AC, делит ребро MC в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны M.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC про­ве­ли се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через сто­ро­ну ос­но­ва­ния AB пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь этого се­че­ния от­но­сит­ся к пло­ща­ди ос­но­ва­ния так же, как вы­со­та пи­ра­ми­ды от­но­сит­ся к её бо­ко­во­му ребру.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния если бо­ко­вое ребро SA  =  5, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC бо­ко­вое ребро SA  =  6, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что утро­ен­ный объем пи­ра­ми­ды SABC равен про­из­ве­де­нию ребра SC на пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через ребро AB пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с ос­но­ва­ни­ем ABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 6, а бо­ко­вые рёбра  — 10. На ребре AC на­хо­дит­ся точка D, на ребре AB на­хо­дит­ся точка E, а на ребре AM  — точка L. Из­вест­но, что AD  =  AE  =  LM  =  4.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки E, D и L, про­хо­дит еще и через центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC, ребро MB пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния, сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 3, а ребро MA  =  6. На ребре  AC на­хо­дит­ся точка  D, на ребре  AB  — точка  E, а на ребре  AM  — точка L. Из­вест­но, что AD  =  AL  =  2, и BE  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что ADE  — рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки E, D и L.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD про­ве­де­но се­че­ние через се­ре­ди­ны ребер АВ и ВС и вер­ши­ну S.

а)  До­ка­жи­те, что ука­зан­ное се­че­ние делит объем пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния, если все ребра пи­ра­ми­ды равны 8.

Пло­щадь ос­но­ва­ния пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD равна 64.

а)  По­строй­те пря­мую пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти SAC и плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через вер­ши­ну S этой пи­ра­ми­ды, се­ре­ди­ну сто­ро­ны АВ и центр ос­но­ва­ния.

б)  Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды, если пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью SAC равна 64.

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да MABCD, все рёбра ко­то­рой равны 12. Точка N  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра MA, точка K делит бо­ко­вое ребро MB в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны M.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки N и K па­рал­лель­но пря­мой AD, яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной пи­ра­ми­ды PABCD лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 6. Се­че­ние пи­ра­ми­ды про­хо­дит через вер­ши­ну В и се­ре­ди­ну ребра PD пер­пен­ди­ку­ляр­но этому ребру.

а)  До­ка­жи­те, что угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды к её ос­но­ва­нию равен 60°.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды.

На ребре AB пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD от­ме­че­на точка Q, причём AQ : QB  =  1 : 2. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AS.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость DPQ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния DPQ, если пло­щадь се­че­ния DSB равна 6.

На ребре AB пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD от­ме­че­на точка Q, причём AQ : QB  =  1 : 2. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AS.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость DPQ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния DPQ, если пло­щадь се­че­ния DSB равна

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 6. Про­ти­во­по­лож­ные бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Через се­ре­ди­ны рёбер MA и MB про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная ребру MC.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние плос­ко­стью α пи­ра­ми­ды MABC яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды MABC плос­ко­стью α.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды MABCD лежит квад­рат ABCD со сто­ро­ной 4. Про­ти­во­по­лож­ные бо­ко­вые рёбра пи­ра­ми­ды по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Через се­ре­ди­ны рёбер MA и MB про­ве­де­на плос­кость α, па­рал­лель­ная ребру MС.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние плос­ко­стью α пи­ра­ми­ды MABC яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды MABC плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC бо­ко­вые рёбра равны 10, а сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 12. Точки G и F делят сто­ро­ны ос­но­ва­ния AB и AC со­от­вет­ствен­но так, что AG : GB  =  AF : FC  =  1 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MGF яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MGF.

Через се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная этому ребру. Из­вест­но, что она пе­ре­се­ка­ет осталь­ные бо­ко­вые рёбра и раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кий угол при вер­ши­не пи­ра­ми­ды равен 45°.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α, если бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно 4.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды DABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ка­те­та­ми AC  =  15 и BC  =  9. Точка M  — се­ре­ди­на ребра AD. На ребре BC вы­бра­на точка E так, что CE  =  3, а на ребре AC вы­бра­на точка F так, что CF  =  5. Плос­кость MEF пе­ре­се­ка­ет ребро BD в точке N. Рас­сто­я­ние от точки M до пря­мой EF равно

а)  До­ка­жи­те, что N  — се­ре­ди­на ребра BD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MNF.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки K и M  — се­ре­ди­ны рёбер AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на пря­мой AD.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние тет­ра­эд­ра плос­ко­стью α   — квад­рат.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если

Все рёбра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SBCD с вер­ши­ной S равны 9. Ос­но­ва­ние O вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка SS₁, M  — се­ре­ди­на ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD  =  7 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SBCD плос­ко­стью S₁LM  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Вы­чис­ли­те длину сред­ней линии этой тра­пе­ции.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC в ко­то­рой AB  =  9, точка M лежит на ребре AB так, что AM  =  8. Точка K делит сто­ро­ну SB так, что SK : KB  =  7 : 3. Ребро Точки M и K при­над­ле­жат плос­ко­сти α, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

а)  До­ка­жи­те, что точка С при­над­ле­жит плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния α.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC в ко­то­рой AB  =  6, точка M лежит на ребре AB так, что AM  =  5. Точка K делит сто­ро­ну SB так, что SK : KB  =  4 : 3. Ребро Точки M и K при­над­ле­жат плос­ко­сти α, ко­то­рая пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

а)  До­ка­жи­те, что точка С при­над­ле­жит плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния α.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 18, а бо­ко­вые ребра  — 15. Точка R при­над­ле­жит ребру SB, при­чем SR : RB  =  2 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через точки С и R па­рал­лель­но BD делит ребро SA по­по­лам.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью.

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SАВСD лежит па­рал­ле­ло­грамм АВСD c цен­тром О. Точка N  — се­ре­ди­на ребра SC, точка L  — се­ре­ди­на ребра SA.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BNL делит ребро SD в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми BNL и АВС, если пи­ра­ми­да пра­виль­ная, SA  =  8, а тан­генс угла между бо­ко­вым реб­ром и плос­ко­стью ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равен

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де MABCD через се­ре­ди­ны сто­рон АВ и AD па­рал­лель­но бо­ко­во­му ребру АМ про­ве­де­на плос­кость. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 20, а бо­ко­вое ребро  —

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пя­ти­уголь­ни­ком с тремя пря­мы­ми уг­ла­ми.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

В четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD все рёбра равны 6, точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка AS.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AS пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BMD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью BMD.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де FABCD с вер­ши­ной F сто­ро­на ос­но­ва­ния равна бо­ко­вое ребро равно 15. Точка N делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны F. Через точки B и N па­рал­лель­но пря­мой AC про­ве­де­на плос­кость γ, пе­ре­се­ка­ю­щая ребро DF в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка DF.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью γ.

Плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ны двух про­ти­во­по­лож­ных ребер тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды и па­рал­лель­на ме­ди­а­не одной из ее гра­ней.

а)  До­ка­жи­те, что среди ме­ди­ан гра­ней этой пи­ра­ми­ды в точ­но­сти две яв­ля­ют­ся па­рал­лель­ны­ми к плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния дан­ной пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α, если эти ме­ди­а­ны пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу и равны 2.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD бо­ко­вое ребро SA равно 12, а сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6. В бо­ко­вых гра­нях SAB и SAD про­ве­ли бис­сек­три­сы AL и AM со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ALM делит ребро SC по­по­лам.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью ALM.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 8, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SB от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, SK  =  1. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC и со­дер­жит точки M и K.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α со­дер­жит точку C.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно На реб­рах AB и SB от­ме­че­ны точки M и K со­от­вет­ствен­но, при­чем AM  =  4, SK : KB  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CKM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABC.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BCKM.

Точка E лежит на вы­со­те SO, а точка F  — на бо­ко­вом ребре SC пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, причём SE : EO  =  SF : FC  =  2 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BEF пе­ре­се­ка­ет ребро SD в его се­ре­ди­не.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью BEF, если AB  =  8, SO  =  14.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре SABC точка M  — се­ре­ди­на ребра AB, а точка N рас­по­ло­же­на на ребре SC так, что SN : NC  =  3 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти SMC и ANB пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если длина ребра AB равна 8.

Точка E лежит на бо­ко­вом ребре SC пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD и делит его в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны S. Через точку E и се­ре­ди­ны сто­рон AB и AD про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды в от­но­ше­нии 3 : 2.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α, если сто­ро­на ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 12, а вы­со­та  —

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S бо­ко­вое ребро вдвое боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SA и SЕ и вер­ши­ну С, делит ребро SВ в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны В.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны рёбер SА и SЕ и вер­ши­ну С, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и BC со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и N и пе­ре­се­ка­ет ребра AS и CS в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точка пе­ре­се­че­ния пря­мых MP и KN лежит на вы­со­те пи­ра­ми­ды SABC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α, если из­вест­но, что АВ  =  24, AS  =  28, SK  =  7.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки M и N  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и N па­рал­лель­но пря­мой SO.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α, если а пря­мая SO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD.

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD. Точка M  — се­ре­ди­на SA, на ребре SB от­ме­че­на точка N так, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CMN па­рал­лель­на пря­мой SD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью CMN, если все рёбра равны 12.

SMNK  — пра­виль­ный тет­ра­эдр. На ребре SK от­ме­че­на точка Р такая, что КР : PS  =  1 : 3, точка L  — се­ре­ди­на ребра MN.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти SLK и MPN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка PL, если длина ребра MN равна 4.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD точка L  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SB. На ребре SA взята точка К так, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость DKL па­рал­лель­на бо­ко­во­му ребру SC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью DKL, если все ребра пи­ра­ми­ды равны 24.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S бо­ко­вое ребро вдвое боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны ребер SA и SD и вер­ши­ну C, делит вы­со­ту SH тре­уголь­ни­ка ASB в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость, про­хо­дя­щая через се­ре­ди­ны ребер SA и SD и вер­ши­ну C, делит ребро SF, счи­тая от вер­ши­ны S.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной  S каж­дое ребро равно Через се­ре­ди­ны сто­рон AD и DC и се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на ребру SD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α.

Ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной пи­ра­ми­ды PABCD яв­ля­ет­ся квад­рат ABCD. Се­че­ние пи­ра­ми­ды про­хо­дит через вер­ши­ну B и се­ре­ди­ну ребра PD пер­пен­ди­ку­ляр­но этому ребру.

а)  До­ка­жи­те, что угол на­кло­на бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды к её ос­но­ва­нию рaвeн 60°.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды, если AB  =  30.

В четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD длины всех бо­ко­вых ребер равны длине ребра AD, а длина каж­до­го из рёбер AB, BC и CD ровно в два раза мень­ше, чем длина ребра AD.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра AD.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость BMN делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды, счи­тая от вер­ши­ны S, если точка M  — се­ре­ди­на ребра SD, а точка N делит ребро SC в от­но­ше­нии

Через се­ре­ди­ну бо­ко­во­го ребра пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная этому ребру. Из­вест­но, что она пе­ре­се­ка­ет осталь­ные бо­ко­вые рёбра и раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых от­но­сят­ся как 1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кий угол при вер­ши­не пи­ра­ми­ды равен 45°.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α, если бо­ко­вое ребро пи­ра­ми­ды равно 4.

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD. На реб­рах SA, SB, SC и SD от­ме­че­ны точки L, K, N и M со­от­вет­ствен­но так, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми KL  =  3 и MN  =  2. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM пе­ре­се­ка­ет ребра SC и SD в их се­ре­ди­нах.

б)  Най­ди­те вы­со­ту SH пи­ра­ми­ды, если точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с точ­кой H, пло­щадь ос­но­ва­ния равна 24, а пло­щадь се­че­ния KLMN  =  10.

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит квад­рат ABCD. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребра SA, SB, SC и SD в точ­ках L, K, N и M со­от­вет­ствен­но, при­чем SK : KB  =  3 : 1, а точки L и M  — се­ре­ди­ны ребер SA и SD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей, длины ос­но­ва­ний ко­то­рой от­но­сят­ся как 2 : 3.

б)  Най­ди­те вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если угол между плос­ко­стя­ми ABC и α равен 30°, пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α равна а пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 32.

Грани ABD и ACD тет­ра­эд­ра ABCD яв­ля­ют­ся пра­виль­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми со сто­ро­ной 10 и пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу. На рёбрах AB, AD и CD от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но, причём BK  =  2, AL  =  4, MD  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру CD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка пе­ре­се­че­ния грани ABC и плос­ко­сти KLM.

В пи­ра­ми­де ABCD рёбра DA, DB и DC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, а

а)  До­ка­жи­те, что BD  =  CD.

б)  На рёбрах DA и DC от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём DM : MA  =  DN : NC  =  2 : 3. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния MNB.

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD (точка S  — вер­ши­на, BD  — диа­го­наль ос­но­ва­ния) об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 60°, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4,8. Через сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка ABD, не пе­ре­се­ка­ю­щую BD и точку на вы­со­те пи­ра­ми­ды, от­сто­я­щей от ос­но­ва­ния на всей вы­со­ты пи­ра­ми­ды, про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SC.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SKLM, где K, L и M  — точки пе­ре­се­че­ния α со­от­вет­ствен­но с реб­ра­ми SB, SD и SC.

На ребре AB пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD от­ме­че­на точка Q, при­чем Точка P  — се­ре­ди­на ребра AS.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость DPQ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния DPQ, если пло­щадь се­че­ния DSB равна 18.

На бо­ко­вом ребре FD пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды FABCD от­ме­че­на точка M так, что FM : FD  =  2 : 5. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер AD и BC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью MPQ есть рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость MPQ раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

На реб­рах AB и BC тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды DABC от­ме­че­ны точки M и N так, что Точки P и Q  — се­ре­ди­ны ребер DA и DC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что точки P, Q, M и N лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость PQM делит пи­ра­ми­ду.

Точки M и N со­от­вет­ствен­но  — се­ре­ди­ны ребер AB и BC пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с вер­ши­ной S. Через точки M и N про­ве­де­на плос­кость α, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет ребра AS и CS в точ­ках P и Q со­от­вет­ствен­но. Ока­за­лось, что пря­мые PM и QN па­рал­лель­ны друг другу.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на ребру BS.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка, ко­то­рый по­лу­ча­ет­ся в се­че­нии пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α, если из­вест­но, что AB  =  ⁠16 и BS  =  ⁠18.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны. Через се­ре­ди­ны ребер AB и CC₁ про­ве­де­на плос­кость α. Тан­генс угла на­кло­на плос­ко­сти α к ос­но­ва­нию равен

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит одно из ребер ос­но­ва­ния A₁B₁C₁ по­по­лам.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­мов, на ко­то­рые плос­кость α делит приз­му ABCA₁B₁C₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­ны ос­но­ва­ния ABC равны 12, а бо­ко­вые ребра  — 25. На реб­рах AB, AC и SA от­ме­че­ны точки F, E и K со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что AE  =  AF  =  10, AK  =  15.

а)  До­ка­жи­те, что объем пи­ра­ми­ды KAEF со­став­ля­ет от объ­е­ма пи­ра­ми­ды SABC.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью KEF.

Дана пра­виль­ная пи­ра­ми­да SABC с ос­но­ва­ни­ем ABC, точки K и M  — се­ре­ди­ны рёбер AB и SC со­от­вет­ствен­но. Точки N и L на сто­ро­нах BC и SA со­от­вет­ствен­но рас­по­ло­же­ны таким об­ра­зом, что LA  =  4SL и пря­мые NL и MK пе­ре­се­ка­ют­ся.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые LK, MN и BS пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние

Все рёбра пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равны 10. Точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Плос­кость, па­рал­лель­ная пря­мой SA и про­хо­дя­щая через точку O, пе­ре­се­ка­ет рёбра SC и SD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Точка N делит ребро SD в от­но­ше­нии

а)  До­ка­жи­те, что точка M  — се­ре­ди­на ребра SC.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость OMN пе­ре­се­ка­ет грань SBC.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой MN и пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на реб­рам AB и CD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если из­вест­но, что BK  =  ⁠1 и KC  =  ⁠5.

В пи­ра­ми­де SABC ребра SA, SB и SC по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны,

а)  До­ка­жи­те, что SB  =  SC.

б)  На реб­рах SA и SC взяты точки K и L со­от­вет­ствен­но, при­чем SK : KA  =  SL : LC  =  3 : 4. Най­ди­те пло­щадь се­че­ния BKL.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S на бо­ко­вом ребре SE от­ме­че­на точка K такая, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость ACK делит ребра SF и SD по­по­лам.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость АСK делит объем пи­ра­ми­ды SABCDEF.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCDEF равна 6. Бо­ко­вое ребро на­кло­не­но к ос­но­ва­нию под углом 60°. Через мень­шую диа­го­наль ос­но­ва­ния AC про­ве­де­но се­че­ние, ко­то­рое пе­ре­се­ка­ет вы­со­ту пи­ра­ми­ды в точке, уда­лен­ной от ос­но­ва­ния на рас­сто­я­ние

а)  До­ка­жи­те, что это се­че­ние пер­пен­ди­ку­ляр­но про­ти­во­по­лож­но­му к АС бо­ко­во­му ребру пи­ра­ми­ды SE.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре SNEG точки K и L  — се­ре­ди­ны ребер NE и SG со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой KL и пе­ре­се­ка­ет ребро EG в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая KL пер­пен­ди­ку­ляр­на реб­рам NE и SG.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра плос­ко­стью α, если из­вест­но, что EP  =  ⁠1, PG  =  ⁠5.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На ребре AC от­ме­че­на точка M, а на про­дол­же­нии ребра BC за точку C  — точка N так, что CM  =  CN  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью SNM яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью SNM.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD из­вест­но, что AB  =  1. Через точку O пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру SC про­ве­ли плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через вер­ши­ны B и D.

б)  В каком от­но­ше­нии плос­кость α делит ребро SC, счи­тая от вер­ши­ны S, если пло­щадь се­че­ния равна 

Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABCD пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD и пе­ре­се­ка­ет ребро SA в точке K. Се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пра­виль­ным тре­уголь­ни­ком пло­ща­дью 

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии точка K делит ребро SA, счи­тая от точки S, если объём пи­ра­ми­ды равен 

На реб­рах BC, AB и AD пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD от­ме­че­ны точки L, M и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что BL : LC  =  AM : MB  =  AN : ND  =  1 : 2.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α, про­хо­дя­щая через точки L, M и N, делит ребро CD в от­но­ше­нии 2 : 1, счи­тая от вер­ши­ны C.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если AB  =  6.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD через точку M на ребре AS па­рал­лель­но плос­ко­сти SBD про­ве­де­на плос­кость α. Се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние SM : MA, если объем пи­ра­ми­ды SABCD равен 675, а объем пи­ра­ми­ды, от­се­ка­е­мой плос­ко­стью α от пи­ра­ми­ды SABCD, равен 100.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре АВСD точка K лежит на ребре СВ, при­чем CK : KB  =  1 : 2. Точка L лежит на ребре АВ, при­чем AL : LB  =  1 : 3. Через точки А и K па­рал­лель­но DL про­ве­де­но се­ку­щая плос­кость..

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, если ребра тет­ра­эд­ра равны 1.

Все ребра пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равны 16. Точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Плос­кость, па­рал­лель­ная пря­мой SB и про­хо­дя­щая через точку O, пе­ре­се­ка­ет рёбра SA и SD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но. Точка K делит ребро SA в от­но­ше­нии SK : KA  =  3 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что точка L  — се­ре­ди­на ребра SD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость OKL пе­ре­се­ка­ет грань SCD.