Окружности и треугольники, разные задачи
Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий
Версия для печати и копирования в MS Word
Прямые, содержащие катеты AC и CB прямоугольного треугольника АСВ, являются общими внутренними касательными к окружностям радиусов
а) Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ.
б) Найдите площадь треугольника АСВ.
где O1 — центр окружности с радиусом r1. При этом 
тогда
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 12, BC = 5. Окружность радиуса 
с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше, чем 
длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
следовательно, 
Тогда 
Поэтому 
что и требовалось доказать.
По теореме Пифагора в треугольнике QOH:
тогда 
Площадь треугольника АВС равна сумме площадей треугольников BQC, AQC и AQB. Выразим площадь:
Найденное значение радиуса второй окружности удовлетворяет условию пункта а) задачи, тем самым доказывая утверждение «радиус второй окружности меньше 
Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
а) Докажите, что отрезок BK втрое больше отрезка CK.
б) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке N. Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17.
(*),
Тогда 
и пусть 
тогда 
По свойству секущих имеем:
Из треугольника MKC:
Таким образом, получаем уравнение: 
Если AB = x, то 
С другой стороны из треугольника ABC по теореме косинусов имеем 
Составим уравнение: 
Окружность радиуса 
с центром на стороне AC треугольника ABC касается сторон AB и BC, равных соответственно
а) Докажите, что треугольник ABC — прямоугольный.
б) Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла треугольника ABC.
Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что 
а) Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.
б) Найдите угол OIH, если 
Значит,
поэтому точки B, O, I и C лежат на одной окружности.
поэтому точки B, O, I, H и C лежат на одной окружности.
получаем 
В равнобедренном треугольнике BOC имеем:
Биссектриса угла треугольника лежит внутри угла, образованного медианой и высотой, исходящими из той же вершины, поэтому лучи BH, BI и BO пересекают дугу окружности в указанном на рисунке порядке. Четырёхугольник BOIH вписан в окружность, поэтому
Пройти тестирование по этим заданиям