Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 514542

Решите неравенство  дробь: числитель: 4 в степени x минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка плюс 30, знаменатель: 2 в степени x минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 в степени x минус 7 умножить на 2 в степени x плюс 3, знаменатель: 2 в степени x минус 7 конец дроби \leqslant2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 14.

Спрятать решение

Решение.

Пусть t=2 в степени x , тогда неравенство примет вид:

 дробь: числитель: t в квадрате минус 16t плюс 30, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: t в квадрате минус 7t плюс 3, знаменатель: t минус 7 конец дроби \leqslant2t минус 14 равносильно

 

 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 14 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: t левая круглая скобка t минус 7 правая круглая скобка , знаменатель: t минус 7 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 7 конец дроби меньше или равно 2t минус 14 равносильно

 

 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: t минус 7 конец дроби \leqslant0 равносильно дробь: числитель: t минус 4, знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 7 правая круглая скобка конец дроби \leqslant0,

откуда t меньше 2; 4 меньше или равно t меньше 7.

При t меньше 2 получим: 2 в степени x меньше 2, откуда x меньше 1. При 4 меньше или равно t меньше 7 получим: 4\leqslant2 в степени x меньше 7, откуда 2 меньше или равно x меньше логарифм по основанию 2 7.

Решение исходного неравенства:

x меньше 1;2 меньше или равно x меньше логарифм по основанию 2 7.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ;1 правая круглая скобка ; левая квадратная скобка 2; логарифм по основанию 2 7 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек,

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2

Аналоги к заданию № 514448: 514644 514528 514542 514604 514611 514673 514759 Все

Источник: ЕГЭ — 2016 по математике. Основная волна 06.06.2016 Вариант 412. Запад (C часть), ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 414
Методы алгебры: Введение замены
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов
Спрятать решение · Прототип задания · · Курс Д. Д. Гущина ·
Даниил Мухлынин 30.10.2016 18:53

когда нашли корни уравнения, t^2-16t+30, то там никак может быть корней 14 и 2

Александр Иванов

Даниил читайте решение внимательнее.

В решении нигде не утверждается, что у трехчлена t в квадрате минус 16t плюс 30 корни 14 и 2

Там можно увидеть t в квадрате минус 16t плюс 30=t в квадрате минус 16t плюс 28 плюс 2= левая круглая скобка t минус 14 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка плюс 2

Почувствуйте разницу.

Алексей Емельянов 18.02.2017 12:47

разве можно так сакратить (2 - 3 строчка решения) мы же так корни теряем

Александр Иванов

При сокращении дроби корни потеряться не могут. Наоборот, могут появиться лишние (из-за исчезновения знаменателя). Но в данном случае все знаменатели остаются на месте. Поэтому в решении всё верно.

Корни могут потеряться при делении обеих частей уравнения (неравенства) на выражение содержащее неизвестное.

артём алтынпара 26.02.2017 13:19

когда мы вводим новую переменную 't' вы не указали её область допустимых значений , это нужно или не обязательно ?

Александр Иванов

Это можно, но не обязательно