Сту­дент по­лу­чил свой пер­вый го­но­рар в раз­ме­ре 800 руб­лей за вы­пол­нен­ный пе­ре­вод. Он решил на все по­лу­чен­ные день­ги ку­пить букет роз для своей учи­тель­ни­цы ан­глий­ско­го языка. Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство роз смо­жет ку­пить сту­дент, если удер­жан­ный у него налог на до­хо­ды со­став­ля­ет 13% го­но­ра­ра, розы стоят 100 руб­лей за штуку и букет дол­жен со­сто­ять из не­чет­но­го числа цве­тов?

На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА Но­во­сти во все дни с 10 по 29 но­яб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся дни ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта за дан­ный день. Опре­де­ли­те по диа­грам­ме, сколь­ко было дней в дан­ный пе­ри­од, когда су­точ­ное ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей не пре­вос­хо­ди­ло 600 000 че­ло­век.

Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2), C(2; 6) яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми че­ты­рех­уголь­ни­ка. Най­ди­те абс­цис­су точки P пе­ре­се­че­ния его диа­го­на­лей.

Перед на­ча­лом пер­во­го тура чем­пи­о­на­та по на­столь­но­му тен­ни­су участ­ни­ков раз­би­ва­ют на иг­ро­вые пары слу­чай­ным об­ра­зом с по­мо­щью жре­бия. Всего в чем­пи­о­на­те участ­ву­ет 16 спортс­ме­нов, среди ко­то­рых 7 участ­ни­ков из Рос­сии, в том числе Пла­тон Кар­пов. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что в пер­вом туре Пла­тон Кар­пов будет иг­рать с каким-либо спортс­ме­ном из Рос­сии?

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния:

Мень­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка равна 17. Угол между диа­го­на­ля­ми равен 60°. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого пря­мо­уголь­ни­ка.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции Функ­ция   — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции  Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

Конус и ци­линдр имеют общее ос­но­ва­ние и общую вы­со­ту (конус впи­сан в ци­линдр). Вы­чис­ли­те объём ци­лин­дра, если объём ко­ну­са равен 21.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Для на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та не­ко­то­ро­го при­бо­ра экс­пе­ри­мен­таль­но была по­лу­че­на за­ви­си­мость тем­пе­ра­ту­ры (в кель­ви­нах) от вре­ме­ни ра­бо­ты:где t  — время (в мин.), T₀  =  680 К, а  =  −16 К/мин², b  =  224 К/мин. Из­вест­но, что при тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­тель­но­го эле­мен­та свыше 1400 К при­бор может ис­пор­тить­ся, по­это­му его нужно от­клю­чить. Най­ди­те, через какое наи­боль­шее время после на­ча­ла ра­бо­ты нужно от­клю­чить при­бор. Ответ дайте в ми­ну­тах.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 13-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 17-⁠про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равно 10, а ко­си­нус угла ASB при вер­ши­не бо­ко­вой грани равен  Точка M  — се­ре­ди­на ребра SC.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BM и SA.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на дру­гой  — точки A и B, при­чем тре­уголь­ник ABC  — рав­но­бед­рен­ный и его бо­ко­вая сто­ро­на равна 13. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC.

В на­ча­ле года 5/6 не­ко­то­рой суммы денег вло­жи­ли в банк А, а то, что оста­лось  — в банк Б. Если вклад на­хо­дит­ся в банке с на­ча­ла года, то к концу года он воз­рас­та­ет на опре­делённый про­цент, ве­ли­чи­на ко­то­ро­го за­ви­сит от банка. Из­вест­но, что к концу пер­во­го года сумма вкла­дов стала равна 670 у. е., к концу сле­ду­ю­ще­го  — 749 у. е. Если пер­во­на­чаль­но 5/⁠6 суммы было бы вло­же­но в банк Б, а остав­шу­ю­ся вло­жи­ли бы в банк А, то по ис­те­че­нии од­но­го года сумма вы­рос­ла бы до 710 у. е. Опре­де­ли­те сумму вкла­дов по ис­те­че­нии вто­ро­го года в этом слу­чае.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых для лю­бо­го дей­стви­тель­но­го x вы­пол­не­но не­ра­вен­ство

Най­ди­те все трой­ки на­ту­раль­ных чисел k, m и n, удо­вле­тво­ря­ю­щие урав­не­нию Как обыч­но,