В квар­ти­ре уста­нов­лен при­бор учёта рас­хо­да хо­лод­ной воды (счётчик). По­ка­за­ния счётчика 1 фев­ра­ля со­став­ля­ли 142 куб. м воды, а 1 марта  — 156 куб. м. Сколь­ко нужно за­пла­тить за хо­лод­ную воду за фев­раль, если сто­и­мость 1 куб. м хо­лод­ной воды со­став­ля­ет 22 руб. 50 коп.? Ответ дайте в руб­лях.

На ри­сун­ке жир­ны­ми точ­ка­ми по­ка­за­на цена ни­ке­ля на мо­мент за­кры­тия бир­же­вых тор­гов во все ра­бо­чие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ют­ся числа ме­ся­ца, по вер­ти­ка­ли  — цена тонны ни­ке­ля в дол­ла­рах США. Для на­гляд­но­сти жир­ные точки на ри­сун­ке со­еди­не­ны ли­ни­ей. Опре­де­ли­те по ри­сун­ку наи­мень­шую цену ни­ке­ля на мо­мент за­кры­тия тор­гов в ука­зан­ный пе­ри­од. Ответ дайте в дол­ла­рах США за тонну.

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 изоб­ражён тре­уголь­ник ABC. Най­ди­те длину его вы­со­ты, опу­щен­ной на про­дол­же­ние сто­ро­ны AB.

В не­ко­то­ром го­ро­де из 2000 по­явив­ших­ся на свет мла­ден­цев 980 де­во­чек. Най­ди­те ча­сто­ту рож­де­ния маль­чи­ков в этом го­ро­де.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Около окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой равен 3, опи­сан мно­го­уголь­ник, пе­ри­метр ко­то­ро­го равен 50. Най­ди­те его пло­щадь.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−3; 8). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y  =  1.

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся от на­чаль­но­го до ко­неч­но­го по­ло­же­ния. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик её дви­же­ния. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в се­кун­дах, на оси ор­ди­нат  — рас­сто­я­ние от на­чаль­но­го по­ло­же­ния точки (в мет­рах). Най­ди­те сред­нюю ско­рость дви­же­ния точки. Ответ дайте в мет­рах в се­кун­ду.

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти мно­го­гран­ни­ка, изоб­ражённого на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при b  =  5.

Если до­ста­точ­но быст­ро вра­щать ведёрко с водой на верёвке в вер­ти­каль­ной плос­ко­сти, то вода не будет вы­ли­вать­ся. При вра­ще­нии ведёрка сила дав­ле­ния воды на дно не остаётся по­сто­ян­ной: она мак­си­маль­на в ниж­ней точке и ми­ни­маль­на в верх­ней. Вода не будет вы­ли­вать­ся, если сила её дав­ле­ния на дно будет по­ло­жи­тель­ной во всех точ­ках тра­ек­то­рии, кроме верх­ней, где она может быть рав­ной нулю. В верх­ней точке сила дав­ле­ния, вы­ра­жен­ная в нью­то­нах, равна где m  — масса воды в ки­ло­грам­мах, υ   — ско­рость дви­же­ния ведёрка в м/с, L  — длина верёвки в мет­рах, g  — уско­ре­ние сво­бод­но­го па­де­ния (счи­тай­те g  =  10 м/с²). С какой наи­мень­шей ско­ро­стью надо вра­щать ведёрко, чтобы вода не вы­ли­ва­лась, если длина верёвки равна 44,1 см? Ответ вы­ра­зи­те в м/с.

Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой  — 12% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 3 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

12.1 Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

12.2 Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На ребре AA₁ пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ взята точка E так, что A₁E : EA  =  1 : 2, на ребре BB₁  — точка F так, что B₁F : FB  =  1 : 5, а точка T  — се­ре­ди­на ребра B₁C₁. Из­вест­но, что AB  =  4, AD  =  2, AA₁  =  6.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью EFT и плос­ко­стью BB₁C₁.

15.1 Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15.2 Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция KLMN с ос­но­ва­ни­я­ми KN и LM. Окруж­ность с цен­тром O, по­стро­ен­ная на бо­ко­вой сто­ро­не KL как на диа­мет­ре, ка­са­ет­ся бо­ко­вой сто­ро­ны MN и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет боль­шее ос­но­ва­ние KN в точке H, точка Q  — се­ре­ди­на MN.

а)  До­ка­жи­те, что четырёхуголь­ник NQOH  — па­рал­ле­ло­грамм.

б)  Най­ди­те KN, если и LM  =  1.

Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q  =  0,5x² + x + 7 млн руб. в год. При цене p тыс. руб. за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб.) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через три года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб.?

Най­ди­те все це­ло­чис­лен­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Из­вест­но, что a, b, c, и d  — по­пар­но раз­лич­ные по­ло­жи­тель­ные дву­знач­ные числа.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся ра­вен­ство

б)  Может ли дробь быть в 11 раз мень­ше, чем сумма

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать дробь если и