Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 28, а диа­го­наль равна 10. Най­ди­те пло­щадь этого пря­мо­уголь­ни­ка.

Диа­го­на­ли ромба ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O и равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра

Пло­щадь по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы равна 6. Какой ста­нет пло­щадь по­верх­но­сти приз­мы, если все её рёбра уве­ли­чат­ся в три раза, а форма оста­нет­ся преж­ней?

В кар­ма­не у Миши было че­ты­ре кон­фе­ты  — «Гри­льяж», «Бе­лоч­ка», «Ко­ров­ка» и «Ла­сточ­ка», а также ключи от квар­ти­ры. Вы­ни­мая ключи, Миша слу­чай­но вы­ро­нил из кар­ма­на одну кон­фе­ту. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что по­те­ря­лась кон­фе­та «Гри­льяж».

На ри­сун­ке по­ка­за­но де­ре­во не­ко­то­ро­го слу­чай­но­го экс­пе­ри­мен­та. Со­бы­тию A бла­го­при­ят­ству­ют эле­мен­тар­ные со­бы­тия a, b и c, а со­бы­тию B бла­го­при­ят­ству­ют эле­мен­тар­ные со­бы­тия b, c и d. Най­ди­те   — услов­ную ве­ро­ят­ность со­бы­тия A при усло­вии B.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния: Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

Ма­те­ри­аль­ная точка дви­жет­ся пря­мо­ли­ней­но по за­ко­ну (где x  — рас­сто­я­ние от точки от­сче­та в мет­рах, t  — время в се­кун­дах, из­ме­рен­ное с на­ча­ла дви­же­ния). Най­ди­те ее ско­рость (в м/⁠с) в мо­мент вре­ме­ни t  =  6 с.

Ко­эф­фи­ци­ент по­лез­но­го дей­ствия (КПД) не­ко­то­ро­го дви­га­те­ля опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой где   — тем­пе­ра­ту­ра на­гре­ва­те­ля (в гра­ду­сах Кель­ви­на),   — тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка (в гра­ду­сах Кель­ви­на). При какой ми­ни­маль­ной тем­пе­ра­ту­ре на­гре­ва­те­ля КПД этого дви­га­те­ля будет не мень­ше если тем­пе­ра­ту­ра хо­ло­диль­ни­ка К? Ответ вы­ра­зи­те в гра­ду­сах Кель­ви­на.

Поезд, дви­га­ясь рав­но­мер­но со ско­ро­стью 60 км/⁠ч, про­ез­жа­ет мимо ле­со­по­ло­сы, длина ко­то­рой равна 400 мет­рам, за 1 ми­ну­ту. Най­ди­те длину по­ез­да в мет­рах.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те f(10).

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 12, а вы­со­та приз­мы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB от­ме­че­ны точки P и Q со­от­вет­ствен­но, причём PC₁  =  3, а AQ  =  4. Плос­кость A₁PQ пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти A₁PQ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

За­ви­си­мость объёма Q (в шт.) куп­лен­но­го у фирмы то­ва­ра от цены Р (в руб. за шт.) вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой Доход от про­да­жи то­ва­ра со­став­ля­ет РQ руб­лей. За­тра­ты на про­из­вод­ство Q еди­ниц то­ва­ра со­став­ля­ют руб­лей. При­быль равна раз­но­сти до­хо­да от про­да­жи то­ва­ра и за­трат на его про­из­вод­ство. Стре­мясь при­влечь вни­ма­ние по­ку­па­те­лей, фирма умень­ши­ла цену то­ва­ра на 20%, од­на­ко её при­быль не из­ме­ни­лась. На сколь­ко про­цен­тов сле­ду­ет уве­ли­чить сни­жен­ную цену, чтобы до­бить­ся наи­боль­шей при­бы­ли?

В тра­пе­цию ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC впи­са­на окруж­ность с цен­тром O.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если а ос­но­ва­ния равны 5 и 7.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.

Даны n раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел, со­став­ля­ю­щих ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию (n ≥ 3).

а)  Может ли сумма всех дан­ных чисел быть рав­ной 16?

б)  Ка­ко­во наи­боль­шее зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел мень­ше 900?

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ние n, если сумма всех дан­ных чисел равна 235.