В тре­уголь­ни­ке ABC AC  =  BC, AH  — вы­со­та, AB  =  5, Най­ди­те BH.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ребро ребро ребро Точка K  — се­ре­ди­на ребра Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки и

В со­рев­но­ва­ни­ях по тол­ка­нию ядра участ­ву­ют 4 спортс­ме­на из Фин­лян­дии, 7 спортс­ме­нов из Дании, 9 спортс­ме­нов из Шве­ции и 5 из Нор­ве­гии. По­ря­док, в ко­то­ром вы­сту­па­ют спортс­ме­ны, опре­де­ля­ет­ся жре­би­ем. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что спортс­мен, ко­то­рый вы­сту­па­ет по­след­ним, ока­жет­ся из Шве­ции.

При дву­крат­ном бро­са­нии иг­раль­ной кости в сумме вы­па­ло 9 очков. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что хотя бы раз вы­па­ло 5 очков?

Най­ди­те ре­ше­ние урав­не­ния:

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−5; 7). Най­ди­те про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x). В от­ве­те ука­жи­те сумму целых точек, вхо­дя­щих в эти про­ме­жут­ки.

В бо­ко­вой стен­ке вы­со­ко­го ци­лин­дри­че­ско­го бака у са­мо­го дна за­креплeн кран. После его от­кры­тия вода на­чи­на­ет вы­те­кать из бака, при этом вы­со­та стол­ба воды в нeм, вы­ра­жен­ная в мет­рах, ме­ня­ет­ся по за­ко­ну где   — на­чаль­ный уро­вень воды, м/мин² и м/мин  — по­сто­ян­ные, t  — время в ми­ну­тах, про­шед­шее с мо­мен­та от­кры­тия крана. В те­че­ние ка­ко­го вре­ме­ни вода будет вы­те­кать из бака? Ответ при­ве­ди­те в ми­ну­тах.

Петя и Ваня вы­пол­ня­ют оди­на­ко­вый тест. Петя от­ве­ча­ет за час на 8 во­про­сов теста, а Ваня  — на 9. Они од­но­вре­мен­но на­ча­ли от­ве­чать на во­про­сы теста, и Петя за­кон­чил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколь­ко во­про­сов со­дер­жит тест?

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида где числа a, b и c  — целые. Най­ди­те

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции на от­рез­ке

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На ребре AB пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD от­ме­че­на точка Q, причём AQ : QB  =  1 : 2. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AS.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость DPQ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния DPQ, если пло­щадь се­че­ния DSB равна 6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Про­из­вод­ство x тыс. еди­ниц про­дук­ции об­хо­дит­ся в q  =  0,5x² + x + 7 млн руб. в год. При цене p тыс. руб. за еди­ни­цу го­до­вая при­быль от про­да­жи этой про­дук­ции (в млн руб.) со­став­ля­ет px − q. При каком наи­мень­шем зна­че­нии p через три года сум­мар­ная при­быль со­ста­вит не менее 75 млн руб.?

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC точки M и N  — се­ре­ди­ны ги­по­те­ну­зы AB и ка­те­та BC со­от­вет­ствен­но. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет пря­мую MN в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ни­ки AML и BLC по­доб­ны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей этих тре­уголь­ни­ков, если

Най­ди­те все такие зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции мень­ше 2.

Склад пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед с це­лы­ми сто­ро­на­ми, кон­тей­не­ры  — пря­мо­уголь­ные па­рал­ле­ле­пи­пе­ды с раз­ме­ра­ми 1×1×3 м. Кон­тей­не­ры на скла­де можно класть как угод­но, но па­рал­лель­но гра­ни­цам скла­да.

а)  Может ли ока­зать­ся, что пол­но­стью за­пол­нить склад раз­ме­ром 120 ку­бо­мет­ров нель­зя?

б)  Может ли ока­зать­ся, что на склад объ­е­мом 100 ку­бо­мет­ров не удаст­ся по­ме­стить 33 кон­тей­не­ра?

в)  Пусть объем скла­да равен 800 ку­бо­мет­ров. Какой про­цент объ­е­ма та­ко­го скла­да удаст­ся га­ран­ти­ро­ва­но за­пол­нить кон­тей­не­ра­ми при любой кон­фи­гу­ра­ции скла­да?